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2.4.9 正弦比函数——正弦比函数11

下一节:2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（1）

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2.4.9 正弦比函数——正弦比函数11课程教案、知识点、字幕

我们看A2的情况

A2的情况我们要画个图来表示

我们把正弦比函数画一下

这是正弦比函数

它的分子是一个sin

分母是一个sin

但是分子是大了K倍

现在注意K是趋向无穷大的

而分母还是原来的分母

没有变化

所以我们画它的分母是这样

因为它是这是它的周期

是这样子的

这是它的一个周期

实际上我们平时在讨论问题的时候

我们讨论半个周期

二分之T的地方

这是分母这是sinπt/T

是这样的

而上面的这个是sinπKt/T

横轴都是t

在这一段范围二分之T的这个范围

由于K是趋于无穷大的时候

就是它频率为无穷大

频率为无穷大

它的周期为无穷小

所以我们这个时候是画不出来

它的这个值的

这个正弦就是很密的正弦区间

密得它的宽度为了0

所以它应该是

我们画出来可能就是一排

一排是这样

它已经非常的密了

是这种情况

现在它们两个相除

除完了我们要求它的结果

曲线下面的面积是这样的

我们为了这样

我们先把它离散化

就是这个都离散化

都离散化

这个离散的间隔是ΔT

比如说这里T

这个地方是tm

那这个地方就是tm加上ΔT对吧

一共离散成了N个块是这样

这个时候我们再来求A2的面积

这个时候A2面积它就等于是什么

它一共有个小面积Am

它有 m是从0到N-1的

这个时候m属于

这个时候m是一个整数

所以这是一个合式

为了得到A2

所以我们要得到ΔAm

它是无穷正弦比函数

无穷正弦比函数在一个小范围的一个面积

从tm一直到t m加上Δt这个范围

这时候t注意是个实数

t是个实数

这个时候相当于它求的这个范围的一个面积

这个时候就相当于它求的这个范围的一个面积

我们把正弦比函数

正弦比函数代进来

把这个无穷写成显式

它等于这是sinπK

然后是t除以T

然后是sinπt/T

t是到tm 一直到tm+Δt

是这个范围

下面会看到当N足够大的时候

当这个N足够大的时候

这个块会很小

这个块就很小

对于sinπtT它的取值

就可能在这两个位置的取值就非常接近

非常接近我们可以用一个

用其中一个值来替它

所以它可以就约等于了

就是K趋于无穷大

这个它就取成

因为这个范围很小

这个值可以看成认为是不变的

它就等于是sinπ取到tm/T这

那里边就剩下了sinπKt/T

t是从tm一直到tm+Δt

这个范围的值

我们把这个积分是可以做出来的

积分可以做出来的

它就等于是limit

K趋于正无穷

然后是sinπtm/T

这里边积分积出来是πK/T

这里边是cosπKt/T

它是从tm一直到tm+Δt

得到这么一个结果这么个结果

从这个可以看见

分子是cos函数

不管这上下限取哪个值

它是一个有界的

而分母因为这个时候是K趋于无穷大的

所以说这个是分母是无穷大值

分母无穷大而K

这分子为有界

所以整个这个值是0的

所以最后的结果

这个小面积等于0

是约等于0的

这个时候我们就得到了

ΔAm的面积在N足够大的时候

N足够大的时候它是等于0的

或者说是约等于0的

我们可以把它看成0

那么把它看成0

我们再返回去求A2

它一共有N个这样的块

每一个块都是0

那加起来也应该是0了

就是这个意思

所以我们可以看到

这个时候A2再返回去

A2就会等于0

最后就得到结论

最后得到结论A2也会等于0

最后A2等于0的

这里我们就会看到

刚才我们想求的

它的无穷正弦比函数

它的强度实际上是A1加A2两倍的

这个时候我们可以继续

我们有得到了A1 有得到了A2

所以我们再继续这个式子的话

就可以把它写完了

它就应该等于是2倍的二分之T加上0

最后就等于是T

最后我们就得到结论

它应该是它的强度应该是T

刚才我们还得到了它的这个值是

在T等于整数倍的时候它是无穷

这个时候它是0

这个时候它正好就满足了

我们最早曾经给大家介绍过的栅栏函数的定义

所以我们可以直接把它写成栅栏函数

就是说最后得到无穷正弦比函数

应该等于是栅栏函数

它强度为T

这里t为实数

问题就是这两个

一共是这一个关系

还有这一个关系来得到的

这个关系的最后取值是它

这样最后得到了它是栅栏函数

是这样的

我们最后看一下它们的图象

现在我们看到的这个图

就是无穷正弦比函数

蜕化成栅栏函数的情况

上图实际上是它可以已经很大了

这里取了10001

它是一个奇数 10001

这就可以看见它已经收缩得非常窄了

我们可以设想当K更趋于无穷大的时候

它整个这些能够看见的高度

都会收缩到一个无穷小领域里边去

无穷小的领域里边去

那么就成为一个无穷大的一个值

成为一个无穷大的一个值

最后每一个整周期的地方

都会出现这种情况

每一个整周期的地方都会出现这个情况

最后它就会形成栅栏函数

所以正弦比函数当K趋于无穷大的时候

它就蜕变成了一个栅栏函数

