当前课程知识点:光学 > Chapter 8(下) > 8.7.2 > 8.7.2
这一节的话
我们要介绍重要的一种算符
当然还是一样子
在光学部分的话
这一部分的话
相当于是提高的一个部分
但是在量子中的话是必须的
所以我们继续来介绍
利用琼斯矩阵作为一个切入点
我们来介绍第三种方法
这种方法的话涉及到
叫投影算符的东西projector
那么首先来定义什么叫投影算符
当然我们先引入什么叫投影算符
我们现在来看的话是这样子的
我们已经知道了
给定一个矢量
比如说矢量i
一个矢量j
这个东西我们以前习惯用这个符号
我们现在用狄拉克符号
它可以写成一个矩阵的形式
我们以前知道的话
1:21
这边的话还是共轭的
那我们现在狄拉克算符
具体的形式写成i dot j
这个的形式就相当于一个点乘
这个东西我们会得到一个scalar
一个数
但是我们再来看的以前
这两个运算顺序是没关系的
如果你用j点乘i
反过来倒过去是没有关系
但是在矩阵的表达形式的时候
这两个的顺序是有关系的
所以我们说
两个矢量的点乘
是用这个的形式来表示的
那么我们现在看一个
假如说我把这个东西的话
顺序倒一下会变成一个什么
我把这个东西只是左右倒一下
那就会变成这样的一个东西
那就变成了这边是j
这边是i的这样子一个玩意
所以这个东西的话
到底是什么一个东西
我们怎么来看这个东西
它和它是不是相等的
当然是不等的
这是因为两个矩阵的运算之间
是不一定存在着
可以交换的这种性质的
现在我们交换了这两个矩阵
我们会发现
计算的结果会是截然不同的
那么我们举个例子来讲就是
我的i j是我的正交的基
那么在这个时候的话
我知道
比如说我的i dot j
这个东西点乘
和这个相等的时候是1
不等的时候是0
这很简单
但是如果我们来看这个东西代表的
一个是什么东西呀
这个东西的话
j的话
j是一个我们这么写的话
这代表着一个转置再加上共轭的
这个东西就是一个column vector
0 1其它地方都是0
这个地方是在Dj一行
这个东西是1
这是j代表的矩阵
i的话这个顺序是重要的
所以我必须把这个顺序写对了
这个i的话是一个这种形式的column vector
转置再加共轭
但是对于一个基矢量
这个分量都是实数
所以共轭无所谓都是1
那么因此的话这个 i的话
转置变成了一个row vector 0
其中有一项为1
其它项都是0
是在D
这个Di标的话这个
所以是这样子的两个矩阵相乘
而这个东西的话是个N乘上1的矩阵
这个东西的话是1乘上N的矩阵
那我们知道按照矩阵相乘法则的话
这两个乘在一起可不是一个数
这两个乘在一起会给我一个N乘N的矩阵
所以这样子的一个表达的形式
不是一个数
而是一个矩阵的东西
而这个矩阵非常简单
这个矩阵是你乘一下
利用矩阵的column picture或者row picture
都可以简单的可以知道
这个矩阵的话只有一个非0 的项
它在Dj个row它在Di个列
其它的地方的话全部都是0
只有这一个点
这是由矩阵的乘积可以知道的
当然这个东西我们称之为rank 1 matrix
秩为1的这样一个矩阵
利用这样子一个东西
我可以把我们以前所知道的
是一个矩阵来讲的话
我现在就可以来写出来我
我这样子的一个矩阵
如果我用这样的形式可以来表达
可以给它表达成为什么呀
可以表达成为i j
这样乘出来的一个矩阵
当然i j矩阵只不过是在Di行Dj列
那它的系数当然不一定是1
是Oij
那么这个的形式表达的是什么
就是说我这样子的一个矩阵
可以看成什么样的一个矩阵相叠加
像很多很多这样rank为1的
这样矩阵加在一起
而每一个矩阵元的话就是我的这个Oij
所以这个只不过是用
这样一个等式的形式
把Oij这样子的一个矩阵的一个东西
给表达出来了
所以可以说这个东西来讲
只不过是我们引入了
这样子的一个矩阵
重新的把这个矩阵的形式
用这样的写出来了
下面来看的话
我们引入
当我i j一样的情况的时候
我就会得到一个算符
所以我投影算符的定义
将会是
知道了这个东西是什么
下面来看我们来讲一类特殊的
可以说是这样子一类算符中
特殊的一个东西的话
就是当我i等于j的时候
这个东西就称之为
当然这叫第i个投影算符
我们来看它的作用是什么
它的作用也直接了当
它就是把任意矢量中的
什么分量给提出来呀
把i分量给提出来
我们来看它
跟任意矢量来作用的话
这样子的一个算符
我作用在任意一个矢量E上
我们会发现只不过是i dot E的话
作为一个点乘
是一个投影
投影出来什么
投影出来这个i的分量
就是这个含义
如果这是我i的方向
这是我E的方向
大小方向
那么它们两的点乘
相当于我做投影
这个算出来i dot E相当于
这个东西的大小
再乘上代表这个方向的这个矢量
所以我得到的
整个的这个过程
就是我得到的这样的一个矢量
新的矢量就是红的
就是我的Ai2
所以这也是为什么称它为投影算符
它作用在任意的一个矢量上
它把这个矢量中的i部分给提出来
所以这称之为投影
那么作为这样子一个投影算符来讲
有一个重要的一些性质
我们最重要的一个性质来讲
叫做它的完备性
这其实是为量子在做铺垫
在我们叫偏振
这一部分的完备性倒并不重要
但是在量子中非常重要
基的完备性可以用基构成的投影算符
他们要满足一定的规律表达出来
这个规律我们可以这么写
我还是只用二维空间作为一个介绍
我任意的一个矢量
我可以给它写成
A11加上A22
我写的话都是用二维作为例子
但是我知道A1的话可以写成什么形式
我的A1的话可以写成1和它的点乘
1点乘我矢量
加上
下面结合我们前面讲的
所谓projector它的含义
我把这个式子稍微再换一下
这是一个矢量
这是一个数
数和矢量之间是可以互换关系的
这个可以看成
我就可以把这个矢量
看成哪两部分
投影算符作用在这个矢量上的加和
把这个共同的矢量给提出来
我把投影算符写在一起
相当于1 1加上2 2
再作用在这个矢量上
那当然如果要求这个式子成立来讲
我有一个前提条件是什么
所有的投影算符加在一起
这是作为基矢量1的投影算符
这是基矢量
所有投影算符加在一起
应该等于什么
应该等于一个相当于1的东西
只不过这个东西我们称之为11:07
所以简单来讲的话
