当前课程知识点:光学 > Chapter 7 > 7.0 introducing Fourier expansion and transform(介绍傅里叶展开与变换) > 7.0
大家好
从今天开始我们讲傅里叶光学
但是讲傅里叶光学实际上最重要的话叫做
傅里叶变换所用的数学基础
虽然它是一个数学的工具
但在物理中
特别是处理波动的物理中
是非常非常有用的
在我们波动光学中会用到Fourier transform
实际上我们讲完这章你会发现
前面一章讲的叫做Fraunhoffer的衍射
就是傅里叶变换的一个实际运用
以后在量子力学中
处理物质波的时候也一样会用到傅里叶变换
所以傅里叶变换在处理波的物理中
是非常 非常 常见的
和广泛的
其它的涉及到波
比如说电磁波的电子学等等
也会用到傅里叶变换
当然傅里叶变换来讲的话
因为 它的数学 是一个数学的话题
我们是一个物理的课程
所以在我讲傅里叶变换的时候
着重于 不是侧重于数学上的严格证明
而是侧重于傅里叶变换是如何运用到波动的物理上的
好 我们来看
所以我们首先讲的就是傅里叶变换
这一章主要的问题就是
那傅里叶变换到底是什么
什么叫傅里叶变换
当然最好是
比如说给了我一个函数
我称之为f(x)
我就说明一个一维的
或者叫单变量的函数来表示 最简单的
我们把它给它看成是什么呀
看成好多个不同的简谐波的一个叠加
把它看成cosKx和sinKx的一个叠加
比如说这个地方的话
前面可以是M
M等于 1到N
当然还可能有一个常数项
这边常数项还可以给它加上一个
比如说这个东西是常数项
我们称之为2分之A0
这个东西叫做傅里叶展开
当然这个适用条件 我们将来会发现
这个适用条件是对于周期性函数
这个地方我只是把这个傅里叶展开给写下来
详细讨论在后面
所以我们的主要任务来讲
从傅里叶展开来讲
对一个周期性函数
我们给它 给它展开成为什么
给它展开成为cos的项
还有sin的项
当然前面的话会有它的展开系数
A是cos的展开系数
B是sin的展开系数
这就叫傅里叶变换
傅里叶展开
这个东西的话我们将来会称之为Fourier Expansion
这叫展开
这个类似于什么呀
类似于我们把一个函数给它展开成为
常数项 一次项 二次项等等的所谓泰勒展开
只不过这种形式给它展开成为cos sin的项
所以称之为傅里叶展开
那么对于任意的
给定的一个函数
这函数可不一定是周期性的函数了
对于非周期性的函数
我们也叫 这个地方的f(x)非周期性函数
我们会发现
这样一个展开会过渡到一个积分的形式
这个积分的形式我们称之为
傅里叶展开
也叫傅里叶积分 也叫傅里叶变换
我们会发现这个
这个本质上我们就把傅里叶展开
或者傅里叶变换是什么先告诉给大家
那么下面的话一定会问一个问题
为什么要这么复杂
干嘛要把这样子的原来好好的一个函数
我给它展开成为cos项或sin项
或者给它变成积分的形式
变成这样子的一个欧拉的表达形式
那么这一部分的话 实际上
就是跟我们的应用是有关系
我们把一个复杂的函数
可以给它分解成为相对简单的函数的
一个集合
之所以简单是因为很多的系统
对于 如果cos或者sin作为输入的时候
它的输出或者它的响应
我是知道的
那么如果我能够把一个函数展开成为cos和sin
或者是eikx
这样的一种叠加的状态
那么整个的这样子一个信号
复杂的信号经过我的系统
它到底是什么我也可以知道了
所以这是展开的
为什么做这个
是因为我们可以把复杂的信号
它的输出是什么给求出来
所以我们来看的话
之所以的 reason for this 原因做这种展开来讲是因为
我们很多的探测系统
这个系统不一定是真的实验的探测
甚至比如说解微分方程
这个微分方程就是一个线性的体系
所以我们称之为一个Linear system
这个Linear system就只是泛泛的来说
它的response是用R表示
这代表response它的响应
如果我里面
之所以叫Linear是这个意思
如果我的信号可以看成
若干个不同信号的叠加
这些信号S代表signal
所以我这边写一下
R代表response
S代表signal 信号
这意味着我有不同的信号送进来
我整个系统的对所有这些信号的响应
它是一个线性 是这样定义的
相当于我对信号1的响应
加上我对信号2的响应
加上这些
我们很多的系统
都属于这样子
比如说一个inhomogeneous的differential equation
一个微分方程
那么你的输入的话不同
那么输出来讲的话就是一个线性系统
那么对于这样子一个线性系统
我现在来讲如果我的R (S1)对于我一些的信号
在我们这里面来处理的话就是cos sin这样的信号
它的话是知道的
比如说我们的电路
通常来讲的话给了一个定频率的
一个cos的信号
一个sin的信号
那么它的输出是确定的
那么对于任意给进来的输入我这个电路里的一个信号
如果把它展开成为不用的sin cos的项
那么它的输出我也就可以求出来了
所以只要如果R (S1)我知道的话
又能把任意的一个信号给它看成
给它展开成为Si
当然前面可以有比例系数
这样子一个叠加
这任意的一个信号我知道的话
那么我对于任意的一个信号
它的输出我也就知道了
所以对于线性的系统
那么复杂的信号
它的解
我可以给它把信号分解成为简单点的信号
而这些简单的
之所以称之为简单是因为对于我系统来讲
它的响应是知道的
这个知道了
如果展开的话这个系数也知道
如果ai也知道
那么对于任意的一个信号
输入到我这个系统中
它的输出是什么
我也就知道了
所以这个东西由这个地方也就知道了
因此我们为什么要把
任意的复杂的函数给它分解成为
这样的sin cos的项
就是为了处理这一类的问题
在后面的例子中 我们也会谈到
好 这个地方我们是用先泛泛的介绍了
什么叫做傅里叶变换
傅里叶展开
也就是说把任意一个函数给它展开成为sin
cos这样子的简谐的波函数叠加的形式
那么反过来讲的话
在我们光学中
所谓用的波的叠加的时候
我们是把不同的sin cos给叠加出来
得到的一个所谓的叫做波包
或者波函数
那自然也是这个傅里叶展开或者傅里叶变换的另一方面
