当前课程知识点:光学 > Chapter 7 > 7.4.1 properties of Fourier transform(傅里叶变换的性质) > 7.4.1
大家好
前面的话我们已经介绍了关于傅里叶展开
和傅里叶变换的定义
现在我们来看一下关于傅里叶变换的
一些比较重要的性质
所以我们这一节的话是properties of F—Transform
我们来看的话是我先只是普遍来讲的话
我有两个函数
一个函数我叫g(x)
这个符号代表它的傅里叶的变换
或者叫它的傅里叶的平函数
叫G(k)
大写的一个G代表它的这个函数
然后K的话是x的频谱
另外的一个函数
比如说是h(x)
那么它的傅里叶的变换是H(k)
这里面当然的话在提示一下大家
傅里叶的变换的话是F(k)
一个函数的傅里叶变换是
这个函数e-iKx dx
知道了原函数
可以通过这个积分来求它的傅里i叶变换
或者叫傅里叶频谱
那么知道它的频谱函数f(k)
原函数也可以用它来表示出来
这个是我们前面所讲到的傅里叶变换的定义
有了这样子的东西的话
我们来讨论一下
就是下面的性质的话
都可以通过傅立里变换的定义得到证明
首先一个关于傅里叶变换
它是一个线性的一个变换linear transformation
它的含义是如果两个函数
它的傅里叶变换是这样子的话
那么我有一个函数是这两个函数的线性组合
a是一个常数
乘上g(x)
加上另外一个常数叫b乘上h(x)
那它的傅里叶变换是什么呢
当然它的傅里叶变换的话
这个新的这个函数的傅里叶变换非常简单
如果你知道g(x)和h(x)傅里叶的变换的话
那么整个它们线性组合的傅里叶变换来讲的话
那当然是a乘上G(k)
加上b乘上H(k)
因为傅里叶变换本身来讲的话是一个积分运算
积分运算的话 是线性的
就是满足这种加法的这种规则
所以这是很简单的
那么第二个性质的话
我们称之为这个名字叫做Parserval Theorem
但其实的话 本身来讲的话是关于守恒的
所以叫(Conservation)
这什么意思呢
这个是很容易证明是这个的
我有一个函数
这个函数的平方在我原来的空间
叫x空间里头来做积分
它和它的傅里叶变换G的平方
当然G是在k空间
就是在频谱空间中
在频谱空间中的这个平方的积分
它俩是相等的
为什么叫守恒呢
可以这样讲
比如说G(x)代表的话是一个波包
那么我求它的平方的话
是跟能量有关系的
所以把这个波包对于波包所含的能量
对于整个空间做积分
和我把这个波包看成是不同的频率所组成的这些波
那么把它的频谱的平方再对频率的空间求积分
得到的关系是一样的
因为能量的话既可以看成沿着空间的分布
也可以看成在不同频谱之间的分布
所以这实际上的话是一个守恒
那这个东西的证明完完全全是通过我们的定义来走的
所以我这个地方快速给大家证一下
其实很简单
我们来看
我就要证这边等于这边或者这边等于这边
G的平方来讲 dk
注意这个的话
通常一般的函数的话
我们可以是复数
所以平方代表共轭乘上它
下面来讲的话
就是来看它的G
我把这个东西的话换成G就好了 G(k)
但现在来讲G(k)的形式我们已经知道了
那么求一下共轭来讲
取一下共轭来讲的话
其他都完全一样
这一部分的话是g(x)
这一部分的共轭是eikxdx
x是一个实变量
其实就是这两个东西乘在一起对k积分
我们证明的话它跟这边是一样的
我们来看
所以把这两边的定义的式子给带到这里头来
我们来看一下
所以G#Gdk它就等于
当然这还有根号1/2π等等
所以我们来看一下的话它是
这边的话是g#
然后还有一个跟号1/2π
这儿还有一个G(k)eikxdxdx
来看一下这个式子
在这个式子里面的话我是把
没有这个根号1/2π
这个式子的话我是把G(k)保留着
把这个G的话给展开
所以我把这个式子代进去
但我组合的话
我这个积分组合的话
我是先把这部分的话给组合在一起来看
这一部分的话 你来看的话
立刻就会发现这个东西得到的是什么
这一部分的话将会给出来我一个关于G的东西
这一部分的话就是G的傅里叶变换
用这个函数的话
所以g然后是dx
所以我就证明了这边的平方的话
这边这个平方的话等于这边这个平方
只是把这个东西给展开出来
所以很简单的一个证明
那么下面的性质的话是这个东西我不做证明
其实大家做一个变量代换
就可以很容易的证出来下面这个关系式
这叫做scale
或者叫尺度的
你如果把变量伸缩一个尺度
那么它的傅里叶变换
可以猜出来一定也是和这个函数有关系的
但是在频谱上它是会
如果这边伸 这边会是缩
当然前面的话还会有一个系数上的变化
1/a的绝对值
这个证明请大家做一个变量代换
由定义出发就可以做出来
另外的一个也是相对比较有用的
叫phase shift
这也是在做傅里叶变换的时候会经常用到
也就是说我原来有一个函数
现在我把这个函数平移一下
减去x0
意味着我把函数沿着x0往这边移动
加上x0
意味着我把函数沿着x0往这边移动
实际上这个函数的话就是如果我原来的函数
这边的函数我叫g (x)
如果我移动了一个的话
那么这个新的函数的话
我称之为g(x-x0)
原来这个中心比如说是在这儿
现在这个中心移动了x0
这就是把原来的一个函数平移一下
如果一个函数平移了
往左或者往右平移了