把所有的这样的基矢量
所构成的投影算符加在一起
我用这样一个标识
这代表所有投影
它的作用相当于一个单位
这个单位来讲我们称之为11:29
就是单位为1了
就相当于一个1作用在这个矢量上
那当然什么都不改变
在矩阵的时候
11:34 那当然对角线上都为1
其它地方为0的这样一个矩阵
所以这叫11:40
这个东西的话我称之为11:46
这是i所代表的含义
代表一个单位矩阵
作用在这个矢量上
所以这个条件来讲
我们称之为投影算符的
一个完备性
这个物理含义的话也非常简单
如果我这个基构成了
确确实实张开了我的空间
换句话说我任意的一个
矢量都可以表达成为
这些基矢量的一个叠加
那也就意味着
如果我把这个矢量的各个
沿着各个地方的投影
用投影这样的算符来表示
给它叠加在一起
我自然就应该得到原来的这个矢量
其实就是这么回事
这也就是
把所有的投影算符加在一起
必然会得到一个
identity 的含义到底是什么
所以这个我们称之为completeness of basis
也就是用这样的一个
投影算符来表示我的基
是不是完备的这样一个含义
所以这个地方我们介绍了
投影算符这一部分
虽然我还没有介绍
怎么样用投影算符
去表示我们所关心的
这个偏振片
波片具体的矩阵形式是什么
那么下面来讲的话
我们就用投影算符的形式
来去表示一个矩阵
-1.0 History of Optics 光学的历史发展
-1.1 Why Classical Wave Theory is Correct 经典理论为何正确
--1.1 Why Classical Wave Theory is Correct
-1.2 Wave and Wave Equation 波和波动方程
-1.3 Harmonic Wave 简谐波
-1.4 Phase Velocity and Phase Difference 相速度与相位差
--1.4 Phase Velocity and Phase Difference
-1.5 Superposition Principle 叠加原理
--1.5.1 Superposition Principle Part I
--1.5.2.Superposition Principle Part II
-1.6 Example of Superposition and Reciprocal Relation 叠加例子与反比关系
--1.6 Example of Superposition and Reciprocal Relation
-1.7 Euler Formula and Phasor 波的复数表达和旋转矢量表示
--1.7 Euler Formula and Phasor
-1.8 Doppler Effect 多普勒效应
--1.8.2 Doppler Effect Part II
-1.9 Doppler Broadening 多普勒展宽
-1.10 Plane Wave and Spherical Wave 平面波与球面波
--1.10 Plane Wave and Spherical Wave
-第一章习题
--习题
-2.1 Maxwell Equations(Maxwell 方程组)
-2.2 Wave Equation for E-M Field(电磁场的波动方程)
--2.2 Wave Equation for E-M Field
-2.3.1 Index of Refraction(折射率)
-2.3.2 Understanding n from Dipoles(用偶极模型理解折射率)
--2.3.2 Understanding n from Dipoles
-2.4 E-M Wave is Transverse(电磁波是横波)
-2.5 Energy Flow of E-M Wave(电磁波的能流)
-2.6 Momentum and photo-Pressure(动量和光压)
--2.6 Momentum and photo-Pressure
-2.7.1 Dipole Oscillator 1(偶极振子1)
-2.7.2 Dipole Oscillator 2(偶极振子2)
-2.8 Radiation by Dipole Oscillator(偶极振子的辐射)
--2.8 Radiation by Dipole Oscillator
-第二章习题
--习题
-3.1 Reflection and Refraction (反射与折射)
--3.1 Reflection and Refraction
-3.2 Huygens Principle(惠更斯原理)
-3.3.1 Fermat Principle part1: Optical Path Length (费马原理第一部分:光程)
--3.3.1 Fermat Principle part1: Optical Path Length
-3.3.2 Fermat Principle part2: an Explanation (费马原理第二部分:一种解释)
--3.3.2 Fermat Principle part2: an Explanation
-3.4.1 Scattering Point of View 1 (散射图像1)
--3.4.1 Scattering Point of View 1
-3.4.2 Scattering Point of View 2 (散射图像2)
--3.4.2 Scattering Point of View 2
-3.5 Reflection and Refraction Rules Derived from Boundary Conditions of Maxwell Equations(利用Maxwell方
--3.5 Reflection and Refraction Rules Derived from Boundary Conditions of Maxwell Equations
-3.6.1 The Basic problem and Setup of Coordinates (基本问题和坐标系的建立)
