当前课程知识点:光学 > Chapter 6(1) > 6.4.3.1 Fraunhoffer Diffraction for Circular Aperture(圆孔的夫琅和费衍射) > 6.4.3.1 Fraunhoffer Diffraction for Circular Aperture
大家好
前面的话我们讲了的话
一个很简单的一个二维的一个情况
是一个矩形的一个窗孔
现在我们接着来讨论
也是一类非常重要的一个问题
就是如果是个圆心的开孔
因为这一类的问题是这样在我们实际运用中
用的最多的
我的瞳孔是一个圆形的
就是人眼的瞳孔是一个圆形的
透镜是个圆形的
很多的成像器材的孔径都是一个圆形的
所以我们来考虑
如果有一个圆形的孔径circular aperture
那么经过它以后形成的Fraunhoffer diffraction
会是一个什么样子的
因此在这个问题的话
我画的示意图是这样子的
我的现在的衍射屏
我的远场
我想让平行光入射
照在衍射屏上
在我很远的一个地方
我放置这个干涉屏
当然我也可以不把这个屏放的很远
比如说我放一个透镜
把透镜放在后焦面上
这当然也可以做到
只不过我画的时候
我现在示意图上
把这个屏放的比较远
这是我屏的这个中心
这是x`
y`这个中心
这我称之为我的衍射屏
都是叫xy平面
这是我xy平面的中心
这是我观测屏x`y`的平面的中心
那么我们第一个可以猜到的话
是什么
是我的这个衍射的图案的话
还是一样
几何光学的方向
也就是Θ等于零的方向
这一点的话
当是我一个最大点
我画的这一点的话
将是我最大点
因为这是几何光学最大的
另外一个我知道我这个光强分布应该是怎么样啊
应该是沿着这个镜像是对称的
换句话说我的光斑的分布来讲的话
如果我画的话 这是
如果我来画
用这个东西
高低来代表这个光强
这一点如果是代表高的
那么我这个东西的话相当于
类似于我们讲的sinc函数的这个分布
应该是这样子的一个光强
这地方光强最强
其他地方因为有衍射的话
除了这个方向上有最大值以外
其他方向也会有一定的分布
所以整个来讲的话我应该转一圈
这样子一个圆形的
这样的一个圆
峰式的这样一个分布
这是我们猜的
那么实际的计算是怎么样的
当然你要做一个
叫做Kirchhoff equation的那个积分
只不过那个积分的话
我这是写一下
Up在这个里面的话
前面最主要的话是eikr等等
它应该等于前面一个常数
在我积分了的时候
我现在是一个二维的积分
我来做这个eikr ds
但是r的话
也可以给它写成
r的话可以给它写成kr0
这是我们以前讨论过的
完完全全一样的
只不过这里面的话有
kxx`
除上z
还有yy`
除上z
xy的分量
只是的在现在这个
一个圆形的开孔
我们以前的话叫方形的话
这个积分非常容易
边界条件很简单
现在圆来讲的话
用xy来进行积分就稍微讨厌点了
所以在这个过程中
细节的话
我不在这个里面赘诉了
这个地方的话我们要换成
所谓的叫polar coordinate
来进行这个积分
而且这个积分来讲的话
所给出来的话
也是一类特殊的函数
也不是给出我们一个简单的一个函数
所以我们用polar coordinate (ρ Φ)来表示
这代表ρ
我屏上的点到中心的距离
Φ的话代表一个
夹角
所以我Φ ρ取零到a
Φ我取2π
整个这个孔径的话
我们来说这个孔径的话
半径是A
直径是为D
所以我们说这个孔径的话
在这个地方写下来
2a这样一个东西
由此的话我这个整个积分的话
我才可以进行
dS是ρ
dρ dΦ
其中ρ的话取值范围是零到a
那Φ的取值范围的话是
在我积分的时候是零到2π
但这里面的话还是
我要把x y
也要给它化成ρ和Φ的形式
当然积分的过程中
代进去
做这个积分
实际上这个积分给出来
不了我们一般的简单的函数形式
这个积分将定义出
一类特殊的函数
这类特殊的函数就叫做Bessel函数
所以我们将用Bessel函数来
表达我的场强的分布
所以如果我用Bessel函数来表达的话
我这个Up比实际上Bessel函数
把这个积分的一个简单的形式
那么我就可以给它写成一个
U0最大值
代表着我衍射的最大值
那么它在其他方向上
在我其他的x`y`
比如说任意的一个点
x` y`上
它的分布的话遵从这样的一个关系式
这里面我再说一下
J1的含义是什么
J1是一个Bessel函数
它就是由这样的积分来定义的
或者说这样的积分给出来的Bessel函数
只不过这样的积分给出来的我们叫做
为什么加个一的话
它叫一阶Bessel函数
也叫first order
所以叫first order Bessel方程
这是J1的含义
x类似与我们以前讲的那个α的因子
在这个里面的话
x的话
x等于πDsinΘ除上λ
其中这个Θ取决于我的x`y`
Θ实际上是我的这个衍射角
那么我的sinΘ就相当于我这一段的距离
我叫ρ`
我的sinΘ应该等于ρ`除上z
从这也可以看出来
我整个的这个场强的分布
只关于ρ`有关系
换句话说关于有一个镜像的对称的
所以这是ρ`除上z
当然ρ`的话
ρ`等于的话
知道了我衍射屏上的位置
ρ`也就知道了
因此给了我
也是平常任意的位置
x`y`
我就可以知道这一点的场强
跟我最大值之间的关系
U0是它的最大值
这是因为作为Bessel函数来讲一样
Bessel函数除上x
实际上类似于我们的sinc函数
它的最大值也一样出现在x等于零的地方
