当前课程知识点:光学 > Chapter 6(1) > 6.4.1.1 Single Slit Fraunhoffer Diffraction(单缝夫琅和费衍射) > 6.4.1.1 Single Slit Fraunhoffer Diffraction
前面的话我们给出了Fraunhoffer的形式
积分的最一般的一个形式
角因子的简化
那么在衍射屏上的场强分布的简化
以及位相因子中那个R形式的简化
带来的积分相对比较容易一些
那么下面结合一些具体的例子来看一下
一些典型屏的Fraunhoffer衍射的强度的分布
所以我们首先来看一个最简单的一个情况
当然这是理想的情况
是真实的屏的话
就没有这样子的一个一维的东西
所以我们看的第一个的话
是一个一维的开孔
一个方波函数
那么会更好的来定义
这个所谓的衍射屏函数到底是什么
这就是这样子
衍射屏就是在一维上有一个开孔
这个开孔的话
从我把屏的话这端定为零
这端的话是从-a/2
到+a/2
这段的话是光强
百分之百通过
其他地方的话光强百分之百挡住
另外一个的话
我的这个光的话
S放的比较远
相当于一个我平行光入射
满足源场条件时候 光源放得比较远
入射的光线相当于一个平行光
至于怎么样做这点呢
其实很简单
我加一个透镜
把我的原点放在我透镜的前焦距上
我就可以做到这一点
那么这样的光入射上来以后
我们所关心的话是我在这段
一段距离的地方我放了一个
在这段距离Z
我放了一个观测屏
我的观测屏我叫x`
统一的话 我们以后观测屏加个撇
那么衍射屏我叫做一个X
我们所考虑的问题就是
对于我观测屏上的一点
任意一点
比如说X`这一点叫做P了
这一点的UP等于多少
这一点的场多少
这就是我们要处理的所谓Fraunhoffer衍射的问题
只不过现在的条件是Z
很远 Z0很远
这样的话有近似
好我们来看一下的话
在这个里面的话
第一个的话
我们介绍一个叫做所谓屏函数
这个屏函数是告诉我这个衍射屏的特性
对于我现在这样子一维的
一个方的开孔的话
这是最简单的我的屏函数
t(x)的话是等于什么
是这样的一个方波函数
在这开孔的地方是1
其他地方都是零
这是从负二分之a到正二分之a
这样的一个
之所以引入这个屏函数
是因为有了一个这样子的一个屏函数
我们可以把屏上的场强
和入射的场强给联系在一起
那么我们叫
屏上的这个场强的话UΣ
就是等于我
这是我入射的平面的这个场强Uin
这边是我叫Uin
那么在这一点的场强的话
在我这个屏上真实的这个场强的话
当然是我这个
入射的场强和我屏函数的
一个乘积了
所以
这样子的话我就可以用屏函数
这样子一个东西来表示我
这个衍射屏的一些特性
好了
那么 下面的问题就是
作为这一点的话
它的场强大小是多少
那么这个公式的话我们已经先给出来了
我们知道U
U P
现在作为这样子的一个
光屏来讲的话
这个东西的话
平行光
近似一个常数
t(x)在这上面的话
只要在开孔地方是一个常数
所以的话
这是Kirchhoff equation的那个常数
这是UΣ
然后
还有一个的话除上
这段的Z
另外的话是我的eikr
只不过我这个积分很明显的话
我是从负二分之a
因为其他地方的话
这个UΣ都是零
所以我积分的话只是从
负二分之a到正二分之a
这样子的一个积分
我们再来看一下这个r
r的话具体形式我前面已经给出来
但是现在我首先来看一下它的很简单一个几何的表示
所谓r来讲的话
是对我屏上任意一点
比如说我取这一点吧
屏上任意一点
到我所要观测的观测点之间的
画歪了
好吧
我们把观测点移一下
移到这来
这是我的r
r的话可以给它写成
我们前面已经提到过了
这个地方我再重写一下
这个式子的话经常会用到
r的话可以给他写成什么呀
可以写成
我从中心
从衍射屏的中心到我观测点的
这一段的距离我称之为r0
这一段称之为r0
r的话可以给它写成r0
它们两个之间的话
差了一点距离
从几何形式表达的这个形式的话
如果这个的角度我称之为Θ
做一个垂线
这个角度的话近似的为
Θ了
那么因此r和r0之间的差别差了多少啊
这段距离是X
所以它们俩之间差了
减去X乘上一个sinΘ
所以r可以写成r0和这样子一个形式
实际上和我们刚以前推导的话
我们还推导过一个式子
r也等于
在满足远场条件的情况下
X方Y方的项都可以忽略掉了
X方Y方都可以忽略掉了
所以在这种情况下
减去Z分之x x`
加上y y`
只不过一维的话我不用考虑yy`的情况
我们来看这个的形式的话
实际上这两个形式的话是完全一致的
可见我们所引入的
所谓远场条件近似
和这个几何条件的近似是完全一样的
为什么呢
因为x`/Z
什么叫x`/Z
这是x`
这个是x`
这是Z
小角度的情况下我的x`/Z 当然x`/Z
严格讲就是我的tanΘ
当然在Θ小的时候
这个近似的话就是我的Θ
或者是我的sinΘ
所以这一部分的话
sinΘ的话
和这边的x`/Z是完全一致的
因此我们下面来讲的话
来做这个积分
就变成了这样的一个任务
我们总的
强度UP应该是等于
K乘上UΣ
只不过UΣ的话现在我给它写成U0吧
代表入射场强的一个大小
经过我屏函数的修正的话
当然屏函数没有做任何修正
所以就是我的入射场U0
然后剩下了的话是这样一个
eikr0中心点到我观测点的光程
这个代表这个含义
然后另外一个积分的话
是e-ikxsinθ dx
负二分之a到正二分之a
所以我们把这样的一个一维的Fraunhoffer问题
就是最终归结为处理这样的一个相对简单的积分
你会发现给定了X`
相当于给定了我的衍射的方向Θ角
因为Θ的话和X`的关系的话就是
X`除上Z
近似的是我的Θ
所以给定了我场点
我就知道Θ
所以Θ值这不是个变量
真正唯一的一个变量在这里面的话
就是一个X
衍射屏上不同点的位置
对这个东西求一个积分
而这个积分的话是相当简单的一个积分
而且以前我们也做过这样子一个积分
所以我直接的话会把公式直接给写出来
下面就是我这个积分直接就做下去
那么这个积分的话
前面的话会有一堆常数
最终来讲的话
我会归结成为
或者整个的一个函数形式
这边的话相当于一个常数
我会把它归结为一个C