相当于我知道了sin cos这些项
把它们加起来我得到的函数
或者什么东西或者波包是什么东西
所以这是一个问题的两个方面
知道函数我们来求cos sin的项
或者反过来
知道sin cos的项叠加起来
推得原来的函数是什么
这个就是我们所要解决的主要的问题
在傅里叶变换
或者傅里叶展开中
要解决的主要的问题
之所以要这么做
就是我们刚才所讲到的
对于复杂的信号分解成为简单信号的叠加
这样子的复杂的信号是什么 我也就清楚了
这一个思路在物理学中的话
还会反复不断的用到
比如说我们以后的话
会接触到一个叫做本征方程
或者叫本征函数 本征值这样的问题
eigen function eigen value
在量子力学中是反复不断地要用到这样的东西
我们把任意的一个函数给它展开成为什么呀
展开成为
我这个系统的本征函数的一个叠加
在那个里面的话就不光光是傅里叶的展开了
那里面的特殊的函数可能是求弦函数
可以是其它的一些函数
但是思路都是一样的
之所以要把一个任意的一个函数
展开成为这些特殊函数的叠加
就是为了求得 给定任意的一个物理的信号
那到底这个系统的输出是什么
-1.0 History of Optics 光学的历史发展
-1.1 Why Classical Wave Theory is Correct 经典理论为何正确
--1.1 Why Classical Wave Theory is Correct
-1.2 Wave and Wave Equation 波和波动方程
-1.3 Harmonic Wave 简谐波
-1.4 Phase Velocity and Phase Difference 相速度与相位差
--1.4 Phase Velocity and Phase Difference
-1.5 Superposition Principle 叠加原理
--1.5.1 Superposition Principle Part I
--1.5.2.Superposition Principle Part II
-1.6 Example of Superposition and Reciprocal Relation 叠加例子与反比关系
--1.6 Example of Superposition and Reciprocal Relation
-1.7 Euler Formula and Phasor 波的复数表达和旋转矢量表示
--1.7 Euler Formula and Phasor
-1.8 Doppler Effect 多普勒效应
--1.8.2 Doppler Effect Part II
-1.9 Doppler Broadening 多普勒展宽
-1.10 Plane Wave and Spherical Wave 平面波与球面波
--1.10 Plane Wave and Spherical Wave
-第一章习题
--习题
-2.1 Maxwell Equations(Maxwell 方程组)
-2.2 Wave Equation for E-M Field(电磁场的波动方程)
--2.2 Wave Equation for E-M Field
-2.3.1 Index of Refraction(折射率)
-2.3.2 Understanding n from Dipoles(用偶极模型理解折射率)
--2.3.2 Understanding n from Dipoles
-2.4 E-M Wave is Transverse(电磁波是横波)
-2.5 Energy Flow of E-M Wave(电磁波的能流)
-2.6 Momentum and photo-Pressure(动量和光压)
--2.6 Momentum and photo-Pressure
-2.7.1 Dipole Oscillator 1(偶极振子1)
-2.7.2 Dipole Oscillator 2(偶极振子2)
-2.8 Radiation by Dipole Oscillator(偶极振子的辐射)
--2.8 Radiation by Dipole Oscillator
-第二章习题
--习题
-3.1 Reflection and Refraction (反射与折射)
--3.1 Reflection and Refraction
-3.2 Huygens Principle(惠更斯原理)
-3.3.1 Fermat Principle part1: Optical Path Length (费马原理第一部分:光程)
--3.3.1 Fermat Principle part1: Optical Path Length
-3.3.2 Fermat Principle part2: an Explanation (费马原理第二部分:一种解释)
--3.3.2 Fermat Principle part2: an Explanation
-3.4.1 Scattering Point of View 1 (散射图像1)
--3.4.1 Scattering Point of View 1
-3.4.2 Scattering Point of View 2 (散射图像2)
--3.4.2 Scattering Point of View 2
-3.5 Reflection and Refraction Rules Derived from Boundary Conditions of Maxwell Equations(利用Maxwell方
--3.5 Reflection and Refraction Rules Derived from Boundary Conditions of Maxwell Equations
-3.6.1 The Basic problem and Setup of Coordinates (基本问题和坐标系的建立)
--3.6.1 The Basic problem and Setup of Coordinates
