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前面的话我们介绍了叫做projector
投影算符
下面的话
我们还要介绍一些数学概念
然后再用投影算符
来去表示一个矩阵
完成我们这样的一个任务
那么这个重要的概念
对于矩阵来讲的话
我相信很多的人
如果熟悉线性代数的话
也一定熟悉这个概念
它是本征值和本征态的问题
所以叫eigenvalue and eigenvector
本征值与本征态
当然有的时候也称之为
特征值或者特征态,character value 或者 character vector
那么我们首先来看的话
作为本征值和本征态的定义是什么
快速的回顾一下
尽管这一部分
如果熟悉线性代数的东西
我不打算
详细的讲线性代数的部分
所以这只是一个快速的回顾
对于这样子的一个算符
或者说它代表的一个矩阵
如果
有一个矢量
经过我这个矩阵的作用
得到的结果通常来讲的话
一个矢量经过一个作用呢
比如讲我们说
一个偏振态经过了一个波片
一般意义上来讲
这个偏振状态是要变的
所以一般情况下
出射的这个矢量
跟我进来的这个矢量可能不是一个
但是我们所谓的本征态
就是这样一类特殊的量
它经过了作用以后
它的状态不变
出来的还是原来的这个状态
当然只是这个矢量的这个
所谓的方向不变吧
但是它的大小的位相的可以改变
所以前面会乘上一个常数
这个λi就叫做这个矩阵的本征值,eigenvalue
而这个矢量就叫做
对应于这个本征值的本征态
所以这就是本征值与本征态的含义
那么我们为什么
讲这个本征值与本征态
是因为这样子
本征态是对于这样子的
一个物理作用
或者说这个算符所代表的物理作用
最简单的一类的入射状态
或者将输入状态
因为状态并不改变
只是大小或者位相做了一个修正
因此我们在讨论问题的时候非常关心
给了一个物理作用
这个物理作用用算符表示
那么它的本征态和本征值到底是什么
这将是量子力学中
讨论的一个核心的问题
实际上在我们以前的物理中
也已经接触过
本征值与本征态的问题
比如说转动惯量
或者说介电常数张量
等等这些地方
都已经涉及到
本征值与本征态了
所以这个概念
不是我们第一次碰到
在引入本征态本征值
这样的一个定义以后的话
我们下面一个来看就是
对于我们常见的这个物理的作用
在数学上它是属于如果O的话
它属于这类的一类矩阵
我们称之为比如说对称的矩阵
O如果是symmetric
这个symmetric转置的矩阵等于原来的矩阵
或者是在量子力学中
因为是复空间引入
我们称之为厄米的
所以叫hermitian
这是一个矩阵转置还要再加共轭
它等于原来的矩阵
这是hermitian的定义
还有的一类的矩阵
我们称之为unitary,幺正的
这个地方这个东西
是这个矩阵的转置共轭
它不等于原来的矩阵
它是这个矩阵的倒数
这个 东西叫做unitary
对于这样子的一类的矩阵在数学上
有一个非常有意思
但这个地方我不做证明
对于这样子矩阵来讲
它的我们讲
它的本征态φi
它可以构成一个正交归一
可以是正交的
我们可以去构造
利用它的本征态
去构造正交归化的基
对于这样子的算符
或者算符所代表的物理作用
那么这个本征态实际上
如果用它作为基矢量的话
这个矩阵的表达形式
就会变得非常简单
因为它可以正交归一
而正交归一
就可以用来作为一个基矢量
当然实际上作为basis
前提的话还有completeness
它也确实是满足完备性的
所以在这种时候我们可以用φi
也就是我们用所谓的本征态
这个东西的话它可以正交
但是这个正交归一的基的话
会非常的重要
所以我们是给它一个名称
叫做eigenbase
或者叫eigenbase 叫本征的这个基
那么再这样一个本征基下
我们讲这个
以后的话我就写eigenbase
这个的矩阵的表达形式
会是什么形式呀
很简单这个既然是作为基了
其实这个 式子已经告诉我了
如果它为基那这个东西的话
给出来我的是Di列
Di列的话φi它又是φi作为Di的基
那么其它都是0
Di不是0
所以我知道了
我一下子我就可以由
这样子定义我就可以知道
在A跟basis下
我这个矩阵的话
会出现这样一个简单的形式
第一列就是λ1 φ1 其它都是0
第二个的话是第二个的式
λ2其它都是0
然后由此可以类推
所以他是这样子一个对角化的矩阵
在对角线上的话
这个矩阵元的话
就是它的本征值
而其它地方的话都是0
所以这个东西我们称之为
完全对角化的矩阵
那么如果我给它表达成为
我把这个矩阵的形式
再给它写成投影算符的形式
我们知道的话
只不过现在来讲
我现在的i j将是我的叫eigenbase
但在eigenbase下我们知道Oij
只有当i和j相等的时候
这个时候它是非0的
其它地方都是0
所以这个地方我知道了
这个东西就是Oij是什么就是λ
是我的本征值
是我的λi
那么这个i对应着的我Di个本征态
这边j也要等于i也是对应的
所以作为一个算符
我也可以给它写成
这一类的投影算符的表达形式
其中的话前面乘上它的本征值
所以是本征态所构成的
投影算符乘上本征值
这样子的话也就是构成了
我这个算符的一个矩阵的表达形式
所以这个东西就是
我们所谓的第三种方法
你可以用这个东西来去求解我
偏振片 波片
