当前课程知识点:光学 > Chapter 4 Geometric optics(几何光学) > 4.3.1 Image formation by Spherical Surface and Paraxial Approxiamation(球面成像和傍轴近似) > 4.3.1 Image formation by Spherical Surface and Paraxial Approxiamation
前面的话我们介绍了几何光学
要处理什么样的问题
主要是物像之间的问题
并且介绍一些术语
什么叫物点什么叫像点
什么叫实物虚物以及特殊的物像点叫焦点
那今天开始的话我们就要处理
真正物像之间的计算关系了
但首先来讲的话我们还是
用什么原理来处理这类问题
那我们会发现我们要讲
这一部分在上一章中我已经提到了
但是在几何光学中也相当重要
所以我们还是 叫Fermat principle
在几何光学中的应用
in geometric optics
实际上这个结论的话是非常简单的
我有一个物点
我们已经介绍了
它要经过我的一个成像系统
这是一个journal的成像系统
它发出了所有的光线
只要经过我这个成像系统以后
都要求我是ideal成像的话
都要求它汇集到它所共轭的
这个像点上
O到O'
换句话说所有的光线
我这边有若干条光程路程
这是Lj
这是L0
可以想象total所有的光程
每条光程都代表一条光线
经过我成像系统汇集到这个地方
那么Fermat principle说的是什么
Fermat principle说的是
光实际上你能够观察到的这个光实际走的光程
是什么样的 必须是要稳定的
所谓稳定的就是这些光程要么最大要么最小
要不然是常数
那么在这种情况下的话
当然所有这些路径的话不可能大家都是最大的
如果大家都最大那其实没有最大
那大家都是一样的
也不可能大家都是最小的
如果大家最小也没有最小的
那大家也是一样
所以通过费马原理我们可以得到一个非常简单的
很重要的一个结论
就是所有的连接物像之间的光程
注意这是光程不是实际的路程
要乘上一个index of refraction
要考虑到我成像系统会带来index of refraction变化
所以所有的optical path length
所有的光程
在物像之间
我这边就不写object和image
就用O和O'来代表
所有物像之间的光程的话
它们的长度都是一样的
这是一个非常重要的结论
在我们以后的话
在我们以后讲干涉衍射的时候
都可以用到
所以在这个地方的话
不光在处理几何光学的时候
它有它的用处
那么在处理几何光学的时候
它计算的时候
其实可以用这个费马原理
我们要求我这个曲面
光到达这再通过这个折射
或者是反射以后形成的像
要求所有的这样子的光程都相等
我们可以来计算这个曲面是什么
这种方法叫费马principle来进行计算
当然实际上的话在真正我们计算的时候
还有一种简便的方法
相对简便的方法也是用Fermat principle
因为我们知道Fermat principle的话
我们可以推出来
所谓的几何光学的规律
或者折射反射的规律
叫做Snell' law
我现在不写
所以在真实计算的时候的话
很多的时候我们就是采取
折射反射的规律来进行计算
但是我们要强调
这个Fermat principle在几何光学中
重要的这个结论
我们强调的话
所有物像之间的光程是相等的
这是通过Fermat principle来推出来的
或者叫推导出来的
那么尽管我们在解决几何光学问题的时候
有的时候用从Fermat principle所推出来的
折射反射的规律来走
但是这个结论的话很重要
希望大家能够记住它
那么下面的话我们就要来
进行真正的来推一下物像之间的关系
当然在这个时候的话
我们来推的话是涉及到一个
这叫image formation
但是什么样一种情况下的image formation
对于一个球面的折射的表面
我们先处理这样的一类问题
因为球面是最容易形成的
也是最重要的一类曲面
多数的透镜
多数的几何光学成像的体系的话
包括我的眼镜
包括大家用的望远镜等等
甚至包括人的肉眼
都近似的可以看成一个球形的一个曲面
所以我们在讨论成像的时候
着重讨论是球形的这个曲面
它的成像的问题
所以我们下面要讲的话
是对于一个球形的折射的曲面
之所以叫折射
是我们对于反射镜的问题的话
请大家来参照教材
这一部分的话在课堂上我们不做介绍
所以在课堂上我们讨论的是
作为折射的情况
对于一个球形的曲面
那么给定了物我怎么来计算
它的像的位置
以及用什么样的一个近似
那接下来的话我们就做一个
详细的一个推导
对于球面的折射的曲面
成像的关系
所以这个图是这样子的
我有一个球形的曲面
我们先把球的中心给画出来
这边我有一个物点
我称之为O
那么我这有一个球形的曲面
那么这一点我称之为C
用红的来表示
这是球的球心C
那下面来讲的话
我要问的问题是我这边O所发出来的光线
经过了我这个曲面的折射以后
当然比如说它会沿着这个方向走
它会到O'
这个就叫做成像
当然通过球心所发出来的光自然
也是一定沿着这个
所以连接物和OC这个点的话
连接我的物和C这条线的话
OC我们称之为光轴
这是显而易见的
这叫optical axis
那么第一个问题是
真的有一一对应的关系吗
在这个计算的时候
对于一个球形的一个曲面
我发出来的光线
在这个光线的话我可以用这个角度
对我球心所张的张角φ
我发出的不同的光线
比如说我发出另外一条光线
