3.1.3 周期傅里叶逆变换——周期傅里叶逆变换（2）在线视频

到底这个

它Xp就是无理频谱

它包含了周期信号XT(t)的哪些信息

我们这里要继续讨论一下

继续讨论一下

实际上就是要讨论一下

无理频谱的物理意义

无理频谱的物理意义

实际上就看一下无理频谱Xp(n)

它应该是从周期信号里过来的

它到底含有它的什么样的信息

我们来看一下

首先看一个0点的位置

其实就是说Xp(0)

它等于什么

我们可以直接写出来

它就等于它的周期均积

周期均积实际上就可以相当于它的均值

因为周期均积是在一个周期里边求面积

然后除以它的周期宽度

实际上也应该是它的均值

所以它的均值是这样的

因为我们可以看到Xp

刚才我没写 现在写一下

Xp(n)它等于是XT(t)Ψ*T(n,t)

对 然后它是周期的均积

在这里n是整数 t是实数

因为两个都是相同周期的周期函数

周期或者说周期信号

那么这里省略以后

变成是它的相对于t

因为n留下来了

相对于t的周期均积

这里实际上Xp(0)是把n看成了0

所以这个等于了0

所以我们就可以得到它的

从这个式子里边可以直接得到这个式子

这就是所以得到它的结果

它的这个为0了以后

它的整个这个相位函数它是等于1的

所以我们就可以得到它的这个结果

下面我们来看在不是0的地方

非0处是这样

那么非0处

我们把式子全部写下来

XT(t)它的逆变换是ΨT (n,t)

n是处于一个无穷范围

这里注意n是整数 t还是实数

是这样子的

这个无穷的内积

我们可以把它拆成三部分

一部分就是全部的负的

n全部在负的地方

另外是n为(0)的地方

还有是n为正的地方

然后我们把它拆成了三部分

Xp(0)它就等于0点的地方

因为这0的时候它等于1

所以0的时候它是0

它只剩下它了

然后再加上它的Xp(n)ΨT(n,t)

n为负无穷的地方

负无穷到-1

回头再加上剩下这一部分

就是所有正的地方

n t

1到正的无穷

这里我们可以把它

因为n是在所有的负的数上变

这是一个合式它所有的负数

实际上我们可以把这个负的添到

把n变负然后让它里边的取数范围变成正的

实际上我们做了一个

m等于是-n的变量替换

做个变量替换

变量替换完了以后

它就可以变成这个形式

Xp(0)再加上

n这里变成了正无穷

这边也会变成p的

就是不变这边

n 1和正无穷 是这样

回头我们看一下

由于这个无理频谱Xp

它是一个复数

我们可以把它写成模和相位的形式

jφp(n)是它的相位 是这样

如果我们给定的XT(t)是一个实函数

实函数的话

我们就可以看到

是实函数的话可以看到

它的模应该是一个偶函数

它的相位应该是属于一个奇函数

是一个奇函数是这样子的

是这样是一个奇函数

这个无理频谱我们还可以做一下变形

它是可以写成相位函数的形式

Ψφp(n)写成一个相位函数的形式

在这里写成这种形式以后

它的ω

它这里边有个ω就等于1的

写成相位函数的形式

那同样的这里边的时续傅里叶函数

也可以写成相位函数的形式

回头我们待会直接可以写成相位函数

是这样

XT(t)可以继续的分解p(0)再加上

这个我们写出来

是Ap(-n) Ψ(φ(-n))

这是这个

然后这边写成相位函数的形式

Ψ(2πn/Tt)这是相位函数

它的范围是n从1到正无穷

同样另外还有一个加上AP

这个就没有负的了n

当然这里的n也是要取负

这样因为这里n是要取负的

是Ψ(φ(n)) 然后是Ψ(2πn/Tt)

这个范围也是1到正无穷

是这样

我们知道对于X(t)如果是实函数的

现在我们都认为它是一个实函数

实函数它的模应该是偶的

所以这个负号可以拿走

它的相位是奇的

负号可以拿出来

拿出来遇到相位函数

可以共到这做共轭 对吧

这个负号也可以拿出来到这做共轭

这是相位函数的特点

好 如果这样的话

这个式子我们就可以把它两个合式

两个合式给它写成了一个

因为它们离散内积的范围是一样的

写成一个以后

我们可以看一下

里边就是Ap(n)

这里两个相位函数我们可以给它合起来

这个就是Ψ这边写是2πn/Tt加上φ(n)

是这样的

然后还要加一项

加一项写不下了

我们写到这

Ψ*(2πn/Tt+φ(n))

加上φ(n)是这样

所以这个φ实际上都是有p的

都有p的

是这样

我们是来自于这里

是这样

这个括起来然后是

因为加到一起了

所以只有一个内积

这里我们是两个Ψ函数它的共轭和

共轭和如果给它除一个2正好就是余弦

为了平衡这里应该乘一个2

所以可以写成是这个形式

Xp(0)加上2倍的Ap(n)

是cos(2πn/Tt)再加上φp(n)是这样

然后是n是从1到无穷的

n从1到无穷的

这样我们就把一个实的周期函数分解成了

除了它的均值之外

我们分解成了无穷多个余弦函数之和

因为这个n是整数

所以这是一个合式

余弦函数之和

所以它的这些余弦

就相当于这是它的周期的

周期信号的余弦成分

所有这些余弦成分的

复振幅我们可以写出来

复振幅写出来

Ach因为它跟n有关系

我们把它n的变量写上

等于它的幅值2倍的Ap(n)

然后它是它的相角是jφp(n)

这是它的复振幅

我们可以看到

它这个复振幅的这边正好就等于是无理频谱

是2倍的Xp(n)

最后我们可以把Xp(n)都拿出来了

这边除以一个n

它就等于是这是复振

这是复振幅应该是cc

复振幅

那么它就等于Acc(n)除2

它的复振幅都是

再从这个式子里边

我们就可以求得了

这个无理频谱正好是这些余弦成分

复振幅的一半

正好等于是半复振幅

ch等于半复振幅

那么意思就是说周期信号的无理频谱

它实际上就是这些周期信号里边

所含余弦成分的半复振幅

半复振幅

另外我们还可以看到

原来在无理频谱还有负的地方

而且现在化成了以后

n的范围全是正的

所以我们就看到原来负频率的地方

实际上它是非独立数据

对于负频率来讲

它就相当于我们在做周期傅里叶变换的过程当中

它是一个数学平衡的结果

它是数学平衡的结果

就是负频率部分没有实际的物理意义

它最后都是非独立数据

它都可以折换到正频率上面

所以我们通过这样一个式子

就可以得到两个结论

一个就是无理频谱是实周期信号

它所含余弦成分的半复振幅

而无理频谱的负频率部分

只是一个数学平衡的一个结果

它是非独立数据

它完全可以折换到正频率部分

是这样