它的矩阵的表达形式是什么
最好的还是给个例子
我们讲了这么多eigenvalue, eigenvector
然后和投影算符
最后归结到一个矩阵的表达形式
可以表达成为这样的一个形式
那么当然我这个地方
只举一个例子就好了
比如说我们前面
已经用前面两种方法推导过的
一个45度的线偏振片在这种时候
我可以表达成为一个什么形式啊
本征值45度的偏振片的
它的本征值是什么
这是45度的偏振片
其实很好理解
就是它的本征态一眼就可以看出来
这个情况的话是比较简单的
我们在讲波片在讲偏振片的时候
其实本征态和本征值
都可以一眼看出来的
然后我们利用本征值和本征态
可以去构建这样子一个算符
当然有些问题是正好反过来
本征值和本征态并不明确
但是这个矩阵的表达形式
然后去求本征值本征态
这是我们下一节要讲的问题
那这一节是
我们知道了本征态知道了本征值
我来构建这样子一个矩阵
那么作为一个45度的一个偏振
自然我们可以知道
它的本征态是什么
它的本征态是正45度的偏振L45度
如果一个正45度的偏振经过这个东西
那它出来的就是正45
所以正45度就是我这个东西的
正45度的偏振就是它的本征态
当然我可以把本征值写出来了
那么它的另一个本征态呢
另一个本征态实际上是
本征值特殊点
它的本征值是为0
没有输出
什么样子的偏振态是没有输出的
这个东西的话
是这样一个偏振片作用在负45
无论我的偏振是在这个方向
那确实是没有输出
所以它的0乘上负45
这个地方写的不够 空间
稍微小了点
所以在这个时候是另外的
而一个本征态是负45度的偏振
那么当然它的本征值是0
所以0乘上负45自然还是0
所以这个作为一个45度的偏振片
我们很容易看出来
它的两个对应着的本征态以及
对应着的本征值到底是什么
那好
知道了本征态知道了本征值
那么它具体的表达形式就知道了
只不过λ1 λ1的话是1
那么它对应的本征的状态正45负45
所以它就是一个正45乘45
这样的一个投影算符
所构成的这个矩阵
另外一个的话
因为本征值是0
所以0乘上后面的都没有关系
所以它就是这样子一个东西所构成的
矩阵的形式
但是45和45的这个矩阵
我们知道不知道
我们是知道的
正45的矩阵
再乘上这个的矩阵
2分之根号2乘在一起
会给出一个2分之1
这个东西是1 1
这边这个矩阵的话是转置共轭
按照矩阵的乘法
我们会得到一个4乘4的矩阵
这个4乘4的矩阵非常简单的一个运算了
这个当然跟我们前面两种算法
得到的结果是完全一致的
因此你当然也可以用这样子的值
如果知道一个作用它的本征态是什么
比如说这种简单的情况
比如说45度的线偏振
或者说4分之波片等等
这样子简单的光学器件
偏振的改变
状态的改变
我们可以知道它的本征态是什么
对应的本征值是什么
那么自然很快的话
就可以利用这样子的投影算符
乘上它的本征值
我们来构造出来
这个矩阵的具体的表达形式是什么
-1.0 History of Optics 光学的历史发展
-1.1 Why Classical Wave Theory is Correct 经典理论为何正确
--1.1 Why Classical Wave Theory is Correct
-1.2 Wave and Wave Equation 波和波动方程
-1.3 Harmonic Wave 简谐波
-1.4 Phase Velocity and Phase Difference 相速度与相位差
--1.4 Phase Velocity and Phase Difference
-1.5 Superposition Principle 叠加原理
--1.5.1 Superposition Principle Part I
--1.5.2.Superposition Principle Part II
-1.6 Example of Superposition and Reciprocal Relation 叠加例子与反比关系
--1.6 Example of Superposition and Reciprocal Relation
-1.7 Euler Formula and Phasor 波的复数表达和旋转矢量表示
--1.7 Euler Formula and Phasor
-1.8 Doppler Effect 多普勒效应
--1.8.2 Doppler Effect Part II
-1.9 Doppler Broadening 多普勒展宽
-1.10 Plane Wave and Spherical Wave 平面波与球面波
--1.10 Plane Wave and Spherical Wave
-第一章习题
--习题
-2.1 Maxwell Equations(Maxwell 方程组)
-2.2 Wave Equation for E-M Field(电磁场的波动方程)
--2.2 Wave Equation for E-M Field
-2.3.1 Index of Refraction(折射率)
-2.3.2 Understanding n from Dipoles(用偶极模型理解折射率)
--2.3.2 Understanding n from Dipoles