然后这个积分的话又会出现一个iksinΘ等等
我这些都给它归结为一个常数
最终的话它写出来的形式是我们所熟悉的一个C·a
这个C的话
是前面的一些常数
a的话是我Fraunhoffer衍射中
缝的宽度
然后
有一个函数的形式是sinα比上α
这一部分的详细推导
我没有推
大家做一下这个积分就可以知道C的形式是什么
α的形式是什么
当然α的形式的话
我这个地方我会写出来
α的话是等于
二分之kasinΘ
a再说一遍
k矢量
a缝的大小
Θ衍射的方向
由X`来决定
或者这个东西应该写成
把k也给写出来的话
2π除上λ
所以这东西是πasinΘ除上光的波长λ
好吧
这是α这个参数的含义
因此我来得到的整个
衍射的这个图案的话
就是这样简单的一个这样的函数给出来的
而这个函数的话
实际上我们已经在前面讨论过的sinc函数
下面的话就结合sinc函数特性说明一下
说明一下在一维的这样一个Fraunhoffer衍射
它的图像上有一个什么样的特点
-1.0 History of Optics 光学的历史发展
-1.1 Why Classical Wave Theory is Correct 经典理论为何正确
--1.1 Why Classical Wave Theory is Correct
-1.2 Wave and Wave Equation 波和波动方程
-1.3 Harmonic Wave 简谐波
-1.4 Phase Velocity and Phase Difference 相速度与相位差
--1.4 Phase Velocity and Phase Difference
-1.5 Superposition Principle 叠加原理
--1.5.1 Superposition Principle Part I
--1.5.2.Superposition Principle Part II
-1.6 Example of Superposition and Reciprocal Relation 叠加例子与反比关系
--1.6 Example of Superposition and Reciprocal Relation
-1.7 Euler Formula and Phasor 波的复数表达和旋转矢量表示
--1.7 Euler Formula and Phasor
-1.8 Doppler Effect 多普勒效应
--1.8.2 Doppler Effect Part II
-1.9 Doppler Broadening 多普勒展宽
-1.10 Plane Wave and Spherical Wave 平面波与球面波
--1.10 Plane Wave and Spherical Wave
-第一章习题
--习题
-2.1 Maxwell Equations(Maxwell 方程组)
-2.2 Wave Equation for E-M Field(电磁场的波动方程)
--2.2 Wave Equation for E-M Field
-2.3.1 Index of Refraction(折射率)
-2.3.2 Understanding n from Dipoles(用偶极模型理解折射率)
--2.3.2 Understanding n from Dipoles
-2.4 E-M Wave is Transverse(电磁波是横波)
-2.5 Energy Flow of E-M Wave(电磁波的能流)
-2.6 Momentum and photo-Pressure(动量和光压)
--2.6 Momentum and photo-Pressure
-2.7.1 Dipole Oscillator 1(偶极振子1)
-2.7.2 Dipole Oscillator 2(偶极振子2)
-2.8 Radiation by Dipole Oscillator(偶极振子的辐射)
--2.8 Radiation by Dipole Oscillator
-第二章习题
--习题
-3.1 Reflection and Refraction (反射与折射)
--3.1 Reflection and Refraction
-3.2 Huygens Principle(惠更斯原理)
-3.3.1 Fermat Principle part1: Optical Path Length (费马原理第一部分:光程)
--3.3.1 Fermat Principle part1: Optical Path Length
-3.3.2 Fermat Principle part2: an Explanation (费马原理第二部分:一种解释)
--3.3.2 Fermat Principle part2: an Explanation
-3.4.1 Scattering Point of View 1 (散射图像1)
--3.4.1 Scattering Point of View 1
-3.4.2 Scattering Point of View 2 (散射图像2)
--3.4.2 Scattering Point of View 2
-3.5 Reflection and Refraction Rules Derived from Boundary Conditions of Maxwell Equations(利用Maxwell方
--3.5 Reflection and Refraction Rules Derived from Boundary Conditions of Maxwell Equations
-3.6.1 The Basic problem and Setup of Coordinates (基本问题和坐标系的建立)
--3.6.1 The Basic problem and Setup of Coordinates
-3.6.2 The Reflection and Transmission Coefficients (发射与透射系数)
