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5.1.4.2 Adding Waves with Different Frequencies 2: Continuous Frequency Spectrum在线视频

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5.1.4.2 Adding Waves with Different Frequencies 2: Continuous Frequency Spectrum课程教案、知识点、字幕

这一节我们讲

把许许多多不同频率的波叠加在一起

所以我们这一节是

上一节是只是两个不同的频率

现在我们是把更多频率的波

给叠加在一起

而且我是让它这个频率的波的话

是连续的一个

不再是ω1ω2ω3这样子分离的一个频率

我们考虑这样一个情况

我的频率的分布是这样子一个方波式的分布

也就是说它的中心频率

比如说是在ω0

整个的这个频谱宽度

我叫大的这个Δω

那么换句话说我的频率的话

可能是在ω0-Δω/2到ω0+Δω/2

整个范围里头的话

等概率的取

什么叫等概率的呢

把这个问题再说一下

那么比如说我们来看

在这段频率范围内我取其中的一小段

比如这一段我称之为dω

在这个区间里头在我这个红的

所表示的这很窄的这一段频谱的区间里头的话

那么我们说这个波的话

有多少个波呢

这个波的概率密度我们称之为ρ

ρ×dω这个是number of waves

就是波的数目在dω区间里头

有这么多个波

ρ×dω就代表有这么多个波

在这一小的频谱区间里头

那么每一个波的话

当然它有这个地方所对应的频率

以及它的k

当然还有一个振幅

那么每一个波来讲的话

我在这个地方写的话

每一个波every wave each wave

当然是一个振幅Aeikx-ωt的形式

只不过这边的k这边的ω

我这边如果你要写的话

我把这个写开来讲的话

k应该是等于k0

加上一个中间的这个东西

再加上一个δk

ω我可以给它写成

中心的频率ω0加上一个到中心的频率

我用这样一个δ来表示

所以每一个波的话都是这样一个形式

那么振幅是一样的

因为我是个方波的函数

所以在我dω区间里头

那么我的这个波的形式

我的总的这个场的形式

可以写成什么呢

可以写成这样子一个东西

ρ×A这实际上来讲的话

因为像我这样方波函数

我的概率密度乘上A的话是一个常数

所以这个东西的话我可以称之为A0

就是一个常数

那么作为每一个波来讲的话

它是eik0x-ω0t

这一部分是一个常数

但另一个部分的话还会有δkδω的部分

还会乘上一个Eδkx-δωt

当然可以把δk写成k'

δω写成ω'

