3.1.2 周期傅里叶变换（第二部分）——周期傅里叶变换（3）在线视频

好 同学们

我们上一节介绍了周期傅里叶变换

也就是通过周期傅里叶变换

我们可以得到一个周期信号的无理频谱

我们还介绍了一些周期信号

它是一些实信号 它的一些特性

当然这个周期信号也可以是复信号

所以今天我们接着再往下介绍

周期傅里叶变换的一些特性

今天我们来看这个复信号的

就是复周期信号它的这个无理频谱

复周期信号是这样的

我们有一个XT(t)它等于是XTr(t)

再加jXTi(t)

就是说一个信号它可以随着拿一个信号

拿一个实信号当实部

拿一个实信号当虚部 这么构成一个复信号

在这里XTr(t)和XTi(t)都是实信号

就是说它是实函数 是这样

我们的目的是假设我们现在已经

假设这个XP已经成立了

它是等于是PFT的XT(t)

我们已经得到这个

我们的目的是要求这个

要想知道这个实部的无理频谱

和虚部的无理频谱应该是什么样子的

我们都知道通过前面的阶段的学习

我们都知道这个无理频谱

就是周期信号无理频谱它是一个实函数

在有了这个前提下我们就可以得到了

这个实部的无理频谱

我们可以给它

由它来得到

它是二分之一的XP(-n)的共轭镜像

再加上它本身

虚部的无理频谱是二分之jXP共轭镜像

再减去XP(n) 是这样的

这个是它的无理频谱

这是通过PFT过来的

它的意义是

这个是它的无理频谱 这也是PFT

当然这个它是PFT过来的 是这样

就是说什么意思呢

当我们有了一个复信号

我们只做一次PFT的变换

可以把它的实部的无理频谱

和它虚部的无理频谱都可以同时得到

通过一个简单的加减法 是这个意思

为什么会是这样 我们来证明一下

来证明一下这个事情

由于无理频谱是个复数

所以我们都用实部和虚部来给它证明

这是周期信号的无理频谱

它也有实部RP(n)加上虚部jIP(n)

这是Rp(n) 虚部的jIP(n)

对于复信号当中实部的无理频谱

可以写成RPr(n)再加上jIPr(n)

虚部的就是实信号虚部的无理频谱

可以写成是RPi(n)再加上jIpi(n)是这样

我们把它的复数都给它表示出来

就是复函数的形式

复函数的形式都可以表述出来

在这里边n都是整数了

n都是整数 是这样 这样子

另外如果我们对这个公式的两边

就是最早的这个复数公式的两边

我们同时去两边都取它的PFT

就是周期傅里叶变换的话我们可以得到

比如说我们把这个命名为一 就是一取PFT

我们就可以得到XP(n)

它是等于是XPr(n)再加上jXPi(n)的

可以得到这个 这个式子

我们把它的两个复数形式

给它代到这个公式里边

可以写成是就是RPr(n)再加上jIPr(n)

这是它的实部 这是它的实部可以写成这样

它的虚部部分可以写成是它

但是在写的过程当中要注意这个j再乘上去

这个j是 乘上jRPi(n)

再减去一个 j乘j是一个-1

再减去一个IPi(n)是这样的

通过这个我们就可以得到它有实部有虚部

我们可以直接写出它的实部和虚部

从这个式子我们就可以得到了

这个RP(n)

就是它的真正的实部 是这个

这是实部是它和它

RPn(n)减去IPi(n)