-2.4 E-M Wave is Transverse(电磁波是横波)
-2.5 Energy Flow of E-M Wave(电磁波的能流)
-2.6 Momentum and photo-Pressure(动量和光压)
--2.6 Momentum and photo-Pressure
-2.7.1 Dipole Oscillator 1(偶极振子1)
-2.7.2 Dipole Oscillator 2(偶极振子2)
-2.8 Radiation by Dipole Oscillator(偶极振子的辐射)
--2.8 Radiation by Dipole Oscillator
-第二章习题
--习题
-3.1 Reflection and Refraction (反射与折射)
--3.1 Reflection and Refraction
-3.2 Huygens Principle(惠更斯原理)
-3.3.1 Fermat Principle part1: Optical Path Length (费马原理第一部分:光程)
--3.3.1 Fermat Principle part1: Optical Path Length
-3.3.2 Fermat Principle part2: an Explanation (费马原理第二部分:一种解释)
--3.3.2 Fermat Principle part2: an Explanation
-3.4.1 Scattering Point of View 1 (散射图像1)
--3.4.1 Scattering Point of View 1
-3.4.2 Scattering Point of View 2 (散射图像2)
--3.4.2 Scattering Point of View 2
-3.5 Reflection and Refraction Rules Derived from Boundary Conditions of Maxwell Equations(利用Maxwell方
--3.5 Reflection and Refraction Rules Derived from Boundary Conditions of Maxwell Equations
-3.6.1 The Basic problem and Setup of Coordinates (基本问题和坐标系的建立)
--3.6.1 The Basic problem and Setup of Coordinates
-3.6.2 The Reflection and Transmission Coefficients (发射与透射系数)
--3.6.2 The Reflection and Transmission Coefficients
-3.6.3 Discussion on Amplitude of the Coefficients (对系数大小的讨论)
--3.6.3 Discussion on Amplitude of the Coefficients
-3.6.4 Discussion on Phase of the Coefficients (对系数位相的讨论)
--3.6.4 Discussion on Phase of the Coefficients
-3.7 Stokes Relation and Half Wavelength Difference (Stokes关系式和半波损)
--3.7 Stokes Relation and Half Wavelength Difference
-第三章习题
--习题
-4.1 Introduction(几何光学介绍)
-4.2 Important Jargons(重要的术语)
-4.3.1 Image formation by Spherical Surface and Paraxial Approxiamation(球面成像和傍轴近似)
--4.3.1 Image formation by Spherical Surface and Paraxial Approxiamation
-4.3.2 Image Formation Formula(成像公式)
--4.3.2 Image Formation Formula
-4.3.3 Example and Transverse Magnification(例题和横向放大率)
--4.3.3 Example and Transverse Magnification
-4.4 Thin Lens(薄透镜)
-4.5 Thick Lens(厚透镜)
-4.6.1 Matrix Treatment 1: Matrix for Propagation and Refraction(矩阵处理1:表示传播与折射的矩阵)
--4.6.1 Matrix Treatment 1: Matrix for Propagation and Refraction
-4.6.2 Matrix Treatment 2: Lens Matrix(矩阵处理2:透镜矩阵)
--4.6.2 Matrix Treatment 2: Lens Matrix