--3.6.2 The Reflection and Transmission Coefficients
-3.6.3 Discussion on Amplitude of the Coefficients (对系数大小的讨论)
--3.6.3 Discussion on Amplitude of the Coefficients
-3.6.4 Discussion on Phase of the Coefficients (对系数位相的讨论)
--3.6.4 Discussion on Phase of the Coefficients
-3.7 Stokes Relation and Half Wavelength Difference (Stokes关系式和半波损)
--3.7 Stokes Relation and Half Wavelength Difference
-第三章习题
--习题
-4.1 Introduction(几何光学介绍)
-4.2 Important Jargons(重要的术语)
-4.3.1 Image formation by Spherical Surface and Paraxial Approxiamation(球面成像和傍轴近似)
--4.3.1 Image formation by Spherical Surface and Paraxial Approxiamation
-4.3.2 Image Formation Formula(成像公式)
--4.3.2 Image Formation Formula
-4.3.3 Example and Transverse Magnification(例题和横向放大率)
--4.3.3 Example and Transverse Magnification
-4.4 Thin Lens(薄透镜)
-4.5 Thick Lens(厚透镜)
-4.6.1 Matrix Treatment 1: Matrix for Propagation and Refraction(矩阵处理1:表示传播与折射的矩阵)
--4.6.1 Matrix Treatment 1: Matrix for Propagation and Refraction
-4.6.2 Matrix Treatment 2: Lens Matrix(矩阵处理2:透镜矩阵)
--4.6.2 Matrix Treatment 2: Lens Matrix
-4.6.3 Matrix Treatment 3: Relations between Matrix Elements and Cardinal Points(矩阵处理3:矩阵元与主点的联系)
--4.6.3 Matrix Treatment 3: Relations between Matrix Elements and Cardinal Points
-第四章习题
--习题
-5.0 What is Interference(什么是干涉)
-5.1.1 Superposition of Waves: General Case(波叠加的通式)
--5.1.1 Superposition of Waves: General Case
-5.1.2 Adding Wave with Same Frequency and Direction(同频同向波的叠加)
--5.1.2 Adding Wave with Same Frequency and Direction
-5.1.3.1 Standing Wave 1 (驻波(上))
-5.1.3.2 Standing Wave 2 (驻波(下))
-5.1.4.1 Adding Waves with Different Frequencies 1: Beat and Group Velocity(不同频率波的叠加(上):拍和群速度)
--5.1.4.1 Adding Waves with Different Frequencies 1: Beat and Group Velocity
-5.1.4.2 Adding Waves with Different Frequencies 2: Continuous Frequency Spectrum(不同频率波的叠加(中):连续的频谱)
--5.1.4.2 Adding Waves with Different Frequencies 2: Continuous Frequency Spectrum
-5.1.4.3 Adding Waves with Different Frequencies 3: property of Wave Packet and Reciprocal Relation(不
--5.1.4.3 Adding Waves with Different Frequencies 3: property of Wave Packet and Reciprocal Relation
-5.2.1 Interference of Two Point Sources and Coherent Condition(两个点源的干涉和相干条件)
--5.2.1 Interference of Two Point Sources and Coherent Condition
-5.2.2 Young's Double-Slits Experiment(杨氏双缝干涉实验)
--5.2.2 Young's Double-Slits Experiment
-5.2.3 Another Treatment of Young's Interference, Paraxial and Far-field Condition(杨氏干涉的另一种处理,傍轴和远场条
--5.2.3 Another Treatment of Young's Interference, Paraxial and Far-field Condition