x等于零的时候
这个时候的最大值
它等于二分之一
跟sinc函数略有不同
所以我这边乘上二以后
最大值就是这个U0
而Bessel函数我们再给它化出来
当然Bessel函数的详细
这一部分的话不是我们这一个课程所能覆盖住的
所以大家可以参照相应的数学书籍
如果对Bessel函数感兴趣的话
因为Bessel函数在物理中还是会不断的出现的
只要你碰到所谓的这样子的圆形的
或者类似于球形的
这样子的边界条件
就一定会出现Bessel函数
在物理上经常会出现
所以多了解它一点的话也是有好处的
因为球形的或者圆形的边界条件在物理上
还是经常会用到的
好了
Bessel函数
一阶的Bessel函数的话
实际上很像sinx
只不过它的振幅不是一个常值
随着x的增加
这个震荡的话
是在减小的
另外一个
它的周期的话
或者它的零点之间的距离的话也不是π
它的零点之间的距离的话
这是1.22个π
因此的话
我们来看整个的这个分布的话
类似于一个sinα/α
这个地方相当于一个sin
这个东西的话相当于一个
相当于一个就类似于一个sinc函数
但是的话它的分布来讲的话
略有不同而已
所以我们把这个2倍的这个和x写出来
Up我把Up给写出来
它相对于x的关系式
也就是相对于ρ`的关系式
x的关系式
是跟我衍射的方向是有关系的
所以这是x的关系式
最大值还是一样
出现在x等于零的地方
当x等于1.22π的时候
它掉到零了
所以它的分布的话是这样子的
这是1.22π
因此我们来看的话
整个的这个衍射光斑的话
呈一个圆形的分布
如果我们看这个衍射屏上的话
我现在把我们这个整个的图案再给它化成我的
这半边的话我给它化成我的
这样子的我的叫观测屏
x`y`上
我们来看的话
它的这个图案的话是什么
这个地方高
这个地方开始变
所以我的光斑的话
可以认为主要集中在
这样的一个区域里头
我们来画
这叫
其他地方的话
确实还有一些
其他的稍微亮一点的
我们叫次级的极大
但这一部分的话
因为强度比较小
忽略不计
所以我们可以看到的话
衍射的光斑
一个平行的一个光照在一个圆孔上
它也会发生衍射
衍射的话
这个宽度的话
主要还是跟我们以前定义的一维的情况下一样
利用最大值和第一个零点的位置
来定义这个宽度
那么好
这个宽度的话
我可以发现
这个宽度是什么
这个宽度叫△x
等于
只不过这个地方不是π了
这是1.22π
这是我们的宽度
也就是我定义的这个衍射斑的所谓的角宽度
这是1.22π
那么由这个式子上我们来看到的话
我们会得到一个什么东西
πDsin x是这样的一个关系
因此我立刻的话就会从这个地方
推出来
下面的这一个关系式
也就是我的△Θ这个角宽度
πD△Θ除上λ等于1.22π
我得到一个△Θ等于1.22λ除上d
以前的话
一维的方孔的话
我们得到的是λ除上d
或者λ除上a
这里面的话只不过做了一点点的修正
多了一个1.22
这个1.22从哪里出来的
就是因为Bessel函数它从零的地方的话
1.22π我们来定义这个宽度来讲的话
是由这样子的方式
最大点和第一个零点所定义的宽度
因此我就知道了
我的出现的这个衍射斑
它的这个角宽度应该严格讲叫做所谓的半角宽度
所谓的这个△Θ的含义是什么
这个△Θ的含义最大点和第一个零点
之间所张的角
这就是
画的不太好啊
这是第一个零点吧
这个就是我们的△Θ
这就是我的衍射光斑
它的角宽度
画出来
直接画出来的
因为衍射有一个角宽度
这样子的话会影响我们所谓的分辨率
所以下面的话我们就结合衍射光斑的宽度
来讨论一下衍射所带来的分辨率极限的问题
-1.0 History of Optics 光学的历史发展
-1.1 Why Classical Wave Theory is Correct 经典理论为何正确
--1.1 Why Classical Wave Theory is Correct
-1.2 Wave and Wave Equation 波和波动方程
-1.3 Harmonic Wave 简谐波
-1.4 Phase Velocity and Phase Difference 相速度与相位差
--1.4 Phase Velocity and Phase Difference
-1.5 Superposition Principle 叠加原理
--1.5.1 Superposition Principle Part I
--1.5.2.Superposition Principle Part II
-1.6 Example of Superposition and Reciprocal Relation 叠加例子与反比关系
--1.6 Example of Superposition and Reciprocal Relation
-1.7 Euler Formula and Phasor 波的复数表达和旋转矢量表示
--1.7 Euler Formula and Phasor
-1.8 Doppler Effect 多普勒效应
--1.8.2 Doppler Effect Part II
-1.9 Doppler Broadening 多普勒展宽
-1.10 Plane Wave and Spherical Wave 平面波与球面波
--1.10 Plane Wave and Spherical Wave
-第一章习题
--习题