-3.6.2 The Reflection and Transmission Coefficients (发射与透射系数)
--3.6.2 The Reflection and Transmission Coefficients
-3.6.3 Discussion on Amplitude of the Coefficients (对系数大小的讨论)
--3.6.3 Discussion on Amplitude of the Coefficients
-3.6.4 Discussion on Phase of the Coefficients (对系数位相的讨论)
--3.6.4 Discussion on Phase of the Coefficients
-3.7 Stokes Relation and Half Wavelength Difference (Stokes关系式和半波损)
--3.7 Stokes Relation and Half Wavelength Difference
-第三章习题
--习题
-4.1 Introduction(几何光学介绍)
-4.2 Important Jargons(重要的术语)
-4.3.1 Image formation by Spherical Surface and Paraxial Approxiamation(球面成像和傍轴近似)
--4.3.1 Image formation by Spherical Surface and Paraxial Approxiamation
-4.3.2 Image Formation Formula(成像公式)
--4.3.2 Image Formation Formula
-4.3.3 Example and Transverse Magnification(例题和横向放大率)
--4.3.3 Example and Transverse Magnification
-4.4 Thin Lens(薄透镜)
-4.5 Thick Lens(厚透镜)
-4.6.1 Matrix Treatment 1: Matrix for Propagation and Refraction(矩阵处理1:表示传播与折射的矩阵)
--4.6.1 Matrix Treatment 1: Matrix for Propagation and Refraction
-4.6.2 Matrix Treatment 2: Lens Matrix(矩阵处理2:透镜矩阵)
--4.6.2 Matrix Treatment 2: Lens Matrix
-4.6.3 Matrix Treatment 3: Relations between Matrix Elements and Cardinal Points(矩阵处理3:矩阵元与主点的联系)
--4.6.3 Matrix Treatment 3: Relations between Matrix Elements and Cardinal Points
-第四章习题
--习题
-5.0 What is Interference(什么是干涉)
-5.1.1 Superposition of Waves: General Case(波叠加的通式)
--5.1.1 Superposition of Waves: General Case
-5.1.2 Adding Wave with Same Frequency and Direction(同频同向波的叠加)
--5.1.2 Adding Wave with Same Frequency and Direction
-5.1.3.1 Standing Wave 1 (驻波(上))
-5.1.3.2 Standing Wave 2 (驻波(下))
-5.1.4.1 Adding Waves with Different Frequencies 1: Beat and Group Velocity(不同频率波的叠加(上):拍和群速度)
--5.1.4.1 Adding Waves with Different Frequencies 1: Beat and Group Velocity
-5.1.4.2 Adding Waves with Different Frequencies 2: Continuous Frequency Spectrum(不同频率波的叠加(中):连续的频谱)
--5.1.4.2 Adding Waves with Different Frequencies 2: Continuous Frequency Spectrum
-5.1.4.3 Adding Waves with Different Frequencies 3: property of Wave Packet and Reciprocal Relation(不
--5.1.4.3 Adding Waves with Different Frequencies 3: property of Wave Packet and Reciprocal Relation
-5.2.1 Interference of Two Point Sources and Coherent Condition(两个点源的干涉和相干条件)
--5.2.1 Interference of Two Point Sources and Coherent Condition
-5.2.2 Young's Double-Slits Experiment(杨氏双缝干涉实验)
--5.2.2 Young's Double-Slits Experiment
-5.2.3 Another Treatment of Young's Interference, Paraxial and Far-field Condition(杨氏干涉的另一种处理,傍轴和远场条
--5.2.3 Another Treatment of Young's Interference, Paraxial and Far-field Condition
