当前课程知识点:光学 > Chapter 7 > 7.2.2 Fourier transforms of some typical functions and relation on width distribution(一些典型函数的傅里叶变换和分 > 7.2.2
前面的话我们介绍了
傅里叶对于一个非周期性的一个函数
它的傅里叶变换是什么
它怎么定义的
傅里叶频谱是什么 它的频谱是什么
下面的话
我们来看一些具体的一个例子
给出一些典型的函数
f(x)那么我们来看它的频谱
或者说它的傅里叶变换到底是什么
用我们第一个例子来讲的话
我这个f(x)的话就是一个典型的方波函数
相当于我们在讨论衍射波的时候
我有一个单缝
或者说在我们以前讲波叠加的时候
我的 这个形成的波包 比如说
我的这个波包是个方的一个波包
那我们来看它的频谱会是怎样的频谱
就是这样子的
那么这个东西的话
f(x)的定义很简单
这个φ高度是A
这个宽度是小a
从负的2分之A 关于0对称的这样的一个函数
那么f(x)的话是等于A
当我x小于等于2分之A的时候
它等于0 其它地方
那么我们来看F(k)
它在频谱上
或者叫频率空间k上它的函数的形式是什么
由这个f(x)我可以计算这个F(k)
这样计算的过程我省略掉了
其实这个计算很简单
这个东西是一个sinc函数
这是我们以前讲的
这是我们一个sinc函数
它的F(k)的形式
是一个sinc函数
高度 宽度
sinc的表达形式是在sinα比上α
其中α的定义式
这个就是我们
你会发现我们以后的话会讨论
如果我们这个地方是我们单缝的一个衍射屏
它的傅里叶的这个频谱实际上跟什么很类似啊
跟Fraunhoffer衍射所产生的那个衍射图案是类似的
是正比的
因为我们在讨论Fraunhoffer衍射的时候
就会发现Fraunhoffer衍射光场的分布
场的分布来讲就是
这样的一个sinc函数 sinα比α
这个不是巧合
这个我们在后面会发现Fraunhoffer衍射
就是给出来傅里叶的频谱
那么另外的一个的话 例子
是一个cos的一个函数
这实际上是一个周期函数了
我这cos有一个周期K0x
我当然可以给它写成 如果给它写成
因为我所有这些东西都是用euler formula来表示
当然是等于这个东西
那它的频谱是什么
如果我们直接来问的话
其实不从严格的计算来讲 立刻就可以找到
它的频谱是什么 它的频谱只有一个单频
这个K0或者负K0
因为cos正K负K无所谓的
所以它的频谱就是正K0和负K0
按照euler formula来讲的话
因此它的在频谱空间上的分布来讲
K的话它就两个地方有值
一个地方是在正K0有值
一个地方是在负K0有值
那么在这具体的这个傅里叶的函数的关系是一个特殊的函数
这我们后面就要讨论
它是个δ函数
只在这个地方 这个东西无穷窄无穷高
只在这个地方有值
所以它的F(k)
我们在定义了δ函数以后
我们就可以看到
它的傅里叶频谱正比于δ函数的
当然这是两个δ函数
一个δ函数在K0附近
另外的一个δ函数在负K0附近
所以这样的一个东西
这个就是我一个cos函数
或者我一个单色波
我可以看它的频谱是什么
那就这样子一个东西
那么下面来看的话
第三个 我们来看到的话是一个高斯函数
也是一个典型的我们叫Gaussion
高斯函数
它在x空间中的分布是一个高斯的形式给出来的
f(x)等于Ae-ax2
注意这个高斯宽度来讲的话取决于a
但我们这个定义来讲的话
这个wiidth是正比于a分之1的
a如果越大 这个宽度越窄
因为a如果大
我的x变化一点点
这个初值就已经衰减
你可以发现 如果a变小
a变大的话 整个的这边高斯函数是变瘦的
如果A是个小值
那么x可以取的比较大的值
那么我高斯函数的话是个胖子
那它的傅里叶变换来讲的话
在傅里叶的
在它的频谱空间
它的F(k)的这个形式来讲的话也会是一个高斯函数
只不过这个高斯函数的胖瘦啊
跟A成正比 而不是跟A的A分之1成正比
因为它这边的高斯函数的话
F(k)的话
进行积分以后 那么所得到的形式来讲的话
是这个
它也是个高斯函数
随着K的方负K方而衰减
除上的话是4倍的a
所以这边的width
用高斯函数的定义来讲的话
它将正比于这个东西的倒数
实际上是正比于a的
所以我们给了一些简单的一些函数
原始的函数f(x)是什么
它的傅里叶变换是什么
我们会发现也有一个规律
这个规律就是我们前面已经提到过的
当我原来的函数在空间上的分布如果越宽
在这种情况下我的a如果越宽
那我得这个sinα比α的这个值来讲的话
因为我的α的话是
我们知道α等于π的话是我的这个的宽度
所以如果我的a越宽的话
我的K的这个取值的话实际上是要变窄的
这边我空间的x上分布的越宽
我在K空间上得到的这个值会越窄
这也一样
在这个里面的话我们会发现在我x空间中
就相当于一个伸展到一个无穷了
那在我K空间的话
这个傅里叶频谱的宽度来讲的话
是极窄的 是个δ函数形式
宽度是趋于0的
那么对于高斯函数也有这样的性质
我在高斯函数的这个波包在x空间中
如果越宽
比如说我这个a是小的
那么它在频谱空间中在K空间上来讲
A如果小的话
它的这个的话
这个如果越宽
这个东西就会变得越窄
所以频谱空间的宽度
和我原来空间中的宽度中有一个反比关系
这个反比关系是我们以前谈到的
现在我们既然讲到了傅里叶变换的话
我们可以去证明这样的一个反比关系的存在了
所以我们来看一下