-4.6.3 Matrix Treatment 3: Relations between Matrix Elements and Cardinal Points(矩阵处理3:矩阵元与主点的联系)
--4.6.3 Matrix Treatment 3: Relations between Matrix Elements and Cardinal Points
-第四章习题
--习题
-5.0 What is Interference(什么是干涉)
-5.1.1 Superposition of Waves: General Case(波叠加的通式)
--5.1.1 Superposition of Waves: General Case
-5.1.2 Adding Wave with Same Frequency and Direction(同频同向波的叠加)
--5.1.2 Adding Wave with Same Frequency and Direction
-5.1.3.1 Standing Wave 1 (驻波(上))
-5.1.3.2 Standing Wave 2 (驻波(下))
-5.1.4.1 Adding Waves with Different Frequencies 1: Beat and Group Velocity(不同频率波的叠加(上):拍和群速度)
--5.1.4.1 Adding Waves with Different Frequencies 1: Beat and Group Velocity
-5.1.4.2 Adding Waves with Different Frequencies 2: Continuous Frequency Spectrum(不同频率波的叠加(中):连续的频谱)
--5.1.4.2 Adding Waves with Different Frequencies 2: Continuous Frequency Spectrum
-5.1.4.3 Adding Waves with Different Frequencies 3: property of Wave Packet and Reciprocal Relation(不
--5.1.4.3 Adding Waves with Different Frequencies 3: property of Wave Packet and Reciprocal Relation
-5.2.1 Interference of Two Point Sources and Coherent Condition(两个点源的干涉和相干条件)
--5.2.1 Interference of Two Point Sources and Coherent Condition
-5.2.2 Young's Double-Slits Experiment(杨氏双缝干涉实验)
--5.2.2 Young's Double-Slits Experiment
-5.2.3 Another Treatment of Young's Interference, Paraxial and Far-field Condition(杨氏干涉的另一种处理,傍轴和远场条
--5.2.3 Another Treatment of Young's Interference, Paraxial and Far-field Condition
-Chapter 5 Interference and Coherence(Part 1)--第五章习
-5.3.0 Interference by Thin Film(薄膜干涉)
--5.3.0 Interference by Thin Film
-5.3.1 Equal Thickness Fringe(等厚干涉条纹)
--5.3.1 Equal Thickness Fringe
-5.3.2 Equal Inclination Fringe(等倾干涉条纹)
--5.3.2 Equal inclination Fringe
-5.3.3 Michelson Interferometer(Michelson干涉仪)
--5.3.3 Michelson Interferometer
-5.4.0 Multibeam Interference(多光束干涉)
--5.4.0 Multibeam Interference
-5.4.1.1 Derivation 1(理论推导(上))
-5.4.1.2 Derivation 2(理论推导(下))
-5.4.2.1 Discussion(结论与讨论)
-5.4.2.2 Application: F-P Interferometer(应用:F-P 干涉仪)
--5.4.2.2 Application: F-P Interferometer
-5.5.0 Coherence Theory(相干理论)
-5.5.1 Spatial Coherence(空间相干性)
-5.5.2.1 Temporal Coherence(时间相干性)
-5.5.2.2 Coherent Time and Length(相干时间和相干长度)
