当前课程知识点:光学 > Chapter 3 Light Propagation through Homogeneous and Isotropic Media > 3.5 Reflection and Refraction Rules Derived from Boundary Conditions of Maxwell Equations(利用Maxwell方 > 3.5 Reflection and Refraction Rules Derived from Boundary Conditions of Maxwell Equations
大家好
上面的话我们已经讨论了
Maxwell方程在边界上要满足的条件
也就是电场的分量
以及磁场的分量
它们的连续性
我已经画了一个图在这上面
这个平面代表分开两个介质的表面
上面是一个介质
用ni来表示
下面代表一个介质用nt
transmitted来表示
那么入射的光照在这平面上
有反射有透射
入射的平面波的方向是ki
反射是kr
透射的是kt
那么入射光的话
和这个平面法线之间的夹角
我称之为θi
n是这个平面的法线
那么反射光和法线的夹角称之为
θr透射光与它的夹角叫θt
同时为了坐标表示方便
我把原点取在这一个表面上
也就取在这个boundary上
那么光照的这一部分
到原点的话
我用一个位置的矢量r来表示
好了有了这张图以后
我就可以写出来
上下表面它们的电场
那么上表面我们要考虑的是
电场平行于这个表面的分量
所以我是用这样来表示
作为入射的光场
它平行于这个表面分量的大小
这个振幅是用Ei平行来表示
那么它有位相关系
它是个平面波
这个平面波是eiki·r-ωit
这个是我入射的光
在介质1中
照射在这个平面上的场的形式
那么在介质1中还有另外一个场
这个场是反射场
反射场的话可以用反射光
它沿着这个平面的振幅的分量
和它的平面波的形式
这个地方应该是个矢量
当然这个平面波的话有可能
跟初始的入射波之间
存在着一个位相差
所以我们用θr来表示
这就是在介质1中
入射的光和反射的光
它们的总的场的平行分量的大小
按照Maxwell的边界条件
它应该等于介质下面的场
在介质上所产生的平行分量的大小
那么介质下面的话只有一个场
就是透射的光场
那么透射的光也一样
Et平行代表平行于表面的振幅
还有它们的位相的式子
这是kt·r
注意r都是同一个点
我们只考虑这一个点场的大小
同样
这个地方的话它也有可能
有这样一个位相差
所以这个就是按照Maxwell的边界条件写出来
电场的平行分量
在上下表面的之间的关系
好了下面我们首先看
这样的一个关系
要对于所有的r
在任意的时间上
都要成立
因此在这部分的话
会引出来它们位相之间
必须要满足的一定的关系了
我可以把上面这个式子再写成大家熟悉的
上面的是欧拉表示形式
复数的波的表达形式
我把它写成大家更熟悉的
sin cos的形式
只是写出它的实部
因为复数的场
它所表示的波
只有实部
在电磁波中的话只有实部
对应着真实的电磁波
好了
这样子的一个式子
要求对任意的r
当然r必须在这个平面上
因为boundary condition只对这个表面使用
所以r在这个平面上
那么任意的时间
这样的式子都要成立
所以我们自然的可以猜测
它应该是满足这样的一个关系式
对于r在这个表面上
这个cos中的这个位相的因子
应该都是相等的
当然这个地方的话我没有严格来证明这个推论
尽管大家看起来这个推论是显而易见的
但实际上来讲的话也是需要证明的
证明的话可参见我的一个附件
这只是涉及到数学的一些detail
所以在这个地方我就略去不讲了
这个式子就是保证了
位相cos大家都相等
因此cos都会被消掉
那么再来看
如果对于我们把位置固定
只看一个点
要求它所有的时间
这样的式子都要成立的话
那么我们自然的话会推出来
ωi要等于ωr要等于ωt
这个式子的含义就是说
作为入射光反射光以及透射光
它们都是同一个频率的
这实际上跟我们以前讲过的
偶极振子的模型
是一致的
因为在偶极振子中
入射光作为激发的波源
它所激励出来的反射以及透射的波
它们的频率都是和激发的频率是一样的
所以很自然的
这个地方ωi和ωr以及ωt
都是相等的
当然我们从Maxwell equation的话
也得到同样的一个结论
好我们下面再看
如果我现在考虑
时间固定
比如说我就把时间取成0最好
在这种情况下的话
空间的位相因子也要满足一定的关系
这个关系是ki·r=kr·r+εr
还有一个式子是ki·r=kt·r+εt
由这两个式子
我们将发现
叫反射的定律和折射的定律
首先我把这个式子的话
稍微改写一下
只要稍微移一下
就会发现这个式子是这样一个公式
矢量之间的关系
那么这样子的一个式子
它代表的含义是什么
希望大家还记得我们在前面讲过的
有一个k·r如果是等于一个常数
比如说等于一个d
这样子的r所代表的平面是什么
r是一个平面
将垂直于这个矢量k
好我们利用这样子一个关系式我就可以发现
上面的这个形式和这个形式是完全类似的
一个矢量乘上位置矢量等于一个常数
那么我立刻就会得到
这样子的一个结论
ki-kr是垂直于r所表示的平面的
那换句话说
也就是说ki-kr是平行于这个平面的法线的方向的
由此的话我就会得到一个关系式
我们再把这个东西画出来
这是法线的方向
这是我ki的方向
这是我kr的方向
其中θiθt
要求我ki-kr要平行于n的方向
那也就意味着ki的水平分量
kr的水平分量要正好抵消掉
那么也就意味着
我的ki就代表这个ki矢量的大小
它的水平分量多少
sinθi要等于反射的
它的矢量大小是kr
它的水平分量是kr×sinθr
那么又是因为
这个波矢量ki kr它们的关系
是满足这样子的一个关系的
ki=nik0这个关系我们在以前已经推导过了
是等于ni/2π比上λ0
λ0叫做真空的波长
k0也叫真空的时候的波矢量的大小
那kr是多大
kr是一样的
因为反射光和入射光
都在同一个介质中
所以kr的大小也是nik0
因此由这个式子我立刻就能推出来
它俩大小一样
所以θi应该等于θr
也就是说反射光的反射角
应该和入射角相等