这就是我来δ(x)和δ(k)存在着一个反比的关系
反比的关系
δ(x)如果大
δ(k)一定要小
δ(x)如果小那δ(k)一定是大
就是这个意思
那么我们首先来讲的话对于傅里叶变换来讲的话
当然这个东西和统计上定义的那个均方的话略有差别
我们来定义一下δ(x)怎么定义
你首先得告诉我 你这个函数的宽度我们是怎么定义的
在傅里叶变换中我们来定义这样一个宽度
这个宽度的话也比较直观
我们把这个原来的这个函数的空间做一个积分
从负无穷到正无穷
换句话说我等于是把这样子一个函数的值
我在全空间做一个积分
然后除上某一个值得到一个平均的东西
那么
这个东西我除上 比如说除上f(0)
在我这个意思的话
就是我用这样的一个函数来模拟这个高斯函数
它的面积还是一样的
但我用一个矩形的一个面积来模拟
这个高斯的函数
那我这个矩形的宽度就是我这个δ(x)
我等于是整个的这个高斯函数积分所得到的这个面积
除上我选定的这个数值以后
得到的这样子一个矩形
这样子的一个面积
我来表示 表征这个函数的宽度
所以这叫我的δ(x)是这么定义的
那我δ(k)的话也完全类似的定义
我把这边的话做一个积分然后除上某一个值
把F(k)在dk空间中做一个积分
再除上这个值取k等于0的地方
我们定义了这样子以后就会发现
我的δ(x) δ(k)必然等于
我们来看我们立刻就可以证明
δ(x) δ(k)我这样定义的宽度
必然满足这个关系式
等于2π
这个证明的话是非常简单 一目了然
我们来看一下
我们知道如果我把f(x)写成F(k)的形式
是根号大家还记得的话是知道了傅里叶的频谱F(k)
我可以给它写成dk
那f(0)的话 换句话说
如果我x取0
那就是根号2π分之1
我会发现f(0)是跟什么有关系
就是我F(k) x取0
这东西是1了
就是F(k) dk
负无穷 正无穷
那类似的话
我F(k)傅里叶变换
和原函数之间的关系
我们会发现以后的推导
一切一切都可以从定义出发
来进行推导
所以这也是从定义来出发
那F(0) 我K取0的时候
相当于这个是1
那我就是根号2π分之1
负无穷正无穷
f(x) dx
所以我把F0 大F(0) 小f(0)
带到这个式子里头去
你才会发现相消
立刻就会推出来
把这两个东西代到我这个式子中去
我立刻就会推出来
这个δ(x) δ(k)等于2π
所以这样的一个反比关系是波的叠加
或者叫傅里叶变换的
一个很通用的一个性质
所以这个东西称之为General property
所以只要你用到傅里叶变换
只要你用到波 波的叠加
就会用到傅里叶变换
用到傅里叶变换就会有这样子的分布上的反比的关系
那么在光学中的话我们已经看到了
不同频率的波叠加
叠加出来的波包的宽度和频谱之间的话有一个反比关系
那么衍射的话 衍射是缝的宽度和我
Fraunhoffer衍射的这个角分布的这个宽度有反比的关系
将来以后在量子中的话
那边是所谓的matter wave
或者De Broglie wave 的叠加的话也会有反比关系
那时候的反比关系就是叫做位置和动量的不确定关系
或者能量和时间的不确定关系等等
但它都是General property of F-T
所以我们利用Fourier transform的定义给了几个例子
从这个例子中看出来分布的反比的关系
又进一步的来定义
这个分布的宽度由此用傅里叶的变换
它的定义来证明了
分布存在的这样的一个反比的关系式
这个反比的关系式是波动的
换句话说是波动物理中
只要涉及到波动 在物理中涉及到波动
这种的反比关系式都一样会存在的
不管这个波动的话到底是光的波动还是量子的波
-1.0 History of Optics 光学的历史发展
-1.1 Why Classical Wave Theory is Correct 经典理论为何正确
--1.1 Why Classical Wave Theory is Correct
-1.2 Wave and Wave Equation 波和波动方程
-1.3 Harmonic Wave 简谐波
-1.4 Phase Velocity and Phase Difference 相速度与相位差
--1.4 Phase Velocity and Phase Difference
-1.5 Superposition Principle 叠加原理
--1.5.1 Superposition Principle Part I
--1.5.2.Superposition Principle Part II
-1.6 Example of Superposition and Reciprocal Relation 叠加例子与反比关系
--1.6 Example of Superposition and Reciprocal Relation
-1.7 Euler Formula and Phasor 波的复数表达和旋转矢量表示
--1.7 Euler Formula and Phasor
-1.8 Doppler Effect 多普勒效应
--1.8.2 Doppler Effect Part II
-1.9 Doppler Broadening 多普勒展宽
-1.10 Plane Wave and Spherical Wave 平面波与球面波
--1.10 Plane Wave and Spherical Wave
-第一章习题
--习题