-Chapter 5 Interference and Coherence(Part 1)--第五章习
-5.3.0 Interference by Thin Film(薄膜干涉)
--5.3.0 Interference by Thin Film
-5.3.1 Equal Thickness Fringe(等厚干涉条纹)
--5.3.1 Equal Thickness Fringe
-5.3.2 Equal Inclination Fringe(等倾干涉条纹)
--5.3.2 Equal inclination Fringe
-5.3.3 Michelson Interferometer(Michelson干涉仪)
--5.3.3 Michelson Interferometer
-5.4.0 Multibeam Interference(多光束干涉)
--5.4.0 Multibeam Interference
-5.4.1.1 Derivation 1(理论推导(上))
-5.4.1.2 Derivation 2(理论推导(下))
-5.4.2.1 Discussion(结论与讨论)
-5.4.2.2 Application: F-P Interferometer(应用:F-P 干涉仪)
--5.4.2.2 Application: F-P Interferometer
-5.5.0 Coherence Theory(相干理论)
-5.5.1 Spatial Coherence(空间相干性)
-5.5.2.1 Temporal Coherence(时间相干性)
-5.5.2.2 Coherent Time and Length(相干时间和相干长度)
--5.5.2.2 Coherent Time and Length
-5.5.3.1 Definition of Correlation Function(关联函数定义)
--5.5.3.1 Definition of Correlation Function
-5.5.3.2 Correlation Function and Coherence(关联函数与相干)
--5.5.3.2 Correlation Function and Coherence
-第五章习题(下)
--习题
-6.1 basic problem in diffraction(衍射的基本问题)
--6.1 basic problem in diffraction
-6.2.1 Huygens-Fresnel Principle and Kirchhoff Euation(惠更斯-菲涅耳原理和基尔霍夫方程)
--6.2.1 Huygens-Fresnel Principle and Kirchhoff Euation
-6.2.2 Fresnel and Fraunhoffer Diffraction(菲涅耳与夫琅和费衍射)
--6.2.2 Fresnel and Fraunhoffer Diffraction
-6.3.1 Fresnel Diffraction 1: Half Wavelength Plate(菲涅耳衍射1:半波带法)
--6.3.1 Fresnel Diffraction 1: Half Wavelength Plate
-6.3.2 Fresnel Diffraction 2: Phasor Method(菲涅耳衍射2:旋转矢量法)
--6.3.2 Fresnel Diffraction 2: Phasor Method
-6.3.3 Fresnel Diffraction 3: Opaque Disk and Babinet Principle(菲涅耳衍射3:圆屏衍射和Babinet原理)
--6.3.3 Fresnel Diffraction 3: Opaque Disk and Babinet Principle
-6.3.4 Fresnel Diffraction 4: Fresnel Zone Plate(an application)(菲涅耳衍射4:菲涅耳波带片(一个应用))
--6.3.4 Fresnel Diffraction 4: Fresnel Zone Plate(an application)
-6.4.0 Fraunhoffer Diffraction: General Expression(夫琅和费衍射1:普遍表达形式)
--6.4.0 6.4.0 Fraunhoffer Diffraction: General Expression
-6.4.1.1 Single Slit Fraunhoffer Diffraction(单缝夫琅和费衍射)
--6.4.1.1 Single Slit Fraunhoffer Diffraction
-6.4.1.2 Characteristic of Single Slit Case(单缝衍射的特点)
--6.4.1.2 Characteristic of Single Slit Case
-6.4.2 Fraunhoffer Diffraction for Rectangular Window(矩形窗口的夫琅和费衍射)
--6.4.2 Fraunhoffer Diffraction for Rectangular Window
-6.4.3.1 Fraunhoffer Diffraction for Circular Aperture(圆孔的夫琅和费衍射)
--6.4.3.1 Fraunhoffer Diffraction for Circular Aperture
-6.4.3.2 Diffraction Limit on Resolution(分辨率的衍射极限)
--6.4.3.2 Diffraction Limit on Resolution
-第六章习题(上)
--习题
-6.5.1 Fraunhoffer Diffraction for 2-slits Case(双缝夫琅和费衍射)
--6.5.1 Fraunhoffer Diffraction for 2-slits Case