--5.5.2.2 Coherent Time and Length
-5.5.3.1 Definition of Correlation Function(关联函数定义)
--5.5.3.1 Definition of Correlation Function
-5.5.3.2 Correlation Function and Coherence(关联函数与相干)
--5.5.3.2 Correlation Function and Coherence
-第五章习题(下)
--习题
-6.1 basic problem in diffraction(衍射的基本问题)
--6.1 basic problem in diffraction
-6.2.1 Huygens-Fresnel Principle and Kirchhoff Euation(惠更斯-菲涅耳原理和基尔霍夫方程)
--6.2.1 Huygens-Fresnel Principle and Kirchhoff Euation
-6.2.2 Fresnel and Fraunhoffer Diffraction(菲涅耳与夫琅和费衍射)
--6.2.2 Fresnel and Fraunhoffer Diffraction
-6.3.1 Fresnel Diffraction 1: Half Wavelength Plate(菲涅耳衍射1:半波带法)
--6.3.1 Fresnel Diffraction 1: Half Wavelength Plate
-6.3.2 Fresnel Diffraction 2: Phasor Method(菲涅耳衍射2:旋转矢量法)
--6.3.2 Fresnel Diffraction 2: Phasor Method
-6.3.3 Fresnel Diffraction 3: Opaque Disk and Babinet Principle(菲涅耳衍射3:圆屏衍射和Babinet原理)
--6.3.3 Fresnel Diffraction 3: Opaque Disk and Babinet Principle
-6.3.4 Fresnel Diffraction 4: Fresnel Zone Plate(an application)(菲涅耳衍射4:菲涅耳波带片(一个应用))
--6.3.4 Fresnel Diffraction 4: Fresnel Zone Plate(an application)
-6.4.0 Fraunhoffer Diffraction: General Expression(夫琅和费衍射1:普遍表达形式)
--6.4.0 6.4.0 Fraunhoffer Diffraction: General Expression
-6.4.1.1 Single Slit Fraunhoffer Diffraction(单缝夫琅和费衍射)
--6.4.1.1 Single Slit Fraunhoffer Diffraction
-6.4.1.2 Characteristic of Single Slit Case(单缝衍射的特点)
--6.4.1.2 Characteristic of Single Slit Case
-6.4.2 Fraunhoffer Diffraction for Rectangular Window(矩形窗口的夫琅和费衍射)
--6.4.2 Fraunhoffer Diffraction for Rectangular Window
-6.4.3.1 Fraunhoffer Diffraction for Circular Aperture(圆孔的夫琅和费衍射)
--6.4.3.1 Fraunhoffer Diffraction for Circular Aperture
-6.4.3.2 Diffraction Limit on Resolution(分辨率的衍射极限)
--6.4.3.2 Diffraction Limit on Resolution
-第六章习题(上)
--习题
-6.5.1 Fraunhoffer Diffraction for 2-slits Case(双缝夫琅和费衍射)
--6.5.1 Fraunhoffer Diffraction for 2-slits Case
-6.5.2.1 Multi-slits Dffraction 1: Intensity distribution(多缝衍射1:光强分布)
--6.5.2.1 Multi-slits Dffraction 1: Intensity distribution
-6.5.2.2 Multi-slits Diffraction 2: Interference between Slits and Principal maxima(多缝衍射2:缝间干涉和主极大)
--6.5.2.2 Multi-slits Diffraction 2: Interference between Slits and Principal maxima
-6.5.2.3 Multi-slits Diffraction 3: Missing Order and Examples(多缝衍射3:缺级与例题)