这样子的话也许清楚

但我现在就用δkδω来表示

当然还要乘上一个dω

这是代表我在这一个区间里头

在我红的画的这个区间里头

总共的场有多少

那么现在我们要问的话

在整个的这个频率范围里头

场的大小那当然是对ω要做一个积分

当然这一部分是公有的可以提出来

唯一变化的话你可以发现在这个积分的过程中

实际上是相对于中心的这段距离是在改变

δkδω都是变量

而我们知道的话这部分的变化和dω的变化实际上一样的

因为δω就是ω-ω0

所以dδω就等于dω

所以因此我们在积分的时候

我们这样子来求积分

我们求总的这个场

自然应该是等于对这个E求积分

那么这个积分中我们会发现

有一部分是不随着

不同的ω不同的k而改变的

就是我前面写的这一部分

A0是这样的含义

eik0x-ω0t这是不变的

另外一个部分

是随着ω不同而改变的

其中这里面的部分

这一部分是eiδkx-δωt

这个地方应该是dω就是δω

所以我写dδω

那么δω从哪变化呢

δω的话要从-δω/2变到+δω/2

所以它的上下限是-δω/2

这边是+δω/2

如果频率在这

它相对于这个δω的含义是

相当于中心频率的这个频率差

所以这样子一个形式

好了我们其实要解决的

把这样不同的波叠加在一起

我们就是要把这样子的一个积分

给它积出来

我们就得到了总的波的形式是什么

那么下面我们就来解决

这样一个任务

刚才我讲到是

我们现在把所有的波加在一起

就是要把这个积分的形式给做出来

那么我们再看一下这个积分的形式 首先

这个过程的话

δω或者叫频率这一部分是变量

xt都是些参量

所以我们在这个地方实际上是对ω做这个积分

那么这个过程中的话

当然问题是在这

当ω改变的时候实际上k也在改变

所以δk是随着δω的改变而改变的

那么首先我们就要研究一下的话

是δk和δω的关系

而δk和δω之间的关系

其实我们在刚才已经讨论过了

δω/δk它是什么

是这一段的频率差

除上这一段波矢量的差

它是group velocity这个东西

当然group velocity不一定是个常数

如果频率在这个地方的话

它有可能叠加出来会有一个group velocity

频率在这可能有一个group velocity

当然在我们这个地方的话

我引入一个相对简单的一个近似

我这个Δω

或者我的Δk

我这个频率差的这个范围

远远远远小于我的ω0

Δk的话也就远远小于我的k0

换句话说我叠加不同频率

不同波长的光

但是这个频谱的这个宽度

相对还是比较窄的

因此这样窄的一个频谱的话

一个好处是什么

我这个vg的话我可以给它看成一个constant

看成一个常数

这是因为我们看一下

group velocity的形式

group velocity的话确实

如果波长不一样

那么折射率dndk的数值的话可能会发生变化

但是如果我的Δk变化的幅度不大的时候

我dndk近似是个常值

那么在这种情况下的话

我的group velocity的话近似可以看成一个常值

所以在这种情况下

我们Δω和Δk之间的比值

相当于一个常数

这个常数就是我们前面所讨论过的group velocity

因此这样一个关系的话

我可以把这样一个积分式

下面的话我来做这个积分

我只写出这个积分的形式

-Δω/2 +Δω/2

我把这个Δk和Δω的话可以给它写成

Δk和Δω是有关系的

我可以给它看成Δω除上一个常数

group velocity e

Δω提出来

除上group velocity是x/vg-t

这样子的话dΔω

是这样子一个积分了

Δω的范围的话是从二分之到这正的二分之

那其中的这里面的话

如果group velocity

在我们这种假设下是一个常数

这一部分来讲的话是不随Δω改变而改变的

所以这是一个参量

所以我更好的办法的话

是我把这个东西设置为一个参量

这个参量我叫大的T'

它的定义就是里面的这个x/vg-t

因此我现在这个式子的话

引入这个条件以后

我就会做积分的话写起来比较简单

同时我再用蓝的写这个Δω

我用ω'

就是我前面定的这个Δω

因此我这个式子的话就可以写成eiω'T'dω'

其中ω'的变化范围是这样一个范围

这个积分是很简单的

就相当于一个指数的一个积分

这个积分的式子的话

我不写出来具体推导的过程

我直接把这个形式会给写出来了

这个积分应该是1/iT'eiω'T'

其中ω'的变化的话是从

+Δω/2到-Δω/2

你把这个式子代进去

再用欧拉公式的话

立刻就会得到我们这样子一个形式

这个积分最终会等于T'2sinΔωT'/2

那么把它做一步

完完全全只是做一个cosmetic

做一个美容

把2除下来

把上面同乘一个Δω

同除一个Δω

这样可以给它化简成为标准的函数的形式

所以上面是sinΔωT'/2

2我已经除下来了

所以底下是T'/2

这边还缺了一个Δω

那我底下乘上个Δω

上面我也乘上Δω

这样子的话我就得到了我这个积分的形式

算出来得到的函数形式

是这个样子的

那么总的来讲

下面我就可以讨论

总的这个叠加出来的场

或者波的形式是什么

是A0

我把这个形式写在前头

A0乘上Δω

有一个sinΔωT'/2

除上一个ΔωT'/2

然后还有一部分是eik0-ωt

所以eik0x-ω0t

这就是我们得到了经过这一项计算

得到这样子一个方波式的频谱

不同频率的波叠加在一起

会得到一个什么东西

这就是我得到的具体的总的波的形式

我们会发现这个波的话还是一样

有两个部分

一部分是这一部分

类比于我们前面两个不同频率的波叠加在一起

这一部分是以中心的频率

中心的波长传播的

这是个快变的部分

另外一个部分相当于是对这样子的一个行波

做了一个振幅上的调制

只不过现在来讲振幅上的调制

不是刚才那样简单的cos的一个函数了

而变成了一个sin这个东西除上这个东西

这个A0乘上Δω的话也有一个

很简单的一个物理含义是什么

A0是单位的频率范围里头

跟我的场的振幅或者跟我的场的幅度有关系

A0乘上Δω是我整个的这个频率的范围里头

总的场的强度有关系

所以这一部分的话实际上对振幅的调制

体现在这个函数

所以我们有必要下面的话

稍微讨论一下

这样子的这个函数

到底是什么样子一个形式

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Chapter 1 General Property of Wave(波的一般性质)

