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1.1.4 周期信号与非周期信号——周期叠加定理在线视频

1.1.4 周期信号与非周期信号——周期叠加定理

下一节:1.1.5 余弦型信号——余弦型信号

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1.1.4 周期信号与非周期信号——周期叠加定理课程教案、知识点、字幕

上一节我们介绍了

周期信号和非周期信号

它们的相互之间的关系和离散化的准则

那么这一节我们再继续地看

周期信号一些特征

首先我们介绍周期叠加定理

它说什么意思呢

就是周期信号叠加是周期为

各周期信号周期的

最小公倍数的周期信号

它这话是这么说的

那我们把它写下来就是

周期信号叠加是周期

为各周期信号周期

最小公倍数的周期信号

那么实际上就是说

周期信号叠加完了以后

依然是周期信号

只不过它这个新叠加得到的周期信号

它是以前各个周期信号

它的周期的最小公倍数

那么我们来看一下周期叠加它的信号

那么我们说X叠加完了的信号

它是一个周期信号

它跟叠加的关系是I等于是

N到0到N-1 Aicos2π Ti加上φi

这是余弦我们以余弦信号为例

这是余弦信号它是周期信号

它的周期每一个余弦信号

它的周期为Ti

它的倒数实际它的频率

这是我们以前看到频率的位置

我们用周期来替换

它现在是每一个周期都是Ti

那么它叠加了以后

可以得到一个周期信号

而这个周期信号T应该是这些各个

各个周期的最小公倍数

我们可以来证明这个定理

如果我们设lk为Xt（t）的任意周期

前面我们在周期扩展里边

曾经提到了这个

一个周期信号它的周期有无穷多个

那么在这里我们就设lk是Xt（t）

这个周期信号的其中任意的一个周期

如果它是一个周期

我们把它代进去看看会发现什么

如果把lk加在t上

那么后面的呢就应该是

i等于是0到N减1 Aicos2π

ti t加上lk 再加上φi

是这样子的

我们把它再写一步

那么它就可以写成是∑i

等于是0到N-1 Aicos2π

T Ti 再加上φi 再加上2πlk Ti

是这样子的

从这个式子我们可以看到

由于余弦信号

是周期为2π的周期信号

所以如果这个为整数

那么这一项就可以整个拿掉

所以如果lk比上Ti

它等于一个整数的话

Ki是一个整数

应该是个正整数在这里

是个正整数的话

那么我们就可以得到Xt（t+lk）

就等于是Xt（t）

就是说它如果这一项等的整数

是分别的整数分别等于整数

因为这个是有很多个核实的

分别等于整数

那么这个式子跟这个式子相等

那么就是说这个跟它相等

那么这就是我们正好要学到的

那就说明了什么呢

就说这个lk就是这个它的一个周期

而且这里它是一个任意数

它是任意数的周期

这个任意数是什么

这是一个lk 这个就是所有的周期

跟它相除都会得到一个整数

就说明lk是所有这些周期的公倍数

所以说lk 所以lk为Ti的公倍数

因为这些Ti都可以除尽它得到一个整数

那么我们平时说的周期是啥呢

所有周期里边最小的那个

就应该是这个周期信号的周期

所以说这个周期信号它的周期T

就应该是这个任意周期里边最小的那一个

那么就是T就等于是min（lk）

我们可以看到因为它是个公倍数

它的周期就是它的最小公倍数

这个就证完了

证完了就是这个

好我们下面来看一个

周期叠加的例子

周期叠加的例子

也就是说有两个信号

它的周期是T1是等于是π

T2是等于2

就是这两个余弦信号它的周期是这样

那么这个余弦信号写出来是这样子的

那么就是说这个X（t）

它是一个周期信号的叠加

它是等于是cos2π π分之一t

再加上cos2π二分之t 是这样

它是两个余弦信号的叠加

假设我们现在没有写它的这个初相位

那么现在我们看

这个叠加后的信号是周期信号吗

就这个t是不是要打个问号

是不是周期信号

因为我们讲的是最小公倍数

我们都知道只有有理数之间

才存在最小公倍数

而无理数之间

或者是无理数跟有理数之间

它不存在最小公倍数

从理论上讲是这样的

那个π它是一个无理数

它是无限不循环的一个数

那么从理论上讲π和2

不存在最小公倍数

但是这样的两个信号

我们怎么来看呢

我们先把它的信号先画出来看一下

可能就更有感性认识

这个图显示了两个信号

和这两个信号的叠加

那么第一个信号是周期为π的

周期信号余弦信号

第二个信号这是周期为2的余弦信号

它们两个叠加的结果

像最下面的这个

第三个信号这样的情况

我们可以看到大家可以看到

在以22 时间为22秒的时候

这个周期好像是重复了应该是重复了

那么从理论上讲π和2

是没有最小公倍数的

不存在最小公倍数

但是我们把它画出来

好像它也是一个周期信号

那么其原因我们来看一下

我们看这一张表

我这里画了一张表

我们来找一下这个最小公倍数

假设我们要去看一看

π跟2是否存在最小公倍数

或者公倍数的情况

那么2的公倍数肯定都是偶数

那么左边这一排都是偶数

我们再用π去除这个偶数

我们来看看结果这是除的结果

我们可以看到这红色字体的地方

在这个偶数等于22的时候

π和它相除了以后得7.003

那么就是说在这里可以近似的

7.003在某种精度的控制下面

它可以看成一个整数

是这样子的

那就是说在这里可以近似的

存在一个公倍数就是近似的

π和2会近似的存在一个公倍数

那么这个公倍数