然后得到它的虚部 n是等于是

虚部是这两个之和

得到是RPi(n)再加上IPr(n) 是这样的

我们得到它的实部和虚部

前面我们注意到由于这个

这两个周期信号就是实部的周期信号

和虚部的周期信号

它都是一个实函数

在上一节我们曾经提到了

如果是实函数的话

它的实部应该是偶的 它应该是偶的

就是属于一个偶函数

它的虚部是属于一个奇函数

那这个呢

这是实部

这是这个的实部

它也是一个

这是一个偶函数

而这个是一个奇函数 是这样的

是奇函数

我们用Fo来表示奇函数的集合

用Fe来表示偶函数的集合 是这样

实际上我们就看到了这个无理频谱

它的实部是一个偶函数和奇函数之和

它的虚部也是一个偶函数一个奇函数之和

任意一个函数可以分解成一个偶函数

和一个奇函数之和

这件事是唯一的

我们来先看一下

比如说奇偶分解的唯一性

就假设有一个函数叫做X

它可以分解成一个偶函数和一个奇函数之和

在这里Xe是偶函数 Xo是一个奇函数

这样

我们再假设它还可以分解成另外一种形式

Ye加上Yo

就是说Ye也是偶函数 Yo是奇函数

它可以分成这样两个

虽然它们分成两个

但是它们由于都是从一个函数里边分出来的

所以它们应该相等

我们就可以写成是Ye加上Y0

就等于是Xe加上X0

我们把它偶函数都合到这边来

把奇函数合到那边去

就是说Ye再减去Xe

就等于是X0减去Y0 Yo 是Yo

o表示奇函数 它是奇的

这样一看这是两个奇函数的和

那差我们可以看成和

这个差也可以看成和

两个 这是两个偶函数的和

这是两个奇函数的和

偶函数的和它应该还是一个偶函数

而奇函数的和它还是一个奇函数

在这里奇函数要和偶函数相等

唯一的一个条件就是它们各自都为零

所以我们可以得到Ye减去Xe应该等于零

然后是Xo减去Yo也应该等于零

这样我们从这里就可以解得了

Ye等于是Xe Yo等于是Xo

这就说明你虽然假定了可以有第二种分解

但是它分解完了以后它依然是相等的这样

就是你分解出来是偶函数跟偶函数相等

奇函数跟奇函数相等

所以它这种分解是唯一的

那回过头来我们看看这个

这个是无理频谱它的实部

已经是一个偶函数 一个奇函数之和

它也是一个偶函数 一个奇函数之和

但是它还有另外一种形式的奇偶表示法

我们来看一下

就是一个任意的函数

这是一个函数我们要把它分成

一个偶函数一个奇函数的话

可以写成是RP(n)/2 再加上RP(-n)/2

再加上RP(n)/2 再减去RP(-n)/2

这样我们看到这是一个偶函数

而这是一个奇函数

这是个奇函数

是这样的

同样的它的虚部也可以做类似的分法

IP(n)/2 再加上IP(-n)/2

再加IP(n)/2 再减去IP(-n)/2

这样它这一部分也是一个偶函数

可以看见这一部分是一个奇函数

我们可以把-n代进去一看

都能看见它们的奇偶性是很清楚的

是这样

它又可以

这是无理频谱的实部虚部

还有奇偶也有这样一种表示方式

根据刚才的唯一性

我们可以知道它虽然分解成了

两种不同的形式的奇偶性 奇偶之和

它的偶函数部分也应该等于偶函数

奇函数部分也应该等于奇函数

所以我们通过它的分解的唯一性

就可以得到了这个

我们来看RP(n)这一项

RPr这一项它是一个偶函数

这个是个偶函数

它的偶函数

这个偶函数处于是RP(n)里边的偶函数

就是RP(n)的偶函数我们来取

它就应该等于是RP(n)/2 再加上RP(-n)/2

它的虚部部分

这是RPr它处于IP(n)的奇函数部分

我们就可以从IP(n)的奇函数部分来得到它

是IP(n)/2减去IP(-n)/2 是这样

我们来看另一对

就是还有RPi(n)

我们从这个式子可以看

RPI(n)除以IP(n)的实

也就是处于它的偶函数部分

它的偶函数部分是这个

等于是IP(n)/2加上IP(-n)/2

另外还有IPi(n)

我们来看看它处于什么位置

IPi(n)正好处于RP(n)的奇函数这一部分

所以前面有个负号

它处于它的奇函数部分在这儿

所以我们可以写成是RP(n)/2有个负号

原来那个负就变成正的RP(-n)/2

就得到这么一对

好 我们得到了就是这是

原来那个复周期信号的

实部的无理频谱的实部虚部

还有它复周期信号虚部的无理频谱的实部和虚部

我们再把它合起来

我们就可以写出来XPr(n)它是

XPr(n)它是它的实部和虚部

我们可以把它写在一起

它的实部是这儿 虚部是这儿

我们把它写在一起 把二分之一提到外边来

里边是RP(n)再加上RP(-n)

再加上它的虚部部分 记得虚部部分为它填上

虚数IP(n)减去jIP(-n)是这样

我们把它稍微配一下这个二分之一

在这里是RP(-n)再加上

再减去 把这个配给它减去IP(-n)

然后再加上RP(n)再加上这个jIP(n)

这样配成了两个复数

最后可以写出来最后的结果

它是等于二分之一的

二分之一的XP(-n)就是这个共轭

再加上这个 加上正好这个就等于XP(n)

这就写出了刚才我们给出的第一个公式是对的

同样的道理我们来合成另外一个无理频谱

它的实部虚部已经写到这儿了

这是它的实部 这是它的虚部

我们把它合起来

合起来它有个2 另外它还有个我们提出一个j来

它的合成是

所以它的实部 我们把j提出来以后

里边的实部就会变成这个了

本来在这个虚部前边要加个

它的虚部前边要加个j

我们j已经提出来了 所以它现在就没有j了

直接写过来是负的RP(n)再加上RP(-n)

那么这个原来没有j的 提出来一个j

所以它们都得加一个-j 是这样的

所以它就可以是-jIP(n)然后是-jIP(-n)

最后给它合一下

把这个 这个和这个 合在一起

就是RP(-n)再减去jIP(-n)

剩下的两项是这一项和这一项

是减去RP(n)再减去jIP(n)

最后我们就得到了这个依然是XP(-n)的共轭

就是这一项这一部分

然后这一部分是减去一个

它们变成加了 两个减提出来 变成一个加

加起来就是XP(n) 是这样

最后就写成了这个形式

这个形式跟原来的我们先给出的两个形式是一样的

它是就是通过这么一种奇偶分解来得到

其实最关键的部分就是这个奇偶分解的唯一性

我们通过奇偶分解的唯一性

来把它最后得到了这两个式子

这两个式子就意味着什么呢

将来如果我们有两个信号

如果我们要去做它的

分别要想得到它的无理频谱的话

实际上把它们构成一个复信号以后

进行一次变换就可以

再通过一个拆解就可以来得到它了