-2.1 Maxwell Equations(Maxwell 方程组)
-2.2 Wave Equation for E-M Field(电磁场的波动方程)
--2.2 Wave Equation for E-M Field
-2.3.1 Index of Refraction(折射率)
-2.3.2 Understanding n from Dipoles(用偶极模型理解折射率)
--2.3.2 Understanding n from Dipoles
-2.4 E-M Wave is Transverse(电磁波是横波)
-2.5 Energy Flow of E-M Wave(电磁波的能流)
-2.6 Momentum and photo-Pressure(动量和光压)
--2.6 Momentum and photo-Pressure
-2.7.1 Dipole Oscillator 1(偶极振子1)
-2.7.2 Dipole Oscillator 2(偶极振子2)
-2.8 Radiation by Dipole Oscillator(偶极振子的辐射)
--2.8 Radiation by Dipole Oscillator
-第二章习题
--习题
-3.1 Reflection and Refraction (反射与折射)
--3.1 Reflection and Refraction
-3.2 Huygens Principle(惠更斯原理)
-3.3.1 Fermat Principle part1: Optical Path Length (费马原理第一部分:光程)
--3.3.1 Fermat Principle part1: Optical Path Length
-3.3.2 Fermat Principle part2: an Explanation (费马原理第二部分:一种解释)
--3.3.2 Fermat Principle part2: an Explanation
-3.4.1 Scattering Point of View 1 (散射图像1)
--3.4.1 Scattering Point of View 1
-3.4.2 Scattering Point of View 2 (散射图像2)
--3.4.2 Scattering Point of View 2
-3.5 Reflection and Refraction Rules Derived from Boundary Conditions of Maxwell Equations(利用Maxwell方
--3.5 Reflection and Refraction Rules Derived from Boundary Conditions of Maxwell Equations
-3.6.1 The Basic problem and Setup of Coordinates (基本问题和坐标系的建立)
--3.6.1 The Basic problem and Setup of Coordinates
-3.6.2 The Reflection and Transmission Coefficients (发射与透射系数)
--3.6.2 The Reflection and Transmission Coefficients
-3.6.3 Discussion on Amplitude of the Coefficients (对系数大小的讨论)
--3.6.3 Discussion on Amplitude of the Coefficients
-3.6.4 Discussion on Phase of the Coefficients (对系数位相的讨论)
--3.6.4 Discussion on Phase of the Coefficients
-3.7 Stokes Relation and Half Wavelength Difference (Stokes关系式和半波损)
--3.7 Stokes Relation and Half Wavelength Difference
-第三章习题
--习题
-4.1 Introduction(几何光学介绍)
-4.2 Important Jargons(重要的术语)
-4.3.1 Image formation by Spherical Surface and Paraxial Approxiamation(球面成像和傍轴近似)
--4.3.1 Image formation by Spherical Surface and Paraxial Approxiamation
-4.3.2 Image Formation Formula(成像公式)
--4.3.2 Image Formation Formula
-4.3.3 Example and Transverse Magnification(例题和横向放大率)
--4.3.3 Example and Transverse Magnification
-4.4 Thin Lens(薄透镜)
-4.5 Thick Lens(厚透镜)
-4.6.1 Matrix Treatment 1: Matrix for Propagation and Refraction(矩阵处理1:表示传播与折射的矩阵)