-2.1 Maxwell Equations(Maxwell 方程组)
-2.2 Wave Equation for E-M Field(电磁场的波动方程)
--2.2 Wave Equation for E-M Field
-2.3.1 Index of Refraction(折射率)
-2.3.2 Understanding n from Dipoles(用偶极模型理解折射率)
--2.3.2 Understanding n from Dipoles
-2.4 E-M Wave is Transverse(电磁波是横波)
-2.5 Energy Flow of E-M Wave(电磁波的能流)
-2.6 Momentum and photo-Pressure(动量和光压)
--2.6 Momentum and photo-Pressure
-2.7.1 Dipole Oscillator 1(偶极振子1)
-2.7.2 Dipole Oscillator 2(偶极振子2)
-2.8 Radiation by Dipole Oscillator(偶极振子的辐射)
--2.8 Radiation by Dipole Oscillator
-第二章习题
--习题
-3.1 Reflection and Refraction (反射与折射)
--3.1 Reflection and Refraction
-3.2 Huygens Principle(惠更斯原理)
-3.3.1 Fermat Principle part1: Optical Path Length (费马原理第一部分:光程)
--3.3.1 Fermat Principle part1: Optical Path Length
-3.3.2 Fermat Principle part2: an Explanation (费马原理第二部分:一种解释)
--3.3.2 Fermat Principle part2: an Explanation
-3.4.1 Scattering Point of View 1 (散射图像1)
--3.4.1 Scattering Point of View 1
-3.4.2 Scattering Point of View 2 (散射图像2)
--3.4.2 Scattering Point of View 2
-3.5 Reflection and Refraction Rules Derived from Boundary Conditions of Maxwell Equations(利用Maxwell方
--3.5 Reflection and Refraction Rules Derived from Boundary Conditions of Maxwell Equations
-3.6.1 The Basic problem and Setup of Coordinates (基本问题和坐标系的建立)
--3.6.1 The Basic problem and Setup of Coordinates
-3.6.2 The Reflection and Transmission Coefficients (发射与透射系数)
--3.6.2 The Reflection and Transmission Coefficients
-3.6.3 Discussion on Amplitude of the Coefficients (对系数大小的讨论)
--3.6.3 Discussion on Amplitude of the Coefficients
-3.6.4 Discussion on Phase of the Coefficients (对系数位相的讨论)
--3.6.4 Discussion on Phase of the Coefficients
-3.7 Stokes Relation and Half Wavelength Difference (Stokes关系式和半波损)
--3.7 Stokes Relation and Half Wavelength Difference
-第三章习题
--习题
-4.1 Introduction(几何光学介绍)
-4.2 Important Jargons(重要的术语)
-4.3.1 Image formation by Spherical Surface and Paraxial Approxiamation(球面成像和傍轴近似)
--4.3.1 Image formation by Spherical Surface and Paraxial Approxiamation
-4.3.2 Image Formation Formula(成像公式)
--4.3.2 Image Formation Formula
-4.3.3 Example and Transverse Magnification(例题和横向放大率)
--4.3.3 Example and Transverse Magnification
-4.4 Thin Lens(薄透镜)
-4.5 Thick Lens(厚透镜)
-4.6.1 Matrix Treatment 1: Matrix for Propagation and Refraction(矩阵处理1:表示传播与折射的矩阵)