那么它的傅里叶变换还是原来的傅里叶变换G(k)
但前面要加了一项
所以叫phase shift
前面要有一项位相的一个因子 ei
如果这边是正x0
这边会是正
如果这边是负x0
所以这边是负
所以我这边的正负和这边的正负对起来
正负kx0
所以知道了x0
整个的这个函数来讲的话
是这样的的话
附加上一个多余的位相
所以称之为phase shift
这个的证明来讲的话
也是可以很快地从定义出发得到证明的
但是另外一个的话
我现在证明这个之前的话
再说这个性质的另外一部分
也就是说如果我现在
我原来的这个函数我附加上一个位相
这边是g(x)
函数还是原来的函数
但是我现在乘上了一个位相的因子
这个位相因子的话有一个参数称之为k0
当然这个位相的话可以是正可以是负
那么这样子的一个函数的话
它的傅里叶变换是什么
它的傅里叶变换的话
是从这个地方也许你们可以猜出来
是G(k)和k0的一个关系
但这个地方的话正好通过证明的话要倒过来
正的ik0x
对应着的是减去k0
这边负的话是加
所以这个叫傅里叶变换的phase shift
如果原来的函数有了一个平移
那么它多一个位相因子
这边的话是如果我原来的函数多了一个位相因子
那么它的傅里叶变换进行一下平移
所以很好记
那么证明来讲的话我只给出一个证明就好了
我们以g加x0来做证明了
所以它的傅里叶变换f
新的这个函数的傅里叶变换
当然一切的东西我们都走定义
这就是傅里叶变换直接写下来的话
这就是它的定义式
现在来讲的话做一个变量代换了
我们来看的话我可以把x`定义为x加x0
因为之所以做这个变量代换的话
是我们为了跟原来的这个傅里叶变换挂起勾来
所以这样的话我dx就是我的dx`
这没什么变化
积分的上下限x`也是从负无穷到正无穷
这也没什么变化
当然x的话
里面的x我要给它进行换一下
x的话就是x`减去x0
所以做了一下变量代换的话
我立刻就可以看出来我上面这个式子
在这个地方进行了变量代换以后
我整个的这个式子来讲的话
就是跟号1/2π
负无穷 正无穷
g(x`)
上面的话会有一个e的-ikx`
但这边多了一项
所以eikx0
然后还有dx` 注意
我们这个积分的话是对x`积分的
所以eikx0相对来讲的话是一个常数
我完全可以给它提出来
如果我把这个e的ikx0当作常数提出来以后
你在看里面这个积分剩下的是什么
就是G(k)
只不过这个x`来讲
原来是x 现在是x`
这只是个dummy variable
所以的话你完它叫x`叫x 无所谓
所以这边的积分我立刻就会发现
跟号1/2π已经包含在这里面了
所以eikx0提出来以后
就是eikx0
剩下的话就是G(k)
所以我就证明了g(x+x0)
就是个eikx0 G(k)
它的傅里叶变换就是这个样子
所以这个部分称之为傅里叶变换的位相的移动的性质
-1.0 History of Optics 光学的历史发展
-1.1 Why Classical Wave Theory is Correct 经典理论为何正确
--1.1 Why Classical Wave Theory is Correct
-1.2 Wave and Wave Equation 波和波动方程
-1.3 Harmonic Wave 简谐波
-1.4 Phase Velocity and Phase Difference 相速度与相位差
--1.4 Phase Velocity and Phase Difference
-1.5 Superposition Principle 叠加原理
--1.5.1 Superposition Principle Part I
--1.5.2.Superposition Principle Part II
-1.6 Example of Superposition and Reciprocal Relation 叠加例子与反比关系
--1.6 Example of Superposition and Reciprocal Relation
-1.7 Euler Formula and Phasor 波的复数表达和旋转矢量表示
--1.7 Euler Formula and Phasor
-1.8 Doppler Effect 多普勒效应
--1.8.2 Doppler Effect Part II
-1.9 Doppler Broadening 多普勒展宽
-1.10 Plane Wave and Spherical Wave 平面波与球面波
--1.10 Plane Wave and Spherical Wave
-第一章习题
--习题
-2.1 Maxwell Equations(Maxwell 方程组)
-2.2 Wave Equation for E-M Field(电磁场的波动方程)
--2.2 Wave Equation for E-M Field
-2.3.1 Index of Refraction(折射率)
-2.3.2 Understanding n from Dipoles(用偶极模型理解折射率)
--2.3.2 Understanding n from Dipoles
-2.4 E-M Wave is Transverse(电磁波是横波)