那么它所对的张角可能是另外一个角
那么它折射以后的话
它真的也是汇聚到同样这一个点上吗
这一点其实我还不知道的
所以我们的问题就是
给定了一个物点O
那我们来看
给定了一条出射的一条光线
那么这条光线的话将汇聚到
我的这个光轴上的哪一个点上
在这个地方我们定义一下
所谓的物距和像距
物距是从O到这个光轴和球形曲面的交点
这个交点我们称之为V
这是一个顶点
所以O到顶点的距离我们称之为物距
那么折射过来的光线或者透射过来的光线
和光轴汇聚的这一点O'
O'到V的距离
这一段之间的距离我们称之为像距Si
所以对于一个球形曲面的折射问题
它的物距和像距是这么定义的
那么这个问题就是说给定了我一个光线
也就是我知道了So
给定了我轴上的一个点
那么给定了一个光线
换句话说给定了一个φ
我的Si是不是跟φ有关呢
实际上我们要求的问题是
我的Si到底和So和这个φ等等
有什么样的关系
如果我们计算出来
这个像距
只和So有关系
如果和φ没有关系
那么就说明了我所有不同的这些光线
都汇聚到我同一个点上O'上
同一个Si上
跟φ没关系
但如果我发现我的Si跟φ有关系
那就说明了我一一对应的关系
实际上不成立的
那么怎么样来计算
这个计算其实是很简单的
我们有折射的一个规律
所以给定了这条光线
我可以计算出来
这条光线的角度
然后和我光轴所交的点是在哪
我可以计算出来Si
这个具体的计算过程
请大家参考教科书
或者是讲义
那么我们只是把最终结论给写出来
所以So和Si的关系
那么这个So Si关系的话
实际上是相当复杂的
在这个地方详细的步骤我省略掉了
我只是把这个关系式给写出来
So是这个
no在这个地方我忘了写了
no是作为物点这方的折射率
这方的话我们称之为像边
像边的折射率我称之为ni
换句话说这个折射的曲面
分开了两个介质
这边的介质称之为no
这边的介质称之为ni
那么So+R的平方
R是球面的曲率半径
减去Si的平方
除上ni的平方
这个式子完全没有必要记
之所以写这个式子
是为了引出我们后面重要的一个近似
相当复杂的一个关系式
给定So
给定这个倾角
我确实可以算出这个Si
但我发现
Si实际是跟这个角度是有关系的
换句话说是跟
我从O发出来的光线是有关系的
也就是说对于不同的φ的角
那么实际上这个光线就要汇聚在不同的
光轴上的点上
一一对应的关系
对于球面的这样一个折射的曲面并不成立
但是在这个地方的话
如果我们引入一个近似
这个近似在几何光学中相当重要
我们叫做paraxial approximation
什么样的近似呢
我让所有的光线的话
和这个球心所张的夹角比较小
也就是说如果我让φ非常小
趋于0在这种情况下
当我光线满足这样条件的话
之所以φ趋于0什么意思啊
我这些光线和光轴的夹角
和这个夹角非常小
那近似于是平行于光轴的
所以叫paraxial叫傍轴近似
如果我这些光线都是集中在
距离光轴很近的范围里头
这叫傍轴
那么φ就比较小
当我φ比较小的时候
这一部分sinφ平方就是很小一个值
那么这一部分满足所谓傍轴近似的前提下
这一部分我可以给它近似为0
一旦出现这样一个近似的话
我就一个简单的你会发现
我的像距只依赖于物距
以及一些参数
不再依赖于这个角度
我就有了一个物像之间的一一对应的关系了
所以我们强调这个paraxial approximation
要满足傍轴近似
在满足傍轴近似的情况下
我们就有一个简单的物像关系
所以这个地方值得我再打一个星号
这是几何光学里面
我们处理问题的时候
最重要的一个近似
那么在以后我们讨论问题的时候
很多时候我都来默认先满足这个傍轴近似
你可以问
如果不满足傍轴近似会是什么样子呢
那你会发现我成像的话
不再满足一一对应的关系
你可以做一个实验
拿你的手机给自己拍一张照片
当你把手机拉近你的脸的时候
你会发现你的形状会变形
你照片上也会发现重影
之所以这样子是因为你把镜头拉近你的时候
傍轴近似就不再满足了
在这种情况你看到我没有变形的话
实际上我面对这个照相机的时候
我和照相机的距离大约是米的量级
而照相机镜头大约是厘米的量级
所以厘米除上米还是一个小角度
所以我们还是满足傍轴近似的
所以你们能清晰看到我的成像
以及我的形状没有变形
-1.0 History of Optics 光学的历史发展
-1.1 Why Classical Wave Theory is Correct 经典理论为何正确
--1.1 Why Classical Wave Theory is Correct
-1.2 Wave and Wave Equation 波和波动方程
-1.3 Harmonic Wave 简谐波
-1.4 Phase Velocity and Phase Difference 相速度与相位差
--1.4 Phase Velocity and Phase Difference
-1.5 Superposition Principle 叠加原理
--1.5.1 Superposition Principle Part I
--1.5.2.Superposition Principle Part II
-1.6 Example of Superposition and Reciprocal Relation 叠加例子与反比关系
--1.6 Example of Superposition and Reciprocal Relation
-1.7 Euler Formula and Phasor 波的复数表达和旋转矢量表示