--4.6.1 Matrix Treatment 1: Matrix for Propagation and Refraction
-4.6.2 Matrix Treatment 2: Lens Matrix(矩阵处理2:透镜矩阵)
--4.6.2 Matrix Treatment 2: Lens Matrix
-4.6.3 Matrix Treatment 3: Relations between Matrix Elements and Cardinal Points(矩阵处理3:矩阵元与主点的联系)
--4.6.3 Matrix Treatment 3: Relations between Matrix Elements and Cardinal Points
-第四章习题
--习题
-5.0 What is Interference(什么是干涉)
-5.1.1 Superposition of Waves: General Case(波叠加的通式)
--5.1.1 Superposition of Waves: General Case
-5.1.2 Adding Wave with Same Frequency and Direction(同频同向波的叠加)
--5.1.2 Adding Wave with Same Frequency and Direction
-5.1.3.1 Standing Wave 1 (驻波(上))
-5.1.3.2 Standing Wave 2 (驻波(下))
-5.1.4.1 Adding Waves with Different Frequencies 1: Beat and Group Velocity(不同频率波的叠加(上):拍和群速度)
--5.1.4.1 Adding Waves with Different Frequencies 1: Beat and Group Velocity
-5.1.4.2 Adding Waves with Different Frequencies 2: Continuous Frequency Spectrum(不同频率波的叠加(中):连续的频谱)
--5.1.4.2 Adding Waves with Different Frequencies 2: Continuous Frequency Spectrum
-5.1.4.3 Adding Waves with Different Frequencies 3: property of Wave Packet and Reciprocal Relation(不
--5.1.4.3 Adding Waves with Different Frequencies 3: property of Wave Packet and Reciprocal Relation
-5.2.1 Interference of Two Point Sources and Coherent Condition(两个点源的干涉和相干条件)
--5.2.1 Interference of Two Point Sources and Coherent Condition
-5.2.2 Young's Double-Slits Experiment(杨氏双缝干涉实验)
--5.2.2 Young's Double-Slits Experiment
-5.2.3 Another Treatment of Young's Interference, Paraxial and Far-field Condition(杨氏干涉的另一种处理,傍轴和远场条
--5.2.3 Another Treatment of Young's Interference, Paraxial and Far-field Condition
-Chapter 5 Interference and Coherence(Part 1)--第五章习
-5.3.0 Interference by Thin Film(薄膜干涉)
--5.3.0 Interference by Thin Film
-5.3.1 Equal Thickness Fringe(等厚干涉条纹)
--5.3.1 Equal Thickness Fringe
-5.3.2 Equal Inclination Fringe(等倾干涉条纹)
--5.3.2 Equal inclination Fringe
-5.3.3 Michelson Interferometer(Michelson干涉仪)
--5.3.3 Michelson Interferometer
-5.4.0 Multibeam Interference(多光束干涉)
--5.4.0 Multibeam Interference
-5.4.1.1 Derivation 1(理论推导(上))
-5.4.1.2 Derivation 2(理论推导(下))
-5.4.2.1 Discussion(结论与讨论)
-5.4.2.2 Application: F-P Interferometer(应用:F-P 干涉仪)
--5.4.2.2 Application: F-P Interferometer
-5.5.0 Coherence Theory(相干理论)