-1.0 History of Optics 光学的历史发展

--1.0 History of Optics

-1.1 Why Classical Wave Theory is Correct 经典理论为何正确

--1.1 Why Classical Wave Theory is Correct

-1.2 Wave and Wave Equation 波和波动方程

--1.2 Wave and Wave Equation

-1.3 Harmonic Wave 简谐波

--1.3 Harmonic Wave

-1.4 Phase Velocity and Phase Difference 相速度与相位差

--1.4 Phase Velocity and Phase Difference

-1.5 Superposition Principle 叠加原理

--1.5.1 Superposition Principle Part I

--1.5.2.Superposition Principle Part II

-1.6 Example of Superposition and Reciprocal Relation 叠加例子与反比关系

--1.6 Example of Superposition and Reciprocal Relation

-1.7 Euler Formula and Phasor 波的复数表达和旋转矢量表示

--1.7 Euler Formula and Phasor

-1.8 Doppler Effect 多普勒效应

--1.8.1 Doppler Effect Part I

--1.8.2 Doppler Effect Part II

-1.9 Doppler Broadening 多普勒展宽

--1.9 Doppler Broadening

-1.10 Plane Wave and Spherical Wave 平面波与球面波

--1.10 Plane Wave and Spherical Wave

-第一章习题

--习题

-第一章讲义

Chapter 2 Electro-Magnetic Wave(电磁波)

-2.1 Maxwell Equations(Maxwell 方程组)

--2.1 Maxwell Equations

-2.2 Wave Equation for E-M Field(电磁场的波动方程)

--2.2 Wave Equation for E-M Field

-2.3.1 Index of Refraction(折射率)

--2.3.1 Index of Refraction

-2.3.2 Understanding n from Dipoles(用偶极模型理解折射率)

--2.3.2 Understanding n from Dipoles

-2.4 E-M Wave is Transverse(电磁波是横波)

--2.4 E-M Wave is Transverse

-2.5 Energy Flow of E-M Wave(电磁波的能流)

--2.5 Energy Flow of E-M Wave

-2.6 Momentum and photo-Pressure(动量和光压)

--2.6 Momentum and photo-Pressure

-2.7.1 Dipole Oscillator 1(偶极振子1)

--2.7.1 Dipole Oscillator 1

-2.7.2 Dipole Oscillator 2(偶极振子2)

--2.7.2 Dipole Oscillator 2

-2.8 Radiation by Dipole Oscillator(偶极振子的辐射)

--2.8 Radiation by Dipole Oscillator

-第二章习题

--习题

-第二章讲义

Chapter 3 Light Propagation through Homogeneous and Isotropic Media

-3.1 Reflection and Refraction (反射与折射)

--3.1 Reflection and Refraction

-3.2 Huygens Principle(惠更斯原理)

--3.2 Huygens Principle

-3.3.1 Fermat Principle part1: Optical Path Length (费马原理第一部分:光程)

--3.3.1 Fermat Principle part1: Optical Path Length

-3.3.2 Fermat Principle part2: an Explanation (费马原理第二部分:一种解释)

--3.3.2 Fermat Principle part2: an Explanation

-3.4.1 Scattering Point of View 1 (散射图像1)

--3.4.1 Scattering Point of View 1

-3.4.2 Scattering Point of View 2 (散射图像2)

--3.4.2 Scattering Point of View 2

-3.5 Reflection and Refraction Rules Derived from Boundary Conditions of Maxwell Equations(利用Maxwell方

--3.5 Reflection and Refraction Rules Derived from Boundary Conditions of Maxwell Equations

-3.6.1 The Basic problem and Setup of Coordinates (基本问题和坐标系的建立)

--3.6.1 The Basic problem and Setup of Coordinates

-3.6.2 The Reflection and Transmission Coefficients (发射与透射系数)