-2.5 Energy Flow of E-M Wave(电磁波的能流)
-2.6 Momentum and photo-Pressure(动量和光压)
--2.6 Momentum and photo-Pressure
-2.7.1 Dipole Oscillator 1(偶极振子1)
-2.7.2 Dipole Oscillator 2(偶极振子2)
-2.8 Radiation by Dipole Oscillator(偶极振子的辐射)
--2.8 Radiation by Dipole Oscillator
-第二章习题
--习题
-3.1 Reflection and Refraction (反射与折射)
--3.1 Reflection and Refraction
-3.2 Huygens Principle(惠更斯原理)
-3.3.1 Fermat Principle part1: Optical Path Length (费马原理第一部分:光程)
--3.3.1 Fermat Principle part1: Optical Path Length
-3.3.2 Fermat Principle part2: an Explanation (费马原理第二部分:一种解释)
--3.3.2 Fermat Principle part2: an Explanation
-3.4.1 Scattering Point of View 1 (散射图像1)
--3.4.1 Scattering Point of View 1
-3.4.2 Scattering Point of View 2 (散射图像2)
--3.4.2 Scattering Point of View 2
-3.5 Reflection and Refraction Rules Derived from Boundary Conditions of Maxwell Equations(利用Maxwell方
--3.5 Reflection and Refraction Rules Derived from Boundary Conditions of Maxwell Equations
-3.6.1 The Basic problem and Setup of Coordinates (基本问题和坐标系的建立)
--3.6.1 The Basic problem and Setup of Coordinates
-3.6.2 The Reflection and Transmission Coefficients (发射与透射系数)
--3.6.2 The Reflection and Transmission Coefficients
-3.6.3 Discussion on Amplitude of the Coefficients (对系数大小的讨论)
--3.6.3 Discussion on Amplitude of the Coefficients
-3.6.4 Discussion on Phase of the Coefficients (对系数位相的讨论)
--3.6.4 Discussion on Phase of the Coefficients
-3.7 Stokes Relation and Half Wavelength Difference (Stokes关系式和半波损)
--3.7 Stokes Relation and Half Wavelength Difference
-第三章习题
--习题
-4.1 Introduction(几何光学介绍)
-4.2 Important Jargons(重要的术语)
-4.3.1 Image formation by Spherical Surface and Paraxial Approxiamation(球面成像和傍轴近似)
--4.3.1 Image formation by Spherical Surface and Paraxial Approxiamation
-4.3.2 Image Formation Formula(成像公式)
--4.3.2 Image Formation Formula
-4.3.3 Example and Transverse Magnification(例题和横向放大率)
--4.3.3 Example and Transverse Magnification
-4.4 Thin Lens(薄透镜)
-4.5 Thick Lens(厚透镜)
-4.6.1 Matrix Treatment 1: Matrix for Propagation and Refraction(矩阵处理1:表示传播与折射的矩阵)
--4.6.1 Matrix Treatment 1: Matrix for Propagation and Refraction
-4.6.2 Matrix Treatment 2: Lens Matrix(矩阵处理2:透镜矩阵)
--4.6.2 Matrix Treatment 2: Lens Matrix