--3.6.1 The Basic problem and Setup of Coordinates
-3.6.2 The Reflection and Transmission Coefficients (发射与透射系数)
--3.6.2 The Reflection and Transmission Coefficients
-3.6.3 Discussion on Amplitude of the Coefficients (对系数大小的讨论)
--3.6.3 Discussion on Amplitude of the Coefficients
-3.6.4 Discussion on Phase of the Coefficients (对系数位相的讨论)
--3.6.4 Discussion on Phase of the Coefficients
-3.7 Stokes Relation and Half Wavelength Difference (Stokes关系式和半波损)
--3.7 Stokes Relation and Half Wavelength Difference
-第三章习题
--习题
-4.1 Introduction(几何光学介绍)
-4.2 Important Jargons(重要的术语)
-4.3.1 Image formation by Spherical Surface and Paraxial Approxiamation(球面成像和傍轴近似)
--4.3.1 Image formation by Spherical Surface and Paraxial Approxiamation
-4.3.2 Image Formation Formula(成像公式)
--4.3.2 Image Formation Formula
-4.3.3 Example and Transverse Magnification(例题和横向放大率)
--4.3.3 Example and Transverse Magnification
-4.4 Thin Lens(薄透镜)
-4.5 Thick Lens(厚透镜)
-4.6.1 Matrix Treatment 1: Matrix for Propagation and Refraction(矩阵处理1:表示传播与折射的矩阵)
--4.6.1 Matrix Treatment 1: Matrix for Propagation and Refraction
-4.6.2 Matrix Treatment 2: Lens Matrix(矩阵处理2:透镜矩阵)
--4.6.2 Matrix Treatment 2: Lens Matrix
-4.6.3 Matrix Treatment 3: Relations between Matrix Elements and Cardinal Points(矩阵处理3:矩阵元与主点的联系)
--4.6.3 Matrix Treatment 3: Relations between Matrix Elements and Cardinal Points
-第四章习题
--习题
-5.0 What is Interference(什么是干涉)
-5.1.1 Superposition of Waves: General Case(波叠加的通式)
--5.1.1 Superposition of Waves: General Case
-5.1.2 Adding Wave with Same Frequency and Direction(同频同向波的叠加)
--5.1.2 Adding Wave with Same Frequency and Direction
-5.1.3.1 Standing Wave 1 (驻波(上))
-5.1.3.2 Standing Wave 2 (驻波(下))
-5.1.4.1 Adding Waves with Different Frequencies 1: Beat and Group Velocity(不同频率波的叠加(上):拍和群速度)
--5.1.4.1 Adding Waves with Different Frequencies 1: Beat and Group Velocity
-5.1.4.2 Adding Waves with Different Frequencies 2: Continuous Frequency Spectrum(不同频率波的叠加(中):连续的频谱)
--5.1.4.2 Adding Waves with Different Frequencies 2: Continuous Frequency Spectrum
-5.1.4.3 Adding Waves with Different Frequencies 3: property of Wave Packet and Reciprocal Relation(不
--5.1.4.3 Adding Waves with Different Frequencies 3: property of Wave Packet and Reciprocal Relation
-5.2.1 Interference of Two Point Sources and Coherent Condition(两个点源的干涉和相干条件)
--5.2.1 Interference of Two Point Sources and Coherent Condition
-5.2.2 Young's Double-Slits Experiment(杨氏双缝干涉实验)
--5.2.2 Young's Double-Slits Experiment
-5.2.3 Another Treatment of Young's Interference, Paraxial and Far-field Condition(杨氏干涉的另一种处理,傍轴和远场条