--3.6.2 The Reflection and Transmission Coefficients

-3.6.3 Discussion on Amplitude of the Coefficients (对系数大小的讨论)

--3.6.3 Discussion on Amplitude of the Coefficients

-3.6.4 Discussion on Phase of the Coefficients (对系数位相的讨论)

--3.6.4 Discussion on Phase of the Coefficients

-3.7 Stokes Relation and Half Wavelength Difference (Stokes关系式和半波损)

--3.7 Stokes Relation and Half Wavelength Difference

-第三章习题

--习题

-第三章讲义

Chapter 4 Geometric optics(几何光学)

-4.1 Introduction(几何光学介绍)

--4.1 Introduction

-4.2 Important Jargons(重要的术语)

--4.2 Important Jargons

-4.3.1 Image formation by Spherical Surface and Paraxial Approxiamation(球面成像和傍轴近似)

--4.3.1 Image formation by Spherical Surface and Paraxial Approxiamation

-4.3.2 Image Formation Formula(成像公式)

--4.3.2 Image Formation Formula

-4.3.3 Example and Transverse Magnification(例题和横向放大率)

--4.3.3 Example and Transverse Magnification

-4.4 Thin Lens(薄透镜)

--4.4 Thin Lens

-4.5 Thick Lens(厚透镜)

--4.5 Thick Lens

-4.6.1 Matrix Treatment 1: Matrix for Propagation and Refraction(矩阵处理1:表示传播与折射的矩阵)

--4.6.1 Matrix Treatment 1: Matrix for Propagation and Refraction

-4.6.2 Matrix Treatment 2: Lens Matrix(矩阵处理2:透镜矩阵)

--4.6.2 Matrix Treatment 2: Lens Matrix

-4.6.3 Matrix Treatment 3: Relations between Matrix Elements and Cardinal Points(矩阵处理3:矩阵元与主点的联系)

--4.6.3 Matrix Treatment 3: Relations between Matrix Elements and Cardinal Points

-第四章习题

--习题

-第四章讲义

Chapter 5 Interference and Coherence(Part 1)

-5.0 What is Interference(什么是干涉)

--5.0 What is Interference

-5.1.1 Superposition of Waves: General Case(波叠加的通式)

--5.1.1 Superposition of Waves: General Case

-5.1.2 Adding Wave with Same Frequency and Direction(同频同向波的叠加)

--5.1.2 Adding Wave with Same Frequency and Direction

-5.1.3.1 Standing Wave 1 (驻波(上))

--5.1.3.1 Standing Wave 1

-5.1.3.2 Standing Wave 2 (驻波(下))

--5.1.3.2 Standing Wave 2

-5.1.4.1 Adding Waves with Different Frequencies 1: Beat and Group Velocity(不同频率波的叠加(上):拍和群速度)

--5.1.4.1 Adding Waves with Different Frequencies 1: Beat and Group Velocity

-5.1.4.2 Adding Waves with Different Frequencies 2: Continuous Frequency Spectrum(不同频率波的叠加(中):连续的频谱)

--5.1.4.2 Adding Waves with Different Frequencies 2: Continuous Frequency Spectrum

-5.1.4.3 Adding Waves with Different Frequencies 3: property of Wave Packet and Reciprocal Relation(不

--5.1.4.3 Adding Waves with Different Frequencies 3: property of Wave Packet and Reciprocal Relation

-5.2.1 Interference of Two Point Sources and Coherent Condition(两个点源的干涉和相干条件)

--5.2.1 Interference of Two Point Sources and Coherent Condition

-5.2.2 Young's Double-Slits Experiment(杨氏双缝干涉实验)

--5.2.2 Young's Double-Slits Experiment

-5.2.3 Another Treatment of Young's Interference, Paraxial and Far-field Condition(杨氏干涉的另一种处理,傍轴和远场条

--5.2.3 Another Treatment of Young's Interference, Paraxial and Far-field Condition

-Chapter 5 Interference and Coherence(Part 1)--第五章习

-5.3.0 Interference by Thin Film(薄膜干涉)

--5.3.0 Interference by Thin Film

-5.3.1 Equal Thickness Fringe(等厚干涉条纹)