其中最小的一个就是22

我们再回到这个图

所以我们就能看见它们两个叠加以后

可以从图上可以看到

这个信号它正好

是以周期为22进行的重复

它是一个周期为22的一个周期信号

从曲线上可以看到这一点

因为刚才我们把7.003看成一个整数

其实它的相对误差是

我们从信号这个波形上

是很难看出来的

所以把7.003近似的看成一个整数

那么就是说从工程上讲

在一定误差精度的控制下面

我们可以找到了π和2的

近似的最小公倍数就是22

所以我们可以看见

我们近似的看见这个t会近似的等于22

可以把它近似的看成一个周期信号

同学们我们还可以对它进行频谱的分析

可以看到它的频率的情况

我们把这个叠加后的信号

做一下幅值谱分析

那么可以看见它的情况

这是从这个幅值谱图上

我们可以看到这是有两个信号

一个信号它的频率是0.318

0.318正好是π的倒数

还有另外一个

第二个信号它的频率是0.5

0.5它的周期正好是2的倒数

所以这是那在前面我们曾经提到

余弦信号它的频率表现是模

是一个峰而相位是一个水平

那么从这里我们就可以在

从这个图上还可以看到

我们前面构造这个叠加

周期叠加信号的时候给的参数

它的频率幅值相位

在这里都可以得到清楚的体现

刚才这儿就是介绍的一个

周期叠加的一个例子

那么实际上对于所有的周期信号

对于所有的周期信号

由于它的周期我们都可以

从工程上可以

可以把它认为是周期都是有限的

它的小数位都是有限的

至少我可以精确到某个小数位就可以

那么对于小数位是有限的小数

它都应该是有理数

所以对于这些有理数它的公倍数

都是存在的

那么意思就是说从工程上来讲

所有的周期信号只要你叠加

它都应该是周期信号

只是说这个周期叠加后的这个周期

它可能是有的时候会很长

那么有的可能很短是这么个意思

好刚才我们介绍的就是周期叠加定理

从这里我们可以看到

所以从工程上来讲

所有的周期信号它都是

小数位都可以在某种精度的控制下

结成有限个小数位

那么对于有限小数位的数

它都是有理数

那么有理数之间就存在着

公倍数和最小公倍数

那么这个时候它叠加完了的结果

从工程上来讲都应该是一个周期信号

好了关于周期叠加定理

我们就介绍到这里

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绪论

-课程简介

第一章动态信号与信号内积

-第一周

--1.1.1 动态信号——动态信号与信号内积

--1.1.1 动态信号——动态信号定义

--1.1.1 动态信号——动态信号分类

--1.1.2 时不变信号——余弦信号

--1.1.2 时不变信号——余弦信号的复数表示

--1.1.2 时不变信号——余弦信号的频域特征

--1.1.2 时不变信号——发动机振动加速度信号

--1.1.2 时不变信号——汽车怠速的车内噪声信号

-第1章动态信号与信号内积--第一周作业

-第二周

--1.1.3 时变信号——时变信号定义

--1.1.3 时变信号——车辆旁通声信号

--1.1.3 时变信号——曲轴加速扭振信号

-第三周

--1.1.4 周期信号与非周期信号——动态信号分类2

--1.1.4 周期信号与非周期信号——非周期信号及其离散化

--1.1.4 周期信号与非周期信号——周期信号及其离散化

--1.1.4 周期信号与非周期信号——周期叠加定理

--1.1.5 余弦型信号——余弦型信号

--1.1.6 类脉冲激励信号——类脉冲激励信号

-第1章动态信号与信号内积--第三周作业

-第四周

--1.2.1 内积规则——内积规则

--1.2.1 内积规则——多信号内积

--1.2.1 内积规则——内积嵌套

--1.2.1 内积规则——连续内积与离散内积的极限等价关系

--1.2.1 内积规则——周期信号的极限等价关系

--1.2.1 内积规则——内积与矢量积

--1.2.2 相关内积变换——镜像信号

--1.2.2 相关内积变换——相关内积

--1.2.2 相关内积变换——相卷内积

-第1章动态信号与信号内积--第四周作业

第二章信号分析函数

-第五周

--2.1.1 窗函数——窗函数特征

--2.1.1 窗函数——矩形窗函数

--2.1.1 窗函数——窗函数的形成

--2.1.2 余弦窗函数

--2.1.3 信号加窗

--2.1.4 高斯窗函数

--2.1.5 窗函数的离散化

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——周期构造函数

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——大周期信号的取值定理

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——大周期信号的中心周期取值

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——整周期构造不变形

--2.2.2 周期窗函数

--2.2.3 加窗周期信号的加窗构成

-第2章信号分析函数--第五周作业

-第六周

--2.3.1 有限冲激函数

--2.3.2 无限冲激函数——无限冲激函数

--2.3.2 无限冲激函数——栅栏函数

--2.4.1 相位函数——相位函数1

--2.4.1 相位函数——相位函数2

--2.4.1 相位函数——相位函数3

-第2章信号分析函数--第六周作业

-第七周