--1.7 Euler Formula and Phasor
-1.8 Doppler Effect 多普勒效应
--1.8.2 Doppler Effect Part II
-1.9 Doppler Broadening 多普勒展宽
-1.10 Plane Wave and Spherical Wave 平面波与球面波
--1.10 Plane Wave and Spherical Wave
-第一章习题
--习题
-2.1 Maxwell Equations(Maxwell 方程组)
-2.2 Wave Equation for E-M Field(电磁场的波动方程)
--2.2 Wave Equation for E-M Field
-2.3.1 Index of Refraction(折射率)
-2.3.2 Understanding n from Dipoles(用偶极模型理解折射率)
--2.3.2 Understanding n from Dipoles
-2.4 E-M Wave is Transverse(电磁波是横波)
-2.5 Energy Flow of E-M Wave(电磁波的能流)
-2.6 Momentum and photo-Pressure(动量和光压)
--2.6 Momentum and photo-Pressure
-2.7.1 Dipole Oscillator 1(偶极振子1)
-2.7.2 Dipole Oscillator 2(偶极振子2)
-2.8 Radiation by Dipole Oscillator(偶极振子的辐射)
--2.8 Radiation by Dipole Oscillator
-第二章习题
--习题
-3.1 Reflection and Refraction (反射与折射)
--3.1 Reflection and Refraction
-3.2 Huygens Principle(惠更斯原理)
-3.3.1 Fermat Principle part1: Optical Path Length (费马原理第一部分:光程)
--3.3.1 Fermat Principle part1: Optical Path Length
-3.3.2 Fermat Principle part2: an Explanation (费马原理第二部分:一种解释)
--3.3.2 Fermat Principle part2: an Explanation
-3.4.1 Scattering Point of View 1 (散射图像1)
--3.4.1 Scattering Point of View 1
-3.4.2 Scattering Point of View 2 (散射图像2)
--3.4.2 Scattering Point of View 2
-3.5 Reflection and Refraction Rules Derived from Boundary Conditions of Maxwell Equations(利用Maxwell方
--3.5 Reflection and Refraction Rules Derived from Boundary Conditions of Maxwell Equations
-3.6.1 The Basic problem and Setup of Coordinates (基本问题和坐标系的建立)
--3.6.1 The Basic problem and Setup of Coordinates
-3.6.2 The Reflection and Transmission Coefficients (发射与透射系数)
--3.6.2 The Reflection and Transmission Coefficients
-3.6.3 Discussion on Amplitude of the Coefficients (对系数大小的讨论)
--3.6.3 Discussion on Amplitude of the Coefficients
-3.6.4 Discussion on Phase of the Coefficients (对系数位相的讨论)
--3.6.4 Discussion on Phase of the Coefficients
-3.7 Stokes Relation and Half Wavelength Difference (Stokes关系式和半波损)
--3.7 Stokes Relation and Half Wavelength Difference
-第三章习题
--习题
-4.1 Introduction(几何光学介绍)
-4.2 Important Jargons(重要的术语)
-4.3.1 Image formation by Spherical Surface and Paraxial Approxiamation(球面成像和傍轴近似)
--4.3.1 Image formation by Spherical Surface and Paraxial Approxiamation
-4.3.2 Image Formation Formula(成像公式)
--4.3.2 Image Formation Formula
-4.3.3 Example and Transverse Magnification(例题和横向放大率)