-Chapter 5 Interference and Coherence(Part 1)--第五章习
-5.3.0 Interference by Thin Film(薄膜干涉)
--5.3.0 Interference by Thin Film
-5.3.1 Equal Thickness Fringe(等厚干涉条纹)
--5.3.1 Equal Thickness Fringe
-5.3.2 Equal Inclination Fringe(等倾干涉条纹)
--5.3.2 Equal inclination Fringe
-5.3.3 Michelson Interferometer(Michelson干涉仪)
--5.3.3 Michelson Interferometer
-5.4.0 Multibeam Interference(多光束干涉)
--5.4.0 Multibeam Interference
-5.4.1.1 Derivation 1(理论推导(上))
-5.4.1.2 Derivation 2(理论推导(下))
-5.4.2.1 Discussion(结论与讨论)
-5.4.2.2 Application: F-P Interferometer(应用:F-P 干涉仪)
--5.4.2.2 Application: F-P Interferometer
-5.5.0 Coherence Theory(相干理论)
-5.5.1 Spatial Coherence(空间相干性)
-5.5.2.1 Temporal Coherence(时间相干性)
-5.5.2.2 Coherent Time and Length(相干时间和相干长度)
--5.5.2.2 Coherent Time and Length
-5.5.3.1 Definition of Correlation Function(关联函数定义)
--5.5.3.1 Definition of Correlation Function
-5.5.3.2 Correlation Function and Coherence(关联函数与相干)
--5.5.3.2 Correlation Function and Coherence
-第五章习题(下)
--习题
-6.1 basic problem in diffraction(衍射的基本问题)
--6.1 basic problem in diffraction
-6.2.1 Huygens-Fresnel Principle and Kirchhoff Euation(惠更斯-菲涅耳原理和基尔霍夫方程)
--6.2.1 Huygens-Fresnel Principle and Kirchhoff Euation
-6.2.2 Fresnel and Fraunhoffer Diffraction(菲涅耳与夫琅和费衍射)
--6.2.2 Fresnel and Fraunhoffer Diffraction
-6.3.1 Fresnel Diffraction 1: Half Wavelength Plate(菲涅耳衍射1:半波带法)
--6.3.1 Fresnel Diffraction 1: Half Wavelength Plate
-6.3.2 Fresnel Diffraction 2: Phasor Method(菲涅耳衍射2:旋转矢量法)
--6.3.2 Fresnel Diffraction 2: Phasor Method
-6.3.3 Fresnel Diffraction 3: Opaque Disk and Babinet Principle(菲涅耳衍射3:圆屏衍射和Babinet原理)
--6.3.3 Fresnel Diffraction 3: Opaque Disk and Babinet Principle
-6.3.4 Fresnel Diffraction 4: Fresnel Zone Plate(an application)(菲涅耳衍射4:菲涅耳波带片(一个应用))
--6.3.4 Fresnel Diffraction 4: Fresnel Zone Plate(an application)
-6.4.0 Fraunhoffer Diffraction: General Expression(夫琅和费衍射1:普遍表达形式)
--6.4.0 6.4.0 Fraunhoffer Diffraction: General Expression
-6.4.1.1 Single Slit Fraunhoffer Diffraction(单缝夫琅和费衍射)
--6.4.1.1 Single Slit Fraunhoffer Diffraction
-6.4.1.2 Characteristic of Single Slit Case(单缝衍射的特点)
--6.4.1.2 Characteristic of Single Slit Case
-6.4.2 Fraunhoffer Diffraction for Rectangular Window(矩形窗口的夫琅和费衍射)
--6.4.2 Fraunhoffer Diffraction for Rectangular Window
-6.4.3.1 Fraunhoffer Diffraction for Circular Aperture(圆孔的夫琅和费衍射)
--6.4.3.1 Fraunhoffer Diffraction for Circular Aperture
-6.4.3.2 Diffraction Limit on Resolution(分辨率的衍射极限)
--6.4.3.2 Diffraction Limit on Resolution
-第六章习题(上)
--习题
-6.5.1 Fraunhoffer Diffraction for 2-slits Case(双缝夫琅和费衍射)
--6.5.1 Fraunhoffer Diffraction for 2-slits Case