--2.4.2 科思克函数——科思克函数1

--2.4.2 科思克函数——科思克函数2

--2.4.2 科思克函数——科思克函数3

--2.4.3 辛克函数——辛克函数1

--2.4.3 辛克函数——辛克函数2

--2.4.3 辛克函数——辛克函数3

-第2章信号分析函数--第七周作业

-第八周

--2.4.4 辛克函数——辛克函数4

--2.4.4 辛克函数——辛克函数5

--2.4.4 辛克函数——辛克函数6

--2.4.5 辛克函数——辛克函数7

--2.4.5 辛克函数——辛克函数8

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数1

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数2

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数3

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数4

-第2章信号分析函数--第八周作业

-第九周

--2.4.7 正弦比函数——正弦比函数1

--2.4.7 正弦比函数——正弦比函数2

--2.4.7 正弦比函数——正弦比函数3

-第十周

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数4

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数5

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数6

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数7

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数8

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数9

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数10

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数11

-第十一周

--2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（1）

--2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（2）

--2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（3）

--2.5.2 时续傅里叶函数——时续傅里叶函数（1）

--2.5.2 时续傅里叶函数——时续傅里叶函数（2）

--2.5.3 离散傅里叶函数

-第2章信号分析函数--第十一周作业

-第十二周

--2.5.4 傅里叶谱——傅里叶谱定义

--2.5.4 傅里叶谱——傅里叶谱的可逆变换

--2.5.4 傅里叶谱——可逆变换的快速算法

--3.1.1 周期傅里叶变换——周期傅里叶变换（1）

--3.1.1 周期傅里叶变换——周期傅里叶变换（2）

-第2章信号分析函数--第十二周作业

第三章周期信号分析原理

-第十三周

--3.1.2 周期傅里叶变换（第二部分）——周期傅里叶变换（3）

--3.1.2 周期傅里叶变换（第二部分）——周期傅里叶变换（4）

--3.1.3 周期傅里叶逆变换——周期傅里叶逆变换（1）

--3.1.3 周期傅里叶逆变换——周期傅里叶逆变换（2）

--3.1.4 无理频谱的非周期性

-第3章周期信号分析原理--第十三周作业

-第十四周

--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（1）

--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（2）

--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（3）

--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱（二）——运算型周期信号的无理频谱（4）

--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱（二）——运算型周期信号的无理频谱（5）

--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱（二）——运算型周期信号的无理频谱（6）

-第3章周期信号分析原理--第十四周作业

-第十五周

--3.3.1 周期余弦窗的无理频谱

--3.3.2 中心方波的无理频谱

--3.3.2 双向方波的无理频谱

--3.3.2 原点方波的无理频谱

--3.4.1 矩形窗逆变周期信号

--3.4.1 矩形谱窗有限逆变

--3.4.1 方波信号无理频谱的有限逆变

--3.4.2 方波信号无理频谱的无穷逆变（1）

--3.4.2 方波信号无理频谱的无穷逆变（2）

-第3章周期信号分析原理--第十五周作业

1.1.4 周期信号与非周期信号——周期叠加定理笔记与讨论

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