这个是我们所熟悉的反射定律
同样的道理
这样子的一个式子
我也可以给它写成
(ki-kt)·r=εt
这样子的一个式子的话也是一个平面
ki-kt将垂直于r的这个平面
r的平面就是我这个分开上下两个介质的平面
所以因此ki-kt也应该平行法线的分量
所以我也一样会得到
作为透射光
我也有这样的关系式
ki-kt平行于n的分量
换句话说它们的水平分量都应该抵消掉
也就是说我应该有这样的关系式
kisinθi应该等于ktsinθt
但是ki和kt的大小可是不一样的
ki是ni×k0
kt的大小是多少
kt的大小是
想一想是多少
应该是nt
因为它是在折射率nt的介质中
它的大小是nt×k0
因此我们立刻得到的话
由这样的关系式
会得到这边是nik0sinθi
这边是ntk0sinθi
那么k0肯定可以消掉
这边将会得到nisinθi=ntsinθt
这个就是反射方向的Snell's law
好了上面我是用Maxwell方程的边界条件
来推导出了反射的定律
和折射的定律
下面的话
我们还用Maxwell的边界条件
将要推导的是
反射的场的大小
以及透射的场的大小
-1.0 History of Optics 光学的历史发展
-1.1 Why Classical Wave Theory is Correct 经典理论为何正确
--1.1 Why Classical Wave Theory is Correct
-1.2 Wave and Wave Equation 波和波动方程
-1.3 Harmonic Wave 简谐波
-1.4 Phase Velocity and Phase Difference 相速度与相位差
--1.4 Phase Velocity and Phase Difference
-1.5 Superposition Principle 叠加原理
--1.5.1 Superposition Principle Part I
--1.5.2.Superposition Principle Part II
-1.6 Example of Superposition and Reciprocal Relation 叠加例子与反比关系
--1.6 Example of Superposition and Reciprocal Relation
-1.7 Euler Formula and Phasor 波的复数表达和旋转矢量表示
--1.7 Euler Formula and Phasor
-1.8 Doppler Effect 多普勒效应
--1.8.2 Doppler Effect Part II
-1.9 Doppler Broadening 多普勒展宽
-1.10 Plane Wave and Spherical Wave 平面波与球面波
--1.10 Plane Wave and Spherical Wave
-第一章习题
--习题
-2.1 Maxwell Equations(Maxwell 方程组)
-2.2 Wave Equation for E-M Field(电磁场的波动方程)
--2.2 Wave Equation for E-M Field
-2.3.1 Index of Refraction(折射率)
-2.3.2 Understanding n from Dipoles(用偶极模型理解折射率)
--2.3.2 Understanding n from Dipoles
-2.4 E-M Wave is Transverse(电磁波是横波)
-2.5 Energy Flow of E-M Wave(电磁波的能流)
-2.6 Momentum and photo-Pressure(动量和光压)
--2.6 Momentum and photo-Pressure
-2.7.1 Dipole Oscillator 1(偶极振子1)
-2.7.2 Dipole Oscillator 2(偶极振子2)
-2.8 Radiation by Dipole Oscillator(偶极振子的辐射)
--2.8 Radiation by Dipole Oscillator
-第二章习题
--习题
-3.1 Reflection and Refraction (反射与折射)
--3.1 Reflection and Refraction
-3.2 Huygens Principle(惠更斯原理)
-3.3.1 Fermat Principle part1: Optical Path Length (费马原理第一部分:光程)
--3.3.1 Fermat Principle part1: Optical Path Length
-3.3.2 Fermat Principle part2: an Explanation (费马原理第二部分:一种解释)
--3.3.2 Fermat Principle part2: an Explanation
-3.4.1 Scattering Point of View 1 (散射图像1)
--3.4.1 Scattering Point of View 1
-3.4.2 Scattering Point of View 2 (散射图像2)
--3.4.2 Scattering Point of View 2
-3.5 Reflection and Refraction Rules Derived from Boundary Conditions of Maxwell Equations(利用Maxwell方
--3.5 Reflection and Refraction Rules Derived from Boundary Conditions of Maxwell Equations
-3.6.1 The Basic problem and Setup of Coordinates (基本问题和坐标系的建立)
--3.6.1 The Basic problem and Setup of Coordinates