--4.3.3 Example and Transverse Magnification
-4.4 Thin Lens(薄透镜)
-4.5 Thick Lens(厚透镜)
-4.6.1 Matrix Treatment 1: Matrix for Propagation and Refraction(矩阵处理1:表示传播与折射的矩阵)
--4.6.1 Matrix Treatment 1: Matrix for Propagation and Refraction
-4.6.2 Matrix Treatment 2: Lens Matrix(矩阵处理2:透镜矩阵)
--4.6.2 Matrix Treatment 2: Lens Matrix
-4.6.3 Matrix Treatment 3: Relations between Matrix Elements and Cardinal Points(矩阵处理3:矩阵元与主点的联系)
--4.6.3 Matrix Treatment 3: Relations between Matrix Elements and Cardinal Points
-第四章习题
--习题
-5.0 What is Interference(什么是干涉)
-5.1.1 Superposition of Waves: General Case(波叠加的通式)
--5.1.1 Superposition of Waves: General Case
-5.1.2 Adding Wave with Same Frequency and Direction(同频同向波的叠加)
--5.1.2 Adding Wave with Same Frequency and Direction
-5.1.3.1 Standing Wave 1 (驻波(上))
-5.1.3.2 Standing Wave 2 (驻波(下))
-5.1.4.1 Adding Waves with Different Frequencies 1: Beat and Group Velocity(不同频率波的叠加(上):拍和群速度)
--5.1.4.1 Adding Waves with Different Frequencies 1: Beat and Group Velocity
-5.1.4.2 Adding Waves with Different Frequencies 2: Continuous Frequency Spectrum(不同频率波的叠加(中):连续的频谱)
--5.1.4.2 Adding Waves with Different Frequencies 2: Continuous Frequency Spectrum
-5.1.4.3 Adding Waves with Different Frequencies 3: property of Wave Packet and Reciprocal Relation(不
--5.1.4.3 Adding Waves with Different Frequencies 3: property of Wave Packet and Reciprocal Relation
-5.2.1 Interference of Two Point Sources and Coherent Condition(两个点源的干涉和相干条件)
--5.2.1 Interference of Two Point Sources and Coherent Condition
-5.2.2 Young's Double-Slits Experiment(杨氏双缝干涉实验)
--5.2.2 Young's Double-Slits Experiment
-5.2.3 Another Treatment of Young's Interference, Paraxial and Far-field Condition(杨氏干涉的另一种处理,傍轴和远场条
--5.2.3 Another Treatment of Young's Interference, Paraxial and Far-field Condition
-Chapter 5 Interference and Coherence(Part 1)--第五章习
-5.3.0 Interference by Thin Film(薄膜干涉)
--5.3.0 Interference by Thin Film
-5.3.1 Equal Thickness Fringe(等厚干涉条纹)
--5.3.1 Equal Thickness Fringe
-5.3.2 Equal Inclination Fringe(等倾干涉条纹)
--5.3.2 Equal inclination Fringe
-5.3.3 Michelson Interferometer(Michelson干涉仪)
--5.3.3 Michelson Interferometer
-5.4.0 Multibeam Interference(多光束干涉)
--5.4.0 Multibeam Interference
-5.4.1.1 Derivation 1(理论推导(上))
-5.4.1.2 Derivation 2(理论推导(下))
-5.4.2.1 Discussion(结论与讨论)