-6.5.2.1 Multi-slits Dffraction 1: Intensity distribution(多缝衍射1:光强分布)
--6.5.2.1 Multi-slits Dffraction 1: Intensity distribution
-6.5.2.2 Multi-slits Diffraction 2: Interference between Slits and Principal maxima(多缝衍射2:缝间干涉和主极大)
--6.5.2.2 Multi-slits Diffraction 2: Interference between Slits and Principal maxima
-6.5.2.3 Multi-slits Diffraction 3: Missing Order and Examples(多缝衍射3:缺级与例题)
--6.5.2.3 Multi-slits Diffraction 3: Missing Order and Examples
-6.5.3.1 Grating Spectrometer(光栅光谱仪)
--6.5.3.1 Grating Spectrometer
-6.5.3.2 Dispersion Relation of Grating Spectrometer(光栅光谱仪的色散关系)
--6.5.3.2 Dispersion Relation of Grating Spectrometer
-6.5.3.3 Dispersion Power and Resolution(色散能力和分辨率)
--6.5.3.3 Dispersion Power and Resolution
-6.5.3.4 Free Spectral Range(自由光谱程)
-第六章习题(下)
--习题
-7.0 introducing Fourier expansion and transform(介绍傅里叶展开与变换)
--7.0
-7.1.1 Fourier transform for periodic functions(周期函数的傅里叶展开)
--7.1.1
-7.1.2 examples on Fourier expansion(傅里叶展开的例子)
--7.1.2
-7.2.1 Fourier transform for general functions(一般函数的傅里叶变换)
--7.2.1
-7.2.2 Fourier transforms of some typical functions and relation on width distribution(一些典型函数的傅里叶变换和分
--7.2.2
-7.3.1 Dirac delta function(狄拉克delta函数)
-7.3.2 Fourier transform of the delta function(delta函数的傅里叶变换)
--7.3.2
-7.4.1 properties of Fourier transform(傅里叶变换的性质)
--7.4.1
-7.4.2 Fourier transform of derivatives(函数导数的傅里叶变换)
--7.4.2
-7.4.3 what is convolution between functions(函数的卷积是什么)
--7.4.3
-7.4.4 Fourier transform of convolution(卷积的傅里叶变换)
--7.4.4
-7.5 relation between fourier transform and Fraunhoffer equation(傅里叶变换与夫琅禾费衍射之间的关系)
--7.5
-7.6 Abbe image formation(阿贝成像原理)
--7.6
-Chapter 7--第七章习题
-8.1 what is polarization(什么是偏振)
--8.1
-8.2.1 how to express polarization state(如何表达偏振态)
--8.2.1
-8.2.2 unpolarized and partial polarized light(非偏振态和部分偏振态)
--8.2.2
-8.3 linear polarizer(线偏振片)
--8.3
-8.4.1.1 Jones vector(Jones 矢量)
--8.4.1.1
-8.4.1.2 Transformation of Jones Vector(Jones 矢量的变换)
--8.4.1.2
-8.4.2 Jones matrix(Jones 矩阵)
--8.4.2
-第八章(上)习题
--习题
-8.5.1 Birefringence and a simple illustration
--8.5.1 Birefringence and a simple illustration
-8.5.2 Ordinary and Extraordinary light
--8.5.2
-8.5.3 Typical Examples
--8.5.3
-8.6.1 application 1-linear polarizer
--8.6.1
-8.6.2.1 application 2-quarter wave plate
--8.6.2.1
-8.6.2.2 application 2-change polarization state by quarter wave-plate
--8.6.2.2
-8.6.2.3 application2-change direction of polarization by half-plate
--8.6.2.3
-8.7.1
--8.7.1
-8.7.2
--8.7.2
-8.7.3
--8.7.3
-8.7.4
--8.7.4
-8.8.1
--8.8.1
-8.8.2
--8.8.2
-8.8.3
--8.8.3
-第八章(下)习题
--习题
-期末测试
--期末测试