-6.5.2.1 Multi-slits Dffraction 1: Intensity distribution(多缝衍射1:光强分布)
--6.5.2.1 Multi-slits Dffraction 1: Intensity distribution
-6.5.2.2 Multi-slits Diffraction 2: Interference between Slits and Principal maxima(多缝衍射2:缝间干涉和主极大)
--6.5.2.2 Multi-slits Diffraction 2: Interference between Slits and Principal maxima
-6.5.2.3 Multi-slits Diffraction 3: Missing Order and Examples(多缝衍射3:缺级与例题)
--6.5.2.3 Multi-slits Diffraction 3: Missing Order and Examples
-6.5.3.1 Grating Spectrometer(光栅光谱仪)
--6.5.3.1 Grating Spectrometer
-6.5.3.2 Dispersion Relation of Grating Spectrometer(光栅光谱仪的色散关系)
--6.5.3.2 Dispersion Relation of Grating Spectrometer
-6.5.3.3 Dispersion Power and Resolution(色散能力和分辨率)
--6.5.3.3 Dispersion Power and Resolution
-6.5.3.4 Free Spectral Range(自由光谱程)
-第六章习题(下)
--习题
-7.0 introducing Fourier expansion and transform(介绍傅里叶展开与变换)
--7.0
-7.1.1 Fourier transform for periodic functions(周期函数的傅里叶展开)
--7.1.1
-7.1.2 examples on Fourier expansion(傅里叶展开的例子)
--7.1.2
-7.2.1 Fourier transform for general functions(一般函数的傅里叶变换)
--7.2.1
-7.2.2 Fourier transforms of some typical functions and relation on width distribution(一些典型函数的傅里叶变换和分
--7.2.2
-7.3.1 Dirac delta function(狄拉克delta函数)
-7.3.2 Fourier transform of the delta function(delta函数的傅里叶变换)
--7.3.2
-7.4.1 properties of Fourier transform(傅里叶变换的性质)
--7.4.1
-7.4.2 Fourier transform of derivatives(函数导数的傅里叶变换)
--7.4.2
-7.4.3 what is convolution between functions(函数的卷积是什么)
--7.4.3
-7.4.4 Fourier transform of convolution(卷积的傅里叶变换)
--7.4.4
-7.5 relation between fourier transform and Fraunhoffer equation(傅里叶变换与夫琅禾费衍射之间的关系)
--7.5
-7.6 Abbe image formation(阿贝成像原理)
--7.6
-Chapter 7--第七章习题
-8.1 what is polarization(什么是偏振)
--8.1
-8.2.1 how to express polarization state(如何表达偏振态)
--8.2.1
-8.2.2 unpolarized and partial polarized light(非偏振态和部分偏振态)
--8.2.2
-8.3 linear polarizer(线偏振片)
--8.3
-8.4.1.1 Jones vector(Jones 矢量)
--8.4.1.1
-8.4.1.2 Transformation of Jones Vector(Jones 矢量的变换)
--8.4.1.2
-8.4.2 Jones matrix(Jones 矩阵)
--8.4.2
-第八章(上)习题
--习题
-8.5.1 Birefringence and a simple illustration
--8.5.1 Birefringence and a simple illustration
-8.5.2 Ordinary and Extraordinary light
--8.5.2
-8.5.3 Typical Examples
--8.5.3
-8.6.1 application 1-linear polarizer
--8.6.1
-8.6.2.1 application 2-quarter wave plate
--8.6.2.1
-8.6.2.2 application 2-change polarization state by quarter wave-plate
--8.6.2.2
-8.6.2.3 application2-change direction of polarization by half-plate
--8.6.2.3
-8.7.1
--8.7.1
-8.7.2
--8.7.2
-8.7.3
--8.7.3
-8.7.4
--8.7.4
-8.8.1
--8.8.1
-8.8.2
--8.8.2
-8.8.3
--8.8.3
-第八章(下)习题
--习题
-期末测试
--期末测试