--5.3.1 Equal Thickness Fringe

-5.3.2 Equal Inclination Fringe(等倾干涉条纹)

--5.3.2 Equal inclination Fringe

-5.3.3 Michelson Interferometer(Michelson干涉仪)

--5.3.3 Michelson Interferometer

-5.4.0 Multibeam Interference(多光束干涉)

--5.4.0 Multibeam Interference

-5.4.1.1 Derivation 1(理论推导(上))

--5.4.1.1 Derivation 1

-5.4.1.2 Derivation 2(理论推导(下))

--5.4.1.2 Derivation 2

-5.4.2.1 Discussion(结论与讨论)

--5.4.2.1 Discussion

-5.4.2.2 Application: F-P Interferometer(应用:F-P 干涉仪)

--5.4.2.2 Application: F-P Interferometer

-5.5.0 Coherence Theory(相干理论)

--5.5.0 Coherence Theory

-5.5.1 Spatial Coherence(空间相干性)

--5.5.1 Spatial Coherence

-5.5.2.1 Temporal Coherence(时间相干性)

--5.5.2.1 Temporal Coherence

-5.5.2.2 Coherent Time and Length(相干时间和相干长度)

--5.5.2.2 Coherent Time and Length

-5.5.3.1 Definition of Correlation Function(关联函数定义)

--5.5.3.1 Definition of Correlation Function

-5.5.3.2 Correlation Function and Coherence(关联函数与相干)

--5.5.3.2 Correlation Function and Coherence

-第五章习题(下)

--习题

-第五章讲义

Chapter 6(1)

-6.1 basic problem in diffraction(衍射的基本问题)

--6.1 basic problem in diffraction

-6.2.1 Huygens-Fresnel Principle and Kirchhoff Euation(惠更斯-菲涅耳原理和基尔霍夫方程)

--6.2.1 Huygens-Fresnel Principle and Kirchhoff Euation

-6.2.2 Fresnel and Fraunhoffer Diffraction(菲涅耳与夫琅和费衍射)

--6.2.2 Fresnel and Fraunhoffer Diffraction

-6.3.1 Fresnel Diffraction 1: Half Wavelength Plate(菲涅耳衍射1:半波带法)

--6.3.1 Fresnel Diffraction 1: Half Wavelength Plate

-6.3.2 Fresnel Diffraction 2: Phasor Method(菲涅耳衍射2:旋转矢量法)

--6.3.2 Fresnel Diffraction 2: Phasor Method

-6.3.3 Fresnel Diffraction 3: Opaque Disk and Babinet Principle(菲涅耳衍射3:圆屏衍射和Babinet原理)

--6.3.3 Fresnel Diffraction 3: Opaque Disk and Babinet Principle

-6.3.4 Fresnel Diffraction 4: Fresnel Zone Plate(an application)(菲涅耳衍射4:菲涅耳波带片(一个应用))

--6.3.4 Fresnel Diffraction 4: Fresnel Zone Plate(an application)

-6.4.0 Fraunhoffer Diffraction: General Expression(夫琅和费衍射1:普遍表达形式)

--6.4.0 6.4.0 Fraunhoffer Diffraction: General Expression

-6.4.1.1 Single Slit Fraunhoffer Diffraction(单缝夫琅和费衍射)

--6.4.1.1 Single Slit Fraunhoffer Diffraction

-6.4.1.2 Characteristic of Single Slit Case(单缝衍射的特点)

--6.4.1.2 Characteristic of Single Slit Case

-6.4.2 Fraunhoffer Diffraction for Rectangular Window(矩形窗口的夫琅和费衍射)

--6.4.2 Fraunhoffer Diffraction for Rectangular Window

-6.4.3.1 Fraunhoffer Diffraction for Circular Aperture(圆孔的夫琅和费衍射)

--6.4.3.1 Fraunhoffer Diffraction for Circular Aperture

-6.4.3.2 Diffraction Limit on Resolution(分辨率的衍射极限)

--6.4.3.2 Diffraction Limit on Resolution

-第六章习题(上)

--习题

Chapter 6(2)

-6.5.1 Fraunhoffer Diffraction for 2-slits Case(双缝夫琅和费衍射)

--6.5.1 Fraunhoffer Diffraction for 2-slits Case

-6.5.2.1 Multi-slits Dffraction 1: Intensity distribution(多缝衍射1:光强分布)