--4.6.1 Matrix Treatment 1: Matrix for Propagation and Refraction
-4.6.2 Matrix Treatment 2: Lens Matrix(矩阵处理2:透镜矩阵)
--4.6.2 Matrix Treatment 2: Lens Matrix
-4.6.3 Matrix Treatment 3: Relations between Matrix Elements and Cardinal Points(矩阵处理3:矩阵元与主点的联系)
--4.6.3 Matrix Treatment 3: Relations between Matrix Elements and Cardinal Points
-第四章习题
--习题
-5.0 What is Interference(什么是干涉)
-5.1.1 Superposition of Waves: General Case(波叠加的通式)
--5.1.1 Superposition of Waves: General Case
-5.1.2 Adding Wave with Same Frequency and Direction(同频同向波的叠加)
--5.1.2 Adding Wave with Same Frequency and Direction
-5.1.3.1 Standing Wave 1 (驻波(上))
-5.1.3.2 Standing Wave 2 (驻波(下))
-5.1.4.1 Adding Waves with Different Frequencies 1: Beat and Group Velocity(不同频率波的叠加(上):拍和群速度)
--5.1.4.1 Adding Waves with Different Frequencies 1: Beat and Group Velocity
-5.1.4.2 Adding Waves with Different Frequencies 2: Continuous Frequency Spectrum(不同频率波的叠加(中):连续的频谱)
--5.1.4.2 Adding Waves with Different Frequencies 2: Continuous Frequency Spectrum
-5.1.4.3 Adding Waves with Different Frequencies 3: property of Wave Packet and Reciprocal Relation(不
--5.1.4.3 Adding Waves with Different Frequencies 3: property of Wave Packet and Reciprocal Relation
-5.2.1 Interference of Two Point Sources and Coherent Condition(两个点源的干涉和相干条件)
--5.2.1 Interference of Two Point Sources and Coherent Condition
-5.2.2 Young's Double-Slits Experiment(杨氏双缝干涉实验)
--5.2.2 Young's Double-Slits Experiment
-5.2.3 Another Treatment of Young's Interference, Paraxial and Far-field Condition(杨氏干涉的另一种处理,傍轴和远场条
--5.2.3 Another Treatment of Young's Interference, Paraxial and Far-field Condition
-Chapter 5 Interference and Coherence(Part 1)--第五章习
-5.3.0 Interference by Thin Film(薄膜干涉)
--5.3.0 Interference by Thin Film
-5.3.1 Equal Thickness Fringe(等厚干涉条纹)
--5.3.1 Equal Thickness Fringe
-5.3.2 Equal Inclination Fringe(等倾干涉条纹)
--5.3.2 Equal inclination Fringe
-5.3.3 Michelson Interferometer(Michelson干涉仪)
--5.3.3 Michelson Interferometer
-5.4.0 Multibeam Interference(多光束干涉)
--5.4.0 Multibeam Interference
-5.4.1.1 Derivation 1(理论推导(上))
-5.4.1.2 Derivation 2(理论推导(下))
-5.4.2.1 Discussion(结论与讨论)
-5.4.2.2 Application: F-P Interferometer(应用:F-P 干涉仪)
--5.4.2.2 Application: F-P Interferometer
-5.5.0 Coherence Theory(相干理论)