-5.5.1 Spatial Coherence(空间相干性)
-5.5.2.1 Temporal Coherence(时间相干性)
-5.5.2.2 Coherent Time and Length(相干时间和相干长度)
--5.5.2.2 Coherent Time and Length
-5.5.3.1 Definition of Correlation Function(关联函数定义)
--5.5.3.1 Definition of Correlation Function
-5.5.3.2 Correlation Function and Coherence(关联函数与相干)
--5.5.3.2 Correlation Function and Coherence
-第五章习题(下)
--习题
-6.1 basic problem in diffraction(衍射的基本问题)
--6.1 basic problem in diffraction
-6.2.1 Huygens-Fresnel Principle and Kirchhoff Euation(惠更斯-菲涅耳原理和基尔霍夫方程)
--6.2.1 Huygens-Fresnel Principle and Kirchhoff Euation
-6.2.2 Fresnel and Fraunhoffer Diffraction(菲涅耳与夫琅和费衍射)
--6.2.2 Fresnel and Fraunhoffer Diffraction
-6.3.1 Fresnel Diffraction 1: Half Wavelength Plate(菲涅耳衍射1:半波带法)
--6.3.1 Fresnel Diffraction 1: Half Wavelength Plate
-6.3.2 Fresnel Diffraction 2: Phasor Method(菲涅耳衍射2:旋转矢量法)
--6.3.2 Fresnel Diffraction 2: Phasor Method
-6.3.3 Fresnel Diffraction 3: Opaque Disk and Babinet Principle(菲涅耳衍射3:圆屏衍射和Babinet原理)
--6.3.3 Fresnel Diffraction 3: Opaque Disk and Babinet Principle
-6.3.4 Fresnel Diffraction 4: Fresnel Zone Plate(an application)(菲涅耳衍射4:菲涅耳波带片(一个应用))
--6.3.4 Fresnel Diffraction 4: Fresnel Zone Plate(an application)
-6.4.0 Fraunhoffer Diffraction: General Expression(夫琅和费衍射1:普遍表达形式)
--6.4.0 6.4.0 Fraunhoffer Diffraction: General Expression
-6.4.1.1 Single Slit Fraunhoffer Diffraction(单缝夫琅和费衍射)
--6.4.1.1 Single Slit Fraunhoffer Diffraction
-6.4.1.2 Characteristic of Single Slit Case(单缝衍射的特点)
--6.4.1.2 Characteristic of Single Slit Case
-6.4.2 Fraunhoffer Diffraction for Rectangular Window(矩形窗口的夫琅和费衍射)
--6.4.2 Fraunhoffer Diffraction for Rectangular Window
-6.4.3.1 Fraunhoffer Diffraction for Circular Aperture(圆孔的夫琅和费衍射)
--6.4.3.1 Fraunhoffer Diffraction for Circular Aperture
-6.4.3.2 Diffraction Limit on Resolution(分辨率的衍射极限)
--6.4.3.2 Diffraction Limit on Resolution
-第六章习题(上)
--习题
-6.5.1 Fraunhoffer Diffraction for 2-slits Case(双缝夫琅和费衍射)
--6.5.1 Fraunhoffer Diffraction for 2-slits Case
-6.5.2.1 Multi-slits Dffraction 1: Intensity distribution(多缝衍射1:光强分布)
--6.5.2.1 Multi-slits Dffraction 1: Intensity distribution
-6.5.2.2 Multi-slits Diffraction 2: Interference between Slits and Principal maxima(多缝衍射2:缝间干涉和主极大)
--6.5.2.2 Multi-slits Diffraction 2: Interference between Slits and Principal maxima