--6.5.2.1 Multi-slits Dffraction 1: Intensity distribution

-6.5.2.2 Multi-slits Diffraction 2: Interference between Slits and Principal maxima(多缝衍射2:缝间干涉和主极大)

--6.5.2.2 Multi-slits Diffraction 2: Interference between Slits and Principal maxima

-6.5.2.3 Multi-slits Diffraction 3: Missing Order and Examples(多缝衍射3:缺级与例题)

--6.5.2.3 Multi-slits Diffraction 3: Missing Order and Examples

-6.5.3.1 Grating Spectrometer(光栅光谱仪)

--6.5.3.1 Grating Spectrometer

-6.5.3.2 Dispersion Relation of Grating Spectrometer(光栅光谱仪的色散关系)

--6.5.3.2 Dispersion Relation of Grating Spectrometer

-6.5.3.3 Dispersion Power and Resolution(色散能力和分辨率)

--6.5.3.3 Dispersion Power and Resolution

-6.5.3.4 Free Spectral Range(自由光谱程)

--6.5.3.4 Free Spectral Range

-第六章习题(下)

--习题

-第六章讲义

Chapter 7

-7.0 introducing Fourier expansion and transform(介绍傅里叶展开与变换)

--7.0

-7.1.1 Fourier transform for periodic functions(周期函数的傅里叶展开)

--7.1.1

-7.1.2 examples on Fourier expansion(傅里叶展开的例子)

--7.1.2

-7.2.1 Fourier transform for general functions(一般函数的傅里叶变换)

--7.2.1

-7.2.2 Fourier transforms of some typical functions and relation on width distribution(一些典型函数的傅里叶变换和分

--7.2.2

-7.3.1 Dirac delta function(狄拉克delta函数)

--Video7.3.1

-7.3.2 Fourier transform of the delta function(delta函数的傅里叶变换)

--7.3.2

-7.4.1 properties of Fourier transform(傅里叶变换的性质)

--7.4.1

-7.4.2 Fourier transform of derivatives(函数导数的傅里叶变换)

--7.4.2

-7.4.3 what is convolution between functions(函数的卷积是什么)

--7.4.3

-7.4.4 Fourier transform of convolution(卷积的傅里叶变换)

--7.4.4

-7.5 relation between fourier transform and Fraunhoffer equation(傅里叶变换与夫琅禾费衍射之间的关系)

--7.5

-7.6 Abbe image formation(阿贝成像原理)

--7.6

-Chapter 7--第七章习题

-第七章讲义

Chapter 8(上)

-8.1 what is polarization(什么是偏振)

--8.1

-8.2.1 how to express polarization state(如何表达偏振态)

--8.2.1

-8.2.2 unpolarized and partial polarized light(非偏振态和部分偏振态)

--8.2.2

-8.3 linear polarizer(线偏振片)

--8.3

-8.4.1.1 Jones vector(Jones 矢量)

--8.4.1.1

-8.4.1.2 Transformation of Jones Vector(Jones 矢量的变换)

--8.4.1.2

-8.4.2 Jones matrix(Jones 矩阵)

--8.4.2

-第八章(上)习题

--习题

Chapter 8(下)

-8.5.1 Birefringence and a simple illustration

--8.5.1 Birefringence and a simple illustration

-8.5.2 Ordinary and Extraordinary light

--8.5.2

-8.5.3 Typical Examples

--8.5.3

-8.6.1 application 1-linear polarizer

--8.6.1

-8.6.2.1 application 2-quarter wave plate

--8.6.2.1

-8.6.2.2 application 2-change polarization state by quarter wave-plate

--8.6.2.2

-8.6.2.3 application2-change direction of polarization by half-plate

--8.6.2.3

-8.7.1

--8.7.1

-8.7.2

--8.7.2

-8.7.3

--8.7.3

-8.7.4

--8.7.4

-8.8.1

--8.8.1

-8.8.2

--8.8.2

-8.8.3

--8.8.3

-第八章(下)习题

--习题

-第八章讲义

期末测试

-期末测试

--期末测试

5.1.4.2 Adding Waves with Different Frequencies 2: Continuous Frequency Spectrum笔记与讨论

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