-5.5.1 Spatial Coherence(空间相干性)
-5.5.2.1 Temporal Coherence(时间相干性)
-5.5.2.2 Coherent Time and Length(相干时间和相干长度)
--5.5.2.2 Coherent Time and Length
-5.5.3.1 Definition of Correlation Function(关联函数定义)
--5.5.3.1 Definition of Correlation Function
-5.5.3.2 Correlation Function and Coherence(关联函数与相干)
--5.5.3.2 Correlation Function and Coherence
-第五章习题(下)
--习题
-6.1 basic problem in diffraction(衍射的基本问题)
--6.1 basic problem in diffraction
-6.2.1 Huygens-Fresnel Principle and Kirchhoff Euation(惠更斯-菲涅耳原理和基尔霍夫方程)
--6.2.1 Huygens-Fresnel Principle and Kirchhoff Euation
-6.2.2 Fresnel and Fraunhoffer Diffraction(菲涅耳与夫琅和费衍射)
--6.2.2 Fresnel and Fraunhoffer Diffraction
-6.3.1 Fresnel Diffraction 1: Half Wavelength Plate(菲涅耳衍射1:半波带法)
--6.3.1 Fresnel Diffraction 1: Half Wavelength Plate
-6.3.2 Fresnel Diffraction 2: Phasor Method(菲涅耳衍射2:旋转矢量法)
--6.3.2 Fresnel Diffraction 2: Phasor Method
-6.3.3 Fresnel Diffraction 3: Opaque Disk and Babinet Principle(菲涅耳衍射3:圆屏衍射和Babinet原理)
--6.3.3 Fresnel Diffraction 3: Opaque Disk and Babinet Principle
-6.3.4 Fresnel Diffraction 4: Fresnel Zone Plate(an application)(菲涅耳衍射4:菲涅耳波带片(一个应用))
--6.3.4 Fresnel Diffraction 4: Fresnel Zone Plate(an application)
-6.4.0 Fraunhoffer Diffraction: General Expression(夫琅和费衍射1:普遍表达形式)
--6.4.0 6.4.0 Fraunhoffer Diffraction: General Expression
-6.4.1.1 Single Slit Fraunhoffer Diffraction(单缝夫琅和费衍射)
--6.4.1.1 Single Slit Fraunhoffer Diffraction
-6.4.1.2 Characteristic of Single Slit Case(单缝衍射的特点)
--6.4.1.2 Characteristic of Single Slit Case
-6.4.2 Fraunhoffer Diffraction for Rectangular Window(矩形窗口的夫琅和费衍射)
--6.4.2 Fraunhoffer Diffraction for Rectangular Window
-6.4.3.1 Fraunhoffer Diffraction for Circular Aperture(圆孔的夫琅和费衍射)
--6.4.3.1 Fraunhoffer Diffraction for Circular Aperture
-6.4.3.2 Diffraction Limit on Resolution(分辨率的衍射极限)
--6.4.3.2 Diffraction Limit on Resolution
-第六章习题(上)
--习题
-6.5.1 Fraunhoffer Diffraction for 2-slits Case(双缝夫琅和费衍射)
--6.5.1 Fraunhoffer Diffraction for 2-slits Case
-6.5.2.1 Multi-slits Dffraction 1: Intensity distribution(多缝衍射1:光强分布)
--6.5.2.1 Multi-slits Dffraction 1: Intensity distribution
-6.5.2.2 Multi-slits Diffraction 2: Interference between Slits and Principal maxima(多缝衍射2:缝间干涉和主极大)
--6.5.2.2 Multi-slits Diffraction 2: Interference between Slits and Principal maxima