-4.6.3 Matrix Treatment 3: Relations between Matrix Elements and Cardinal Points(矩阵处理3:矩阵元与主点的联系)
--4.6.3 Matrix Treatment 3: Relations between Matrix Elements and Cardinal Points
-第四章习题
--习题
-5.0 What is Interference(什么是干涉)
-5.1.1 Superposition of Waves: General Case(波叠加的通式)
--5.1.1 Superposition of Waves: General Case
-5.1.2 Adding Wave with Same Frequency and Direction(同频同向波的叠加)
--5.1.2 Adding Wave with Same Frequency and Direction
-5.1.3.1 Standing Wave 1 (驻波(上))
-5.1.3.2 Standing Wave 2 (驻波(下))
-5.1.4.1 Adding Waves with Different Frequencies 1: Beat and Group Velocity(不同频率波的叠加(上):拍和群速度)
--5.1.4.1 Adding Waves with Different Frequencies 1: Beat and Group Velocity
-5.1.4.2 Adding Waves with Different Frequencies 2: Continuous Frequency Spectrum(不同频率波的叠加(中):连续的频谱)
--5.1.4.2 Adding Waves with Different Frequencies 2: Continuous Frequency Spectrum
-5.1.4.3 Adding Waves with Different Frequencies 3: property of Wave Packet and Reciprocal Relation(不
--5.1.4.3 Adding Waves with Different Frequencies 3: property of Wave Packet and Reciprocal Relation
-5.2.1 Interference of Two Point Sources and Coherent Condition(两个点源的干涉和相干条件)
--5.2.1 Interference of Two Point Sources and Coherent Condition
-5.2.2 Young's Double-Slits Experiment(杨氏双缝干涉实验)
--5.2.2 Young's Double-Slits Experiment
-5.2.3 Another Treatment of Young's Interference, Paraxial and Far-field Condition(杨氏干涉的另一种处理,傍轴和远场条
--5.2.3 Another Treatment of Young's Interference, Paraxial and Far-field Condition
-Chapter 5 Interference and Coherence(Part 1)--第五章习
-5.3.0 Interference by Thin Film(薄膜干涉)
--5.3.0 Interference by Thin Film
-5.3.1 Equal Thickness Fringe(等厚干涉条纹)
--5.3.1 Equal Thickness Fringe
-5.3.2 Equal Inclination Fringe(等倾干涉条纹)
--5.3.2 Equal inclination Fringe
-5.3.3 Michelson Interferometer(Michelson干涉仪)
--5.3.3 Michelson Interferometer
-5.4.0 Multibeam Interference(多光束干涉)
--5.4.0 Multibeam Interference
-5.4.1.1 Derivation 1(理论推导(上))
-5.4.1.2 Derivation 2(理论推导(下))
-5.4.2.1 Discussion(结论与讨论)
-5.4.2.2 Application: F-P Interferometer(应用:F-P 干涉仪)
--5.4.2.2 Application: F-P Interferometer
-5.5.0 Coherence Theory(相干理论)
-5.5.1 Spatial Coherence(空间相干性)
-5.5.2.1 Temporal Coherence(时间相干性)
-5.5.2.2 Coherent Time and Length(相干时间和相干长度)