它蜕变成栅栏函数

我们还要强调

实际上它有一个条件

上面是t是趋于

t是取实数的

就是在实数域它是一个栅栏函数

如果我们进入到无穷小域的话

就是说我们还用无穷小来衡量栅栏函数的话

我们可以看到

无穷小邻域的

无穷小邻域的正弦比函数

它依然是一个正弦比函数的形状

那么实际上就是我们还是用(bD)来度量它

这个时候如果b还是在实数域里变化的话

我们可以看到它还是原来的正弦比函数

我们来看一下

现在大家图像上看到的

就是我们用旁瓣宽来度量正弦比函数

大家看到不管K值如何变化

因为它这个时候

横坐标D实际上跟着K变化的

所以不管它怎么变化

它正弦比函数的形状都是不变的

你看这上面是K等于101

这是1001 10001

可以设想当K趋于无穷大的时候

如果我们依然用它的旁瓣宽来进行度量的话

在这个范围之内它还是一样的

为什么

就是因为K趋于无穷大

D就会趋于无穷小

这无穷小这个时候我们看见的

就是无穷小域的正弦比函数的情况

它依然是一个正弦比函数

如果我们不是在无穷小域来看

当时这个是 b是实数

当K趋于无穷大的时候

这个D会趋于0是这种情况

当我们不是在无穷小域的看

而是在实数域看的话

因为t不管取什么值

取0和取不是0

它都不会取无穷小域的值

不用无穷小域的值

在实数域我们是取不到

它的这些具体的值的

就看不到刚才我们图像上

看见它的一些变化

只能看见到了取到整倍数的时候

它会取无穷大

除了这个地方它只能取0了

所以在实数域无穷正弦比函数

就会蜕变成了一个栅栏函数

就是一个一个的脉冲

那一个一个的脉冲是这样的

关于正弦比函数以及正弦比的所有的它的性质

和它的一些特征

我们就给大家介绍完了

正弦比函数是在我们今后的动态信号分析里边

特别是在傅里叶变换里边是一个非常重要的函数

它搭起了离散和连续的桥梁

好这节的内容就到这里为止

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绪论

-课程简介

第一章动态信号与信号内积

-第一周

--1.1.1 动态信号——动态信号与信号内积

--1.1.1 动态信号——动态信号定义

--1.1.1 动态信号——动态信号分类

--1.1.2 时不变信号——余弦信号

--1.1.2 时不变信号——余弦信号的复数表示

--1.1.2 时不变信号——余弦信号的频域特征

--1.1.2 时不变信号——发动机振动加速度信号

--1.1.2 时不变信号——汽车怠速的车内噪声信号

-第1章动态信号与信号内积--第一周作业

-第二周

--1.1.3 时变信号——时变信号定义

--1.1.3 时变信号——车辆旁通声信号

--1.1.3 时变信号——曲轴加速扭振信号

-第三周

--1.1.4 周期信号与非周期信号——动态信号分类2

--1.1.4 周期信号与非周期信号——非周期信号及其离散化

--1.1.4 周期信号与非周期信号——周期信号及其离散化

--1.1.4 周期信号与非周期信号——周期叠加定理

--1.1.5 余弦型信号——余弦型信号

--1.1.6 类脉冲激励信号——类脉冲激励信号

-第1章动态信号与信号内积--第三周作业

-第四周

--1.2.1 内积规则——内积规则

--1.2.1 内积规则——多信号内积

--1.2.1 内积规则——内积嵌套

--1.2.1 内积规则——连续内积与离散内积的极限等价关系

--1.2.1 内积规则——周期信号的极限等价关系

--1.2.1 内积规则——内积与矢量积

--1.2.2 相关内积变换——镜像信号

--1.2.2 相关内积变换——相关内积

--1.2.2 相关内积变换——相卷内积

-第1章动态信号与信号内积--第四周作业

第二章信号分析函数

-第五周

--2.1.1 窗函数——窗函数特征

--2.1.1 窗函数——矩形窗函数

--2.1.1 窗函数——窗函数的形成

--2.1.2 余弦窗函数

--2.1.3 信号加窗

--2.1.4 高斯窗函数

--2.1.5 窗函数的离散化

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——周期构造函数

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——大周期信号的取值定理

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——大周期信号的中心周期取值

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——整周期构造不变形

--2.2.2 周期窗函数

--2.2.3 加窗周期信号的加窗构成

-第2章信号分析函数--第五周作业

-第六周

--2.3.1 有限冲激函数

--2.3.2 无限冲激函数——无限冲激函数

--2.3.2 无限冲激函数——栅栏函数

--2.4.1 相位函数——相位函数1

--2.4.1 相位函数——相位函数2

--2.4.1 相位函数——相位函数3

-第2章信号分析函数--第六周作业

-第七周

--2.4.2 科思克函数——科思克函数1

--2.4.2 科思克函数——科思克函数2

--2.4.2 科思克函数——科思克函数3

--2.4.3 辛克函数——辛克函数1