-6.5.2.3 Multi-slits Diffraction 3: Missing Order and Examples(多缝衍射3:缺级与例题)
--6.5.2.3 Multi-slits Diffraction 3: Missing Order and Examples
-6.5.3.1 Grating Spectrometer(光栅光谱仪)
--6.5.3.1 Grating Spectrometer
-6.5.3.2 Dispersion Relation of Grating Spectrometer(光栅光谱仪的色散关系)
--6.5.3.2 Dispersion Relation of Grating Spectrometer
-6.5.3.3 Dispersion Power and Resolution(色散能力和分辨率)
--6.5.3.3 Dispersion Power and Resolution
-6.5.3.4 Free Spectral Range(自由光谱程)
-第六章习题(下)
--习题
-7.0 introducing Fourier expansion and transform(介绍傅里叶展开与变换)
--7.0
-7.1.1 Fourier transform for periodic functions(周期函数的傅里叶展开)
--7.1.1
-7.1.2 examples on Fourier expansion(傅里叶展开的例子)
--7.1.2
-7.2.1 Fourier transform for general functions(一般函数的傅里叶变换)
--7.2.1
-7.2.2 Fourier transforms of some typical functions and relation on width distribution(一些典型函数的傅里叶变换和分
--7.2.2
-7.3.1 Dirac delta function(狄拉克delta函数)
-7.3.2 Fourier transform of the delta function(delta函数的傅里叶变换)
--7.3.2
-7.4.1 properties of Fourier transform(傅里叶变换的性质)
--7.4.1
-7.4.2 Fourier transform of derivatives(函数导数的傅里叶变换)
--7.4.2
-7.4.3 what is convolution between functions(函数的卷积是什么)
--7.4.3
-7.4.4 Fourier transform of convolution(卷积的傅里叶变换)
--7.4.4
-7.5 relation between fourier transform and Fraunhoffer equation(傅里叶变换与夫琅禾费衍射之间的关系)
--7.5
-7.6 Abbe image formation(阿贝成像原理)
--7.6
-Chapter 7--第七章习题
-8.1 what is polarization(什么是偏振)
--8.1
-8.2.1 how to express polarization state(如何表达偏振态)
--8.2.1
-8.2.2 unpolarized and partial polarized light(非偏振态和部分偏振态)
--8.2.2
-8.3 linear polarizer(线偏振片)
--8.3
-8.4.1.1 Jones vector(Jones 矢量)
--8.4.1.1
-8.4.1.2 Transformation of Jones Vector(Jones 矢量的变换)
--8.4.1.2
-8.4.2 Jones matrix(Jones 矩阵)
--8.4.2
-第八章(上)习题
--习题
-8.5.1 Birefringence and a simple illustration
--8.5.1 Birefringence and a simple illustration
-8.5.2 Ordinary and Extraordinary light
--8.5.2
-8.5.3 Typical Examples
--8.5.3
-8.6.1 application 1-linear polarizer
--8.6.1
-8.6.2.1 application 2-quarter wave plate
--8.6.2.1
-8.6.2.2 application 2-change polarization state by quarter wave-plate
--8.6.2.2
-8.6.2.3 application2-change direction of polarization by half-plate
--8.6.2.3
-8.7.1
--8.7.1
-8.7.2
--8.7.2
-8.7.3
--8.7.3
-8.7.4
--8.7.4
-8.8.1
--8.8.1
-8.8.2
--8.8.2
-8.8.3
--8.8.3
-第八章(下)习题
--习题
-期末测试
--期末测试