--5.5.2.2 Coherent Time and Length
-5.5.3.1 Definition of Correlation Function(关联函数定义)
--5.5.3.1 Definition of Correlation Function
-5.5.3.2 Correlation Function and Coherence(关联函数与相干)
--5.5.3.2 Correlation Function and Coherence
-第五章习题(下)
--习题
-6.1 basic problem in diffraction(衍射的基本问题)
--6.1 basic problem in diffraction
-6.2.1 Huygens-Fresnel Principle and Kirchhoff Euation(惠更斯-菲涅耳原理和基尔霍夫方程)
--6.2.1 Huygens-Fresnel Principle and Kirchhoff Euation
-6.2.2 Fresnel and Fraunhoffer Diffraction(菲涅耳与夫琅和费衍射)
--6.2.2 Fresnel and Fraunhoffer Diffraction
-6.3.1 Fresnel Diffraction 1: Half Wavelength Plate(菲涅耳衍射1:半波带法)
--6.3.1 Fresnel Diffraction 1: Half Wavelength Plate
-6.3.2 Fresnel Diffraction 2: Phasor Method(菲涅耳衍射2:旋转矢量法)
--6.3.2 Fresnel Diffraction 2: Phasor Method
-6.3.3 Fresnel Diffraction 3: Opaque Disk and Babinet Principle(菲涅耳衍射3:圆屏衍射和Babinet原理)
--6.3.3 Fresnel Diffraction 3: Opaque Disk and Babinet Principle
-6.3.4 Fresnel Diffraction 4: Fresnel Zone Plate(an application)(菲涅耳衍射4:菲涅耳波带片(一个应用))
--6.3.4 Fresnel Diffraction 4: Fresnel Zone Plate(an application)
-6.4.0 Fraunhoffer Diffraction: General Expression(夫琅和费衍射1:普遍表达形式)
--6.4.0 6.4.0 Fraunhoffer Diffraction: General Expression
-6.4.1.1 Single Slit Fraunhoffer Diffraction(单缝夫琅和费衍射)
--6.4.1.1 Single Slit Fraunhoffer Diffraction
-6.4.1.2 Characteristic of Single Slit Case(单缝衍射的特点)
--6.4.1.2 Characteristic of Single Slit Case
-6.4.2 Fraunhoffer Diffraction for Rectangular Window(矩形窗口的夫琅和费衍射)
--6.4.2 Fraunhoffer Diffraction for Rectangular Window
-6.4.3.1 Fraunhoffer Diffraction for Circular Aperture(圆孔的夫琅和费衍射)
--6.4.3.1 Fraunhoffer Diffraction for Circular Aperture
-6.4.3.2 Diffraction Limit on Resolution(分辨率的衍射极限)
--6.4.3.2 Diffraction Limit on Resolution
-第六章习题(上)
--习题
-6.5.1 Fraunhoffer Diffraction for 2-slits Case(双缝夫琅和费衍射)
--6.5.1 Fraunhoffer Diffraction for 2-slits Case
-6.5.2.1 Multi-slits Dffraction 1: Intensity distribution(多缝衍射1:光强分布)
--6.5.2.1 Multi-slits Dffraction 1: Intensity distribution
-6.5.2.2 Multi-slits Diffraction 2: Interference between Slits and Principal maxima(多缝衍射2:缝间干涉和主极大)
--6.5.2.2 Multi-slits Diffraction 2: Interference between Slits and Principal maxima
-6.5.2.3 Multi-slits Diffraction 3: Missing Order and Examples(多缝衍射3:缺级与例题)