-6.5.2.3 Multi-slits Diffraction 3: Missing Order and Examples(多缝衍射3:缺级与例题)
--6.5.2.3 Multi-slits Diffraction 3: Missing Order and Examples
-6.5.3.1 Grating Spectrometer(光栅光谱仪)
--6.5.3.1 Grating Spectrometer
-6.5.3.2 Dispersion Relation of Grating Spectrometer(光栅光谱仪的色散关系)
--6.5.3.2 Dispersion Relation of Grating Spectrometer
-6.5.3.3 Dispersion Power and Resolution(色散能力和分辨率)
--6.5.3.3 Dispersion Power and Resolution
-6.5.3.4 Free Spectral Range(自由光谱程)
-第六章习题(下)
--习题
-7.0 introducing Fourier expansion and transform(介绍傅里叶展开与变换)
--7.0
-7.1.1 Fourier transform for periodic functions(周期函数的傅里叶展开)
--7.1.1
-7.1.2 examples on Fourier expansion(傅里叶展开的例子)
--7.1.2
-7.2.1 Fourier transform for general functions(一般函数的傅里叶变换)
--7.2.1
-7.2.2 Fourier transforms of some typical functions and relation on width distribution(一些典型函数的傅里叶变换和分
--7.2.2
-7.3.1 Dirac delta function(狄拉克delta函数)
-7.3.2 Fourier transform of the delta function(delta函数的傅里叶变换)
--7.3.2
-7.4.1 properties of Fourier transform(傅里叶变换的性质)
--7.4.1
-7.4.2 Fourier transform of derivatives(函数导数的傅里叶变换)
--7.4.2
-7.4.3 what is convolution between functions(函数的卷积是什么)
--7.4.3
-7.4.4 Fourier transform of convolution(卷积的傅里叶变换)
--7.4.4
-7.5 relation between fourier transform and Fraunhoffer equation(傅里叶变换与夫琅禾费衍射之间的关系)
--7.5
-7.6 Abbe image formation(阿贝成像原理)
--7.6
-Chapter 7--第七章习题
-8.1 what is polarization(什么是偏振)
--8.1
-8.2.1 how to express polarization state(如何表达偏振态)
--8.2.1
-8.2.2 unpolarized and partial polarized light(非偏振态和部分偏振态)
--8.2.2
-8.3 linear polarizer(线偏振片)
--8.3
-8.4.1.1 Jones vector(Jones 矢量)
--8.4.1.1
-8.4.1.2 Transformation of Jones Vector(Jones 矢量的变换)
--8.4.1.2
-8.4.2 Jones matrix(Jones 矩阵)
--8.4.2
-第八章(上)习题
--习题
-8.5.1 Birefringence and a simple illustration
--8.5.1 Birefringence and a simple illustration
-8.5.2 Ordinary and Extraordinary light
--8.5.2
-8.5.3 Typical Examples
--8.5.3
-8.6.1 application 1-linear polarizer
--8.6.1
-8.6.2.1 application 2-quarter wave plate
--8.6.2.1
-8.6.2.2 application 2-change polarization state by quarter wave-plate
--8.6.2.2
-8.6.2.3 application2-change direction of polarization by half-plate
--8.6.2.3
-8.7.1
--8.7.1
-8.7.2
--8.7.2
-8.7.3
--8.7.3
-8.7.4
--8.7.4
-8.8.1
--8.8.1
-8.8.2
--8.8.2
-8.8.3
--8.8.3
-第八章(下)习题
--习题
-期末测试
--期末测试