-5.4.2.2 Application: F-P Interferometer(应用:F-P 干涉仪)
--5.4.2.2 Application: F-P Interferometer
-5.5.0 Coherence Theory(相干理论)
-5.5.1 Spatial Coherence(空间相干性)
-5.5.2.1 Temporal Coherence(时间相干性)
-5.5.2.2 Coherent Time and Length(相干时间和相干长度)
--5.5.2.2 Coherent Time and Length
-5.5.3.1 Definition of Correlation Function(关联函数定义)
--5.5.3.1 Definition of Correlation Function
-5.5.3.2 Correlation Function and Coherence(关联函数与相干)
--5.5.3.2 Correlation Function and Coherence
-第五章习题(下)
--习题
-6.1 basic problem in diffraction(衍射的基本问题)
--6.1 basic problem in diffraction
-6.2.1 Huygens-Fresnel Principle and Kirchhoff Euation(惠更斯-菲涅耳原理和基尔霍夫方程)
--6.2.1 Huygens-Fresnel Principle and Kirchhoff Euation
-6.2.2 Fresnel and Fraunhoffer Diffraction(菲涅耳与夫琅和费衍射)
--6.2.2 Fresnel and Fraunhoffer Diffraction
-6.3.1 Fresnel Diffraction 1: Half Wavelength Plate(菲涅耳衍射1:半波带法)
--6.3.1 Fresnel Diffraction 1: Half Wavelength Plate
-6.3.2 Fresnel Diffraction 2: Phasor Method(菲涅耳衍射2:旋转矢量法)
--6.3.2 Fresnel Diffraction 2: Phasor Method
-6.3.3 Fresnel Diffraction 3: Opaque Disk and Babinet Principle(菲涅耳衍射3:圆屏衍射和Babinet原理)
--6.3.3 Fresnel Diffraction 3: Opaque Disk and Babinet Principle
-6.3.4 Fresnel Diffraction 4: Fresnel Zone Plate(an application)(菲涅耳衍射4:菲涅耳波带片(一个应用))
--6.3.4 Fresnel Diffraction 4: Fresnel Zone Plate(an application)
-6.4.0 Fraunhoffer Diffraction: General Expression(夫琅和费衍射1:普遍表达形式)
--6.4.0 6.4.0 Fraunhoffer Diffraction: General Expression
-6.4.1.1 Single Slit Fraunhoffer Diffraction(单缝夫琅和费衍射)
--6.4.1.1 Single Slit Fraunhoffer Diffraction
-6.4.1.2 Characteristic of Single Slit Case(单缝衍射的特点)
--6.4.1.2 Characteristic of Single Slit Case
-6.4.2 Fraunhoffer Diffraction for Rectangular Window(矩形窗口的夫琅和费衍射)
--6.4.2 Fraunhoffer Diffraction for Rectangular Window
-6.4.3.1 Fraunhoffer Diffraction for Circular Aperture(圆孔的夫琅和费衍射)
--6.4.3.1 Fraunhoffer Diffraction for Circular Aperture
-6.4.3.2 Diffraction Limit on Resolution(分辨率的衍射极限)
--6.4.3.2 Diffraction Limit on Resolution
-第六章习题(上)
--习题
-6.5.1 Fraunhoffer Diffraction for 2-slits Case(双缝夫琅和费衍射)
--6.5.1 Fraunhoffer Diffraction for 2-slits Case
-6.5.2.1 Multi-slits Dffraction 1: Intensity distribution(多缝衍射1:光强分布)
--6.5.2.1 Multi-slits Dffraction 1: Intensity distribution
-6.5.2.2 Multi-slits Diffraction 2: Interference between Slits and Principal maxima(多缝衍射2:缝间干涉和主极大)