--6.5.2.3 Multi-slits Diffraction 3: Missing Order and Examples
-6.5.3.1 Grating Spectrometer(光栅光谱仪)
--6.5.3.1 Grating Spectrometer
-6.5.3.2 Dispersion Relation of Grating Spectrometer(光栅光谱仪的色散关系)
--6.5.3.2 Dispersion Relation of Grating Spectrometer
-6.5.3.3 Dispersion Power and Resolution(色散能力和分辨率)
--6.5.3.3 Dispersion Power and Resolution
-6.5.3.4 Free Spectral Range(自由光谱程)
-第六章习题(下)
--习题
-7.0 introducing Fourier expansion and transform(介绍傅里叶展开与变换)
--7.0
-7.1.1 Fourier transform for periodic functions(周期函数的傅里叶展开)
--7.1.1
-7.1.2 examples on Fourier expansion(傅里叶展开的例子)
--7.1.2
-7.2.1 Fourier transform for general functions(一般函数的傅里叶变换)
--7.2.1
-7.2.2 Fourier transforms of some typical functions and relation on width distribution(一些典型函数的傅里叶变换和分
--7.2.2
-7.3.1 Dirac delta function(狄拉克delta函数)
-7.3.2 Fourier transform of the delta function(delta函数的傅里叶变换)
--7.3.2
-7.4.1 properties of Fourier transform(傅里叶变换的性质)
--7.4.1
-7.4.2 Fourier transform of derivatives(函数导数的傅里叶变换)
--7.4.2
-7.4.3 what is convolution between functions(函数的卷积是什么)
--7.4.3
-7.4.4 Fourier transform of convolution(卷积的傅里叶变换)
--7.4.4
-7.5 relation between fourier transform and Fraunhoffer equation(傅里叶变换与夫琅禾费衍射之间的关系)
--7.5
-7.6 Abbe image formation(阿贝成像原理)
--7.6
-Chapter 7--第七章习题
-8.1 what is polarization(什么是偏振)
--8.1
-8.2.1 how to express polarization state(如何表达偏振态)
--8.2.1
-8.2.2 unpolarized and partial polarized light(非偏振态和部分偏振态)
--8.2.2
-8.3 linear polarizer(线偏振片)
--8.3
-8.4.1.1 Jones vector(Jones 矢量)
--8.4.1.1
-8.4.1.2 Transformation of Jones Vector(Jones 矢量的变换)
--8.4.1.2
-8.4.2 Jones matrix(Jones 矩阵)
--8.4.2
-第八章(上)习题
--习题
-8.5.1 Birefringence and a simple illustration
--8.5.1 Birefringence and a simple illustration
-8.5.2 Ordinary and Extraordinary light
--8.5.2
-8.5.3 Typical Examples
--8.5.3
-8.6.1 application 1-linear polarizer
--8.6.1
-8.6.2.1 application 2-quarter wave plate
--8.6.2.1
-8.6.2.2 application 2-change polarization state by quarter wave-plate
--8.6.2.2
-8.6.2.3 application2-change direction of polarization by half-plate
--8.6.2.3
-8.7.1
--8.7.1
-8.7.2
--8.7.2
-8.7.3
--8.7.3
-8.7.4
--8.7.4
-8.8.1
--8.8.1
-8.8.2
--8.8.2
-8.8.3
--8.8.3
-第八章(下)习题
--习题
-期末测试
--期末测试