-3.6.2 The Reflection and Transmission Coefficients (发射与透射系数)
--3.6.2 The Reflection and Transmission Coefficients
-3.6.3 Discussion on Amplitude of the Coefficients (对系数大小的讨论)
--3.6.3 Discussion on Amplitude of the Coefficients
-3.6.4 Discussion on Phase of the Coefficients (对系数位相的讨论)
--3.6.4 Discussion on Phase of the Coefficients
-3.7 Stokes Relation and Half Wavelength Difference (Stokes关系式和半波损)
--3.7 Stokes Relation and Half Wavelength Difference
-第三章习题
--习题
-4.1 Introduction(几何光学介绍)
-4.2 Important Jargons(重要的术语)
-4.3.1 Image formation by Spherical Surface and Paraxial Approxiamation(球面成像和傍轴近似)
--4.3.1 Image formation by Spherical Surface and Paraxial Approxiamation
-4.3.2 Image Formation Formula(成像公式)
--4.3.2 Image Formation Formula
-4.3.3 Example and Transverse Magnification(例题和横向放大率)
--4.3.3 Example and Transverse Magnification
-4.4 Thin Lens(薄透镜)
-4.5 Thick Lens(厚透镜)
-4.6.1 Matrix Treatment 1: Matrix for Propagation and Refraction(矩阵处理1:表示传播与折射的矩阵)
--4.6.1 Matrix Treatment 1: Matrix for Propagation and Refraction
-4.6.2 Matrix Treatment 2: Lens Matrix(矩阵处理2:透镜矩阵)
--4.6.2 Matrix Treatment 2: Lens Matrix
-4.6.3 Matrix Treatment 3: Relations between Matrix Elements and Cardinal Points(矩阵处理3:矩阵元与主点的联系)
--4.6.3 Matrix Treatment 3: Relations between Matrix Elements and Cardinal Points
-第四章习题
--习题
-5.0 What is Interference(什么是干涉)
-5.1.1 Superposition of Waves: General Case(波叠加的通式)
--5.1.1 Superposition of Waves: General Case
-5.1.2 Adding Wave with Same Frequency and Direction(同频同向波的叠加)
--5.1.2 Adding Wave with Same Frequency and Direction
-5.1.3.1 Standing Wave 1 (驻波(上))
-5.1.3.2 Standing Wave 2 (驻波(下))
-5.1.4.1 Adding Waves with Different Frequencies 1: Beat and Group Velocity(不同频率波的叠加(上):拍和群速度)
--5.1.4.1 Adding Waves with Different Frequencies 1: Beat and Group Velocity
-5.1.4.2 Adding Waves with Different Frequencies 2: Continuous Frequency Spectrum(不同频率波的叠加(中):连续的频谱)
--5.1.4.2 Adding Waves with Different Frequencies 2: Continuous Frequency Spectrum
-5.1.4.3 Adding Waves with Different Frequencies 3: property of Wave Packet and Reciprocal Relation(不
--5.1.4.3 Adding Waves with Different Frequencies 3: property of Wave Packet and Reciprocal Relation
-5.2.1 Interference of Two Point Sources and Coherent Condition(两个点源的干涉和相干条件)
--5.2.1 Interference of Two Point Sources and Coherent Condition
-5.2.2 Young's Double-Slits Experiment(杨氏双缝干涉实验)
--5.2.2 Young's Double-Slits Experiment
-5.2.3 Another Treatment of Young's Interference, Paraxial and Far-field Condition(杨氏干涉的另一种处理,傍轴和远场条
--5.2.3 Another Treatment of Young's Interference, Paraxial and Far-field Condition