--6.5.2.3 Multi-slits Diffraction 3: Missing Order and Examples
-6.5.3.1 Grating Spectrometer(光栅光谱仪)
--6.5.3.1 Grating Spectrometer
-6.5.3.2 Dispersion Relation of Grating Spectrometer(光栅光谱仪的色散关系)
--6.5.3.2 Dispersion Relation of Grating Spectrometer
-6.5.3.3 Dispersion Power and Resolution(色散能力和分辨率)
--6.5.3.3 Dispersion Power and Resolution
-6.5.3.4 Free Spectral Range(自由光谱程)
-第六章习题(下)
--习题
-7.0 introducing Fourier expansion and transform(介绍傅里叶展开与变换)
--7.0
-7.1.1 Fourier transform for periodic functions(周期函数的傅里叶展开)
--7.1.1
-7.1.2 examples on Fourier expansion(傅里叶展开的例子)
--7.1.2
-7.2.1 Fourier transform for general functions(一般函数的傅里叶变换)
--7.2.1
-7.2.2 Fourier transforms of some typical functions and relation on width distribution(一些典型函数的傅里叶变换和分
--7.2.2
-7.3.1 Dirac delta function(狄拉克delta函数)
-7.3.2 Fourier transform of the delta function(delta函数的傅里叶变换)
--7.3.2
-7.4.1 properties of Fourier transform(傅里叶变换的性质)
--7.4.1
-7.4.2 Fourier transform of derivatives(函数导数的傅里叶变换)
--7.4.2
-7.4.3 what is convolution between functions(函数的卷积是什么)
--7.4.3
-7.4.4 Fourier transform of convolution(卷积的傅里叶变换)
--7.4.4
-7.5 relation between fourier transform and Fraunhoffer equation(傅里叶变换与夫琅禾费衍射之间的关系)
--7.5
-7.6 Abbe image formation(阿贝成像原理)
--7.6
-Chapter 7--第七章习题
-8.1 what is polarization(什么是偏振)
--8.1
-8.2.1 how to express polarization state(如何表达偏振态)
--8.2.1
-8.2.2 unpolarized and partial polarized light(非偏振态和部分偏振态)
--8.2.2
-8.3 linear polarizer(线偏振片)
--8.3
-8.4.1.1 Jones vector(Jones 矢量)
--8.4.1.1
-8.4.1.2 Transformation of Jones Vector(Jones 矢量的变换)
--8.4.1.2
-8.4.2 Jones matrix(Jones 矩阵)
--8.4.2
-第八章(上)习题
--习题
-8.5.1 Birefringence and a simple illustration
--8.5.1 Birefringence and a simple illustration
-8.5.2 Ordinary and Extraordinary light
--8.5.2
-8.5.3 Typical Examples
--8.5.3
-8.6.1 application 1-linear polarizer
--8.6.1
-8.6.2.1 application 2-quarter wave plate
--8.6.2.1
-8.6.2.2 application 2-change polarization state by quarter wave-plate
--8.6.2.2
-8.6.2.3 application2-change direction of polarization by half-plate
--8.6.2.3
-8.7.1
--8.7.1
-8.7.2
--8.7.2
-8.7.3
--8.7.3
-8.7.4
--8.7.4
-8.8.1
--8.8.1
-8.8.2
--8.8.2
-8.8.3
--8.8.3
-第八章(下)习题
--习题
-期末测试
--期末测试