--5.2.3 Another Treatment of Young's Interference, Paraxial and Far-field Condition
-Chapter 5 Interference and Coherence(Part 1)--第五章习
-5.3.0 Interference by Thin Film(薄膜干涉)
--5.3.0 Interference by Thin Film
-5.3.1 Equal Thickness Fringe(等厚干涉条纹)
--5.3.1 Equal Thickness Fringe
-5.3.2 Equal Inclination Fringe(等倾干涉条纹)
--5.3.2 Equal inclination Fringe
-5.3.3 Michelson Interferometer(Michelson干涉仪)
--5.3.3 Michelson Interferometer
-5.4.0 Multibeam Interference(多光束干涉)
--5.4.0 Multibeam Interference
-5.4.1.1 Derivation 1(理论推导(上))
-5.4.1.2 Derivation 2(理论推导(下))
-5.4.2.1 Discussion(结论与讨论)
-5.4.2.2 Application: F-P Interferometer(应用:F-P 干涉仪)
--5.4.2.2 Application: F-P Interferometer
-5.5.0 Coherence Theory(相干理论)
-5.5.1 Spatial Coherence(空间相干性)
-5.5.2.1 Temporal Coherence(时间相干性)
-5.5.2.2 Coherent Time and Length(相干时间和相干长度)
--5.5.2.2 Coherent Time and Length
-5.5.3.1 Definition of Correlation Function(关联函数定义)
--5.5.3.1 Definition of Correlation Function
-5.5.3.2 Correlation Function and Coherence(关联函数与相干)
--5.5.3.2 Correlation Function and Coherence
-第五章习题(下)
--习题
-6.1 basic problem in diffraction(衍射的基本问题)
--6.1 basic problem in diffraction
-6.2.1 Huygens-Fresnel Principle and Kirchhoff Euation(惠更斯-菲涅耳原理和基尔霍夫方程)
--6.2.1 Huygens-Fresnel Principle and Kirchhoff Euation
-6.2.2 Fresnel and Fraunhoffer Diffraction(菲涅耳与夫琅和费衍射)
--6.2.2 Fresnel and Fraunhoffer Diffraction
-6.3.1 Fresnel Diffraction 1: Half Wavelength Plate(菲涅耳衍射1:半波带法)
--6.3.1 Fresnel Diffraction 1: Half Wavelength Plate
-6.3.2 Fresnel Diffraction 2: Phasor Method(菲涅耳衍射2:旋转矢量法)
--6.3.2 Fresnel Diffraction 2: Phasor Method
-6.3.3 Fresnel Diffraction 3: Opaque Disk and Babinet Principle(菲涅耳衍射3:圆屏衍射和Babinet原理)
--6.3.3 Fresnel Diffraction 3: Opaque Disk and Babinet Principle
-6.3.4 Fresnel Diffraction 4: Fresnel Zone Plate(an application)(菲涅耳衍射4:菲涅耳波带片(一个应用))
--6.3.4 Fresnel Diffraction 4: Fresnel Zone Plate(an application)
-6.4.0 Fraunhoffer Diffraction: General Expression(夫琅和费衍射1:普遍表达形式)
--6.4.0 6.4.0 Fraunhoffer Diffraction: General Expression
-6.4.1.1 Single Slit Fraunhoffer Diffraction(单缝夫琅和费衍射)
--6.4.1.1 Single Slit Fraunhoffer Diffraction
-6.4.1.2 Characteristic of Single Slit Case(单缝衍射的特点)
--6.4.1.2 Characteristic of Single Slit Case
-6.4.2 Fraunhoffer Diffraction for Rectangular Window(矩形窗口的夫琅和费衍射)
--6.4.2 Fraunhoffer Diffraction for Rectangular Window
-6.4.3.1 Fraunhoffer Diffraction for Circular Aperture(圆孔的夫琅和费衍射)
--6.4.3.1 Fraunhoffer Diffraction for Circular Aperture
-6.4.3.2 Diffraction Limit on Resolution(分辨率的衍射极限)
--6.4.3.2 Diffraction Limit on Resolution
-第六章习题(上)
--习题
-6.5.1 Fraunhoffer Diffraction for 2-slits Case(双缝夫琅和费衍射)