-Chapter 5 Interference and Coherence(Part 1)--第五章习
-5.3.0 Interference by Thin Film(薄膜干涉)
--5.3.0 Interference by Thin Film
-5.3.1 Equal Thickness Fringe(等厚干涉条纹)
--5.3.1 Equal Thickness Fringe
-5.3.2 Equal Inclination Fringe(等倾干涉条纹)
--5.3.2 Equal inclination Fringe
-5.3.3 Michelson Interferometer(Michelson干涉仪)
--5.3.3 Michelson Interferometer
-5.4.0 Multibeam Interference(多光束干涉)
--5.4.0 Multibeam Interference
-5.4.1.1 Derivation 1(理论推导(上))
-5.4.1.2 Derivation 2(理论推导(下))
-5.4.2.1 Discussion(结论与讨论)
-5.4.2.2 Application: F-P Interferometer(应用:F-P 干涉仪)
--5.4.2.2 Application: F-P Interferometer
-5.5.0 Coherence Theory(相干理论)
-5.5.1 Spatial Coherence(空间相干性)
-5.5.2.1 Temporal Coherence(时间相干性)
-5.5.2.2 Coherent Time and Length(相干时间和相干长度)
--5.5.2.2 Coherent Time and Length
-5.5.3.1 Definition of Correlation Function(关联函数定义)
--5.5.3.1 Definition of Correlation Function
-5.5.3.2 Correlation Function and Coherence(关联函数与相干)
--5.5.3.2 Correlation Function and Coherence
-第五章习题(下)
--习题
-6.1 basic problem in diffraction(衍射的基本问题)
--6.1 basic problem in diffraction
-6.2.1 Huygens-Fresnel Principle and Kirchhoff Euation(惠更斯-菲涅耳原理和基尔霍夫方程)
--6.2.1 Huygens-Fresnel Principle and Kirchhoff Euation
-6.2.2 Fresnel and Fraunhoffer Diffraction(菲涅耳与夫琅和费衍射)
--6.2.2 Fresnel and Fraunhoffer Diffraction
-6.3.1 Fresnel Diffraction 1: Half Wavelength Plate(菲涅耳衍射1:半波带法)
--6.3.1 Fresnel Diffraction 1: Half Wavelength Plate
-6.3.2 Fresnel Diffraction 2: Phasor Method(菲涅耳衍射2:旋转矢量法)
--6.3.2 Fresnel Diffraction 2: Phasor Method
-6.3.3 Fresnel Diffraction 3: Opaque Disk and Babinet Principle(菲涅耳衍射3:圆屏衍射和Babinet原理)
--6.3.3 Fresnel Diffraction 3: Opaque Disk and Babinet Principle
-6.3.4 Fresnel Diffraction 4: Fresnel Zone Plate(an application)(菲涅耳衍射4:菲涅耳波带片(一个应用))
--6.3.4 Fresnel Diffraction 4: Fresnel Zone Plate(an application)
-6.4.0 Fraunhoffer Diffraction: General Expression(夫琅和费衍射1:普遍表达形式)
--6.4.0 6.4.0 Fraunhoffer Diffraction: General Expression
-6.4.1.1 Single Slit Fraunhoffer Diffraction(单缝夫琅和费衍射)
--6.4.1.1 Single Slit Fraunhoffer Diffraction
-6.4.1.2 Characteristic of Single Slit Case(单缝衍射的特点)
--6.4.1.2 Characteristic of Single Slit Case
-6.4.2 Fraunhoffer Diffraction for Rectangular Window(矩形窗口的夫琅和费衍射)
--6.4.2 Fraunhoffer Diffraction for Rectangular Window
-6.4.3.1 Fraunhoffer Diffraction for Circular Aperture(圆孔的夫琅和费衍射)
--6.4.3.1 Fraunhoffer Diffraction for Circular Aperture
-6.4.3.2 Diffraction Limit on Resolution(分辨率的衍射极限)
--6.4.3.2 Diffraction Limit on Resolution
-第六章习题(上)
--习题
-6.5.1 Fraunhoffer Diffraction for 2-slits Case(双缝夫琅和费衍射)
--6.5.1 Fraunhoffer Diffraction for 2-slits Case