--2.4.3 辛克函数——辛克函数2

--2.4.3 辛克函数——辛克函数3

-第2章信号分析函数--第七周作业

-第八周

--2.4.4 辛克函数——辛克函数4

--2.4.4 辛克函数——辛克函数5

--2.4.4 辛克函数——辛克函数6

--2.4.5 辛克函数——辛克函数7

--2.4.5 辛克函数——辛克函数8

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数1

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数2

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数3

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数4

-第2章信号分析函数--第八周作业

-第九周

--2.4.7 正弦比函数——正弦比函数1

--2.4.7 正弦比函数——正弦比函数2

--2.4.7 正弦比函数——正弦比函数3

-第十周

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数4

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数5

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数6

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数7

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数8

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数9

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数10

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数11

-第十一周

--2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（1）

--2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（2）

--2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（3）

--2.5.2 时续傅里叶函数——时续傅里叶函数（1）

--2.5.2 时续傅里叶函数——时续傅里叶函数（2）

--2.5.3 离散傅里叶函数

-第2章信号分析函数--第十一周作业

-第十二周

--2.5.4 傅里叶谱——傅里叶谱定义

--2.5.4 傅里叶谱——傅里叶谱的可逆变换

--2.5.4 傅里叶谱——可逆变换的快速算法

--3.1.1 周期傅里叶变换——周期傅里叶变换（1）

--3.1.1 周期傅里叶变换——周期傅里叶变换（2）

-第2章信号分析函数--第十二周作业

第三章周期信号分析原理

-第十三周

--3.1.2 周期傅里叶变换（第二部分）——周期傅里叶变换（3）

--3.1.2 周期傅里叶变换（第二部分）——周期傅里叶变换（4）

--3.1.3 周期傅里叶逆变换——周期傅里叶逆变换（1）

--3.1.3 周期傅里叶逆变换——周期傅里叶逆变换（2）

--3.1.4 无理频谱的非周期性

-第3章周期信号分析原理--第十三周作业

-第十四周

--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（1）

--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（2）

--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（3）

--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱（二）——运算型周期信号的无理频谱（4）

--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱（二）——运算型周期信号的无理频谱（5）

--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱（二）——运算型周期信号的无理频谱（6）

-第3章周期信号分析原理--第十四周作业

-第十五周

--3.3.1 周期余弦窗的无理频谱

--3.3.2 中心方波的无理频谱

--3.3.2 双向方波的无理频谱

--3.3.2 原点方波的无理频谱

--3.4.1 矩形窗逆变周期信号

--3.4.1 矩形谱窗有限逆变

--3.4.1 方波信号无理频谱的有限逆变

--3.4.2 方波信号无理频谱的无穷逆变（1）

--3.4.2 方波信号无理频谱的无穷逆变（2）

-第3章周期信号分析原理--第十五周作业

2.4.9 正弦比函数——正弦比函数11笔记与讨论

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