--6.5.1 Fraunhoffer Diffraction for 2-slits Case
-6.5.2.1 Multi-slits Dffraction 1: Intensity distribution(多缝衍射1:光强分布)
--6.5.2.1 Multi-slits Dffraction 1: Intensity distribution
-6.5.2.2 Multi-slits Diffraction 2: Interference between Slits and Principal maxima(多缝衍射2:缝间干涉和主极大)
--6.5.2.2 Multi-slits Diffraction 2: Interference between Slits and Principal maxima
-6.5.2.3 Multi-slits Diffraction 3: Missing Order and Examples(多缝衍射3:缺级与例题)
--6.5.2.3 Multi-slits Diffraction 3: Missing Order and Examples
-6.5.3.1 Grating Spectrometer(光栅光谱仪)
--6.5.3.1 Grating Spectrometer
-6.5.3.2 Dispersion Relation of Grating Spectrometer(光栅光谱仪的色散关系)
--6.5.3.2 Dispersion Relation of Grating Spectrometer
-6.5.3.3 Dispersion Power and Resolution(色散能力和分辨率)
--6.5.3.3 Dispersion Power and Resolution
-6.5.3.4 Free Spectral Range(自由光谱程)
-第六章习题(下)
--习题
-7.0 introducing Fourier expansion and transform(介绍傅里叶展开与变换)
--7.0
-7.1.1 Fourier transform for periodic functions(周期函数的傅里叶展开)
--7.1.1
-7.1.2 examples on Fourier expansion(傅里叶展开的例子)
--7.1.2
-7.2.1 Fourier transform for general functions(一般函数的傅里叶变换)
--7.2.1
-7.2.2 Fourier transforms of some typical functions and relation on width distribution(一些典型函数的傅里叶变换和分
--7.2.2
-7.3.1 Dirac delta function(狄拉克delta函数)
-7.3.2 Fourier transform of the delta function(delta函数的傅里叶变换)
--7.3.2
-7.4.1 properties of Fourier transform(傅里叶变换的性质)
--7.4.1
-7.4.2 Fourier transform of derivatives(函数导数的傅里叶变换)
--7.4.2
-7.4.3 what is convolution between functions(函数的卷积是什么)
--7.4.3
-7.4.4 Fourier transform of convolution(卷积的傅里叶变换)
--7.4.4
-7.5 relation between fourier transform and Fraunhoffer equation(傅里叶变换与夫琅禾费衍射之间的关系)
--7.5
-7.6 Abbe image formation(阿贝成像原理)
--7.6
-Chapter 7--第七章习题
-8.1 what is polarization(什么是偏振)
--8.1
-8.2.1 how to express polarization state(如何表达偏振态)
--8.2.1
-8.2.2 unpolarized and partial polarized light(非偏振态和部分偏振态)
--8.2.2
-8.3 linear polarizer(线偏振片)
--8.3
-8.4.1.1 Jones vector(Jones 矢量)
--8.4.1.1
-8.4.1.2 Transformation of Jones Vector(Jones 矢量的变换)
--8.4.1.2
-8.4.2 Jones matrix(Jones 矩阵)
--8.4.2
-第八章(上)习题
--习题
-8.5.1 Birefringence and a simple illustration
--8.5.1 Birefringence and a simple illustration
-8.5.2 Ordinary and Extraordinary light
--8.5.2
-8.5.3 Typical Examples
--8.5.3
-8.6.1 application 1-linear polarizer
--8.6.1
-8.6.2.1 application 2-quarter wave plate
--8.6.2.1
-8.6.2.2 application 2-change polarization state by quarter wave-plate
--8.6.2.2
-8.6.2.3 application2-change direction of polarization by half-plate
--8.6.2.3
-8.7.1
--8.7.1
-8.7.2
--8.7.2
-8.7.3
--8.7.3
-8.7.4
--8.7.4
-8.8.1
--8.8.1
-8.8.2
--8.8.2
-8.8.3
--8.8.3
-第八章(下)习题
--习题
-期末测试
--期末测试