-6.5.2.1 Multi-slits Dffraction 1: Intensity distribution(多缝衍射1:光强分布)
--6.5.2.1 Multi-slits Dffraction 1: Intensity distribution
-6.5.2.2 Multi-slits Diffraction 2: Interference between Slits and Principal maxima(多缝衍射2:缝间干涉和主极大)
--6.5.2.2 Multi-slits Diffraction 2: Interference between Slits and Principal maxima
-6.5.2.3 Multi-slits Diffraction 3: Missing Order and Examples(多缝衍射3:缺级与例题)
--6.5.2.3 Multi-slits Diffraction 3: Missing Order and Examples
-6.5.3.1 Grating Spectrometer(光栅光谱仪)
--6.5.3.1 Grating Spectrometer
-6.5.3.2 Dispersion Relation of Grating Spectrometer(光栅光谱仪的色散关系)
--6.5.3.2 Dispersion Relation of Grating Spectrometer
-6.5.3.3 Dispersion Power and Resolution(色散能力和分辨率)
--6.5.3.3 Dispersion Power and Resolution
-6.5.3.4 Free Spectral Range(自由光谱程)
-第六章习题(下)
--习题
-7.0 introducing Fourier expansion and transform(介绍傅里叶展开与变换)
--7.0
-7.1.1 Fourier transform for periodic functions(周期函数的傅里叶展开)
--7.1.1
-7.1.2 examples on Fourier expansion(傅里叶展开的例子)
--7.1.2
-7.2.1 Fourier transform for general functions(一般函数的傅里叶变换)
--7.2.1
-7.2.2 Fourier transforms of some typical functions and relation on width distribution(一些典型函数的傅里叶变换和分
--7.2.2
-7.3.1 Dirac delta function(狄拉克delta函数)
-7.3.2 Fourier transform of the delta function(delta函数的傅里叶变换)
--7.3.2
-7.4.1 properties of Fourier transform(傅里叶变换的性质)
--7.4.1
-7.4.2 Fourier transform of derivatives(函数导数的傅里叶变换)
--7.4.2
-7.4.3 what is convolution between functions(函数的卷积是什么)
--7.4.3
-7.4.4 Fourier transform of convolution(卷积的傅里叶变换)
--7.4.4
-7.5 relation between fourier transform and Fraunhoffer equation(傅里叶变换与夫琅禾费衍射之间的关系)
--7.5
-7.6 Abbe image formation(阿贝成像原理)
--7.6
-Chapter 7--第七章习题
-8.1 what is polarization(什么是偏振)
--8.1
-8.2.1 how to express polarization state(如何表达偏振态)
--8.2.1
-8.2.2 unpolarized and partial polarized light(非偏振态和部分偏振态)
--8.2.2
-8.3 linear polarizer(线偏振片)
--8.3
-8.4.1.1 Jones vector(Jones 矢量)
--8.4.1.1
-8.4.1.2 Transformation of Jones Vector(Jones 矢量的变换)
--8.4.1.2
-8.4.2 Jones matrix(Jones 矩阵)
--8.4.2
-第八章(上)习题
--习题
-8.5.1 Birefringence and a simple illustration
--8.5.1 Birefringence and a simple illustration
-8.5.2 Ordinary and Extraordinary light
--8.5.2
-8.5.3 Typical Examples
--8.5.3
-8.6.1 application 1-linear polarizer
--8.6.1
-8.6.2.1 application 2-quarter wave plate
--8.6.2.1
-8.6.2.2 application 2-change polarization state by quarter wave-plate
--8.6.2.2
-8.6.2.3 application2-change direction of polarization by half-plate
--8.6.2.3
-8.7.1
--8.7.1
-8.7.2
--8.7.2
-8.7.3
--8.7.3
-8.7.4
--8.7.4
-8.8.1
--8.8.1
-8.8.2
--8.8.2
-8.8.3
--8.8.3
-第八章(下)习题
--习题
-期末测试
--期末测试