--6.5.2.2 Multi-slits Diffraction 2: Interference between Slits and Principal maxima
-6.5.2.3 Multi-slits Diffraction 3: Missing Order and Examples(多缝衍射3:缺级与例题)
--6.5.2.3 Multi-slits Diffraction 3: Missing Order and Examples
-6.5.3.1 Grating Spectrometer(光栅光谱仪)
--6.5.3.1 Grating Spectrometer
-6.5.3.2 Dispersion Relation of Grating Spectrometer(光栅光谱仪的色散关系)
--6.5.3.2 Dispersion Relation of Grating Spectrometer
-6.5.3.3 Dispersion Power and Resolution(色散能力和分辨率)
--6.5.3.3 Dispersion Power and Resolution
-6.5.3.4 Free Spectral Range(自由光谱程)
-第六章习题(下)
--习题
-7.0 introducing Fourier expansion and transform(介绍傅里叶展开与变换)
--7.0
-7.1.1 Fourier transform for periodic functions(周期函数的傅里叶展开)
--7.1.1
-7.1.2 examples on Fourier expansion(傅里叶展开的例子)
--7.1.2
-7.2.1 Fourier transform for general functions(一般函数的傅里叶变换)
--7.2.1
-7.2.2 Fourier transforms of some typical functions and relation on width distribution(一些典型函数的傅里叶变换和分
--7.2.2
-7.3.1 Dirac delta function(狄拉克delta函数)
-7.3.2 Fourier transform of the delta function(delta函数的傅里叶变换)
--7.3.2
-7.4.1 properties of Fourier transform(傅里叶变换的性质)
--7.4.1
-7.4.2 Fourier transform of derivatives(函数导数的傅里叶变换)
--7.4.2
-7.4.3 what is convolution between functions(函数的卷积是什么)
--7.4.3
-7.4.4 Fourier transform of convolution(卷积的傅里叶变换)
--7.4.4
-7.5 relation between fourier transform and Fraunhoffer equation(傅里叶变换与夫琅禾费衍射之间的关系)
--7.5
-7.6 Abbe image formation(阿贝成像原理)
--7.6
-Chapter 7--第七章习题
-8.1 what is polarization(什么是偏振)
--8.1
-8.2.1 how to express polarization state(如何表达偏振态)
--8.2.1
-8.2.2 unpolarized and partial polarized light(非偏振态和部分偏振态)
--8.2.2
-8.3 linear polarizer(线偏振片)
--8.3
-8.4.1.1 Jones vector(Jones 矢量)
--8.4.1.1
-8.4.1.2 Transformation of Jones Vector(Jones 矢量的变换)
--8.4.1.2
-8.4.2 Jones matrix(Jones 矩阵)
--8.4.2
-第八章(上)习题
--习题
-8.5.1 Birefringence and a simple illustration
--8.5.1 Birefringence and a simple illustration
-8.5.2 Ordinary and Extraordinary light
--8.5.2
-8.5.3 Typical Examples
--8.5.3
-8.6.1 application 1-linear polarizer
--8.6.1
-8.6.2.1 application 2-quarter wave plate
--8.6.2.1
-8.6.2.2 application 2-change polarization state by quarter wave-plate
--8.6.2.2
-8.6.2.3 application2-change direction of polarization by half-plate
--8.6.2.3
-8.7.1
--8.7.1
-8.7.2
--8.7.2
-8.7.3
--8.7.3
-8.7.4
--8.7.4
-8.8.1
--8.8.1
-8.8.2
--8.8.2
-8.8.3
--8.8.3
-第八章(下)习题
--习题
-期末测试
--期末测试