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3.1.1 周期傅里叶变换——周期傅里叶变换（1）

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3.1.1 周期傅里叶变换——周期傅里叶变换（1）课程教案、知识点、字幕

好 同学们到上一节为止

我们已经介绍完了前面两章的内容

从今天开始也就是从这一节开始

我们将介绍第三章的内容

第三章主要是讨论周期信号的分析原理

第三章周期信号分析原理

首先我们来看第一个问题就是周期傅里叶变换

周期傅里叶变换 它说的什么呢

周期傅里叶变换它有一个定义

我们先给出它的定义 定义是这样

有一个Xp(n) 它是一个周期信号

XT和时续傅里叶函数的共轭

做的一个周期均积

在这里n是整数 t是实数

由于内积里边都是周期信号

下边省略表示是周期均积

周期均积

而这个就称之为周期傅里叶变换

这是变换本身 周期傅里叶变换

我们就说当一个信号和一个函数

做内积的话它就是一个变换

就是一个变换

所以这个是变换

而变换出的结果它是称之为无理频谱

这个无理是无理数的意思

什么叫无理数

就是无限不循环的小数称之为无理数

而我们借助于它的意思

是只是这个频谱它是无限不循环频谱

所以称之为简称为无理频谱 是这样子的

由于在这个变换里边有复函数参与

而是这个周期信号也可以是复的

所以整个这个变换它是一个复数的一个变换

一个复数 或者叫复函数的变换

变换完的结果当然也是个复函数

是个复函数我们就

它的那个表达形式 它的表现形式可以有两种

一种是实部和虚部的形式

它可以写成Rp(n)再加上jIp(n)

另外一个它也可以用模

和相位的表达形式φp(n)

那在这里Rp(n)这是无理频谱的实部

Ip(n)是无理频谱的虚部 Ap(n)是它的模

φp(n)是它的相位

它们有这样的一个表达的形式 复数的表达形式

这个复数的无理频谱

它是对一个周期信号进行的一个

周期信号和时续傅里叶函数做的一个内积变换

这个内积针对的周期信号

但是实际上由于这里是周期均积

所以它真正的计算只需要一个周期就可以了

这个周期我们通常取它的中心周期

就是说我们记一下 中心周期

这个在我们在前边的内容里边

也曾经讲到 提到过了

就是说XTc 就是XT的中心周期

在定义范围之内它取的是这个周期信号的值

这个定义域t是定义在负2分之T到正2分之T之间

是这样子的 这是中心周期

中心周期它只在这个范围

就是在正负2分之T的范围有定义

它取XT的值 在其他的地方是没有定义的

所以它也就没有意义

所以我们不追求它其他位置的取值的值

注意它在一个周期内的取值

有了中心周期以后我们可以

就是说我们可以来实际的计算

如果实际的计算我们就可以利用

中心周期来进行计算

XTc(t) 然后它是ψT*(n,t)

然后这个t由于使用了中心周期

所以它是在正负2分之T之间 这是它的计算

同样的这个n是整数 t是实数 是这样

这样的计算

但是只要你用了一段信号如果计算

其实就意味着你这个东西是完成了这样一个变换

完成这个变换

什么意思呢

就是说如果你手里只有一个中心周期在2分之T

计算的时候这是t

你只有这一段信号

假设只有这段信号参与了这个计算

就意味着你使用了一个周期信号在做这个计算

这个周期信号

就是你这一段信号的一个不断的重复

其实我们就像我们前面讲到的就是周期构造

所以它就相当于你也用了这样一个信号在进行计算

等等等等 是这样

所以这是XT 最后这个是XT

实际上你可能只有这一段称之为XTc

从计算式上你可能看不出来

你是使用了一个中心周期

但是只要你采用了这个式子

就意味着你是用了这么一个信号

你是在分析这么一个信号

所以这一点是很重要的

有的时候我们为了计算不需要出现整个信号

但是它只要你采用了这个公式

就相当于你这个你被计算的这一段

被不断的重复了 就这个意思

我们在前面给出这个定义的时候曾经说到了

这个变换的对象就是XT这个周期信号

我们并没有对它有过多的限制

它可以是复函数 复信号 也可以是实信号

还可以是其他性质的信号

它这一般的它就应该可以是个复信号

我们来看如果它等于实信号的话

就X等于实信号的话

这个无理频谱会有什么样的一个特性

对于实周期信号

实周期信号的无理频谱

实周期信号的无理频谱

是这样子的

我们来看一下

就是说最后我们可以得到

就是说实周期信号的无理频谱

它是共轭对称的

共轭对称 是这样

要注意这个事情

共轭对称它的结论是

就是说如果是对无理频谱是一个负的n的话

它实际上可以等于这个无理频谱的共轭

这个条件是XT这个信号 被变换的信号

它是一个实信号

这是实函数集合 是这样的

为什么会是这样 因为是有这件事存在

我们看因为的条件

Xp我们根据定义 -n 根据-n

我们可以根据这个式子

我们可以写出来X(-n)的结果

它是等于是XT(t),ψT*(-n,t)

然后这是周期均积 是这样的

由于它是这是时续傅里叶函数

是一个相位函数

它的这个负号可以拿到共轭上去做一个共轭

它可以写成是

拿到这共轭

由于它是一个实函数

所以这个共轭整个可以拿到外边去

最后就写成了T(n,t) 是这样

实际上这个式子可以反过来看

把这个共轭如果拿进来

它是个实函数 这个共轭拿进来它不变

还是这个样子

这个共轭拿进去以后可以放到n上去做负

就回到这个式子了

所以这两个式子是相等的

从这里我们就可以看到它应该等于是Xp共轭

这跟它原来的定义正好就对应上了

就是说这个结论最后这件事是成立的

有这个结论如果成立的话

我们会带来相应的两个推论

推论一

推论一就是说能够得到是实偶虚奇

什么意思呢 就是实部是偶的 虚部是奇的

对这个无理频谱它的实部是Rp

如果是-n的话它是偶的话它应该等于是Rp(n)

虚部是Ip(n)给它加一个负的话

它是虚的话应该是-Ip(n)

这个条件跟刚才的条件一样

就是XT(t)是一个实函数

由于有了刚才的结论

就是它的共轭对称结论的话

我们可以这样

因为什么呢

因为这件事为什么会成立呢

我们来看因为是Xp(-n) 它是等于Xp共轭

从这里我们看到

这里我们用实部虚部代进去的话

就是Rp(-n) 再加上jIp(-n) 这是左边

右边我们也用实部虚部代进去

就等于Rp(n)再减去 这是共轭了

虚部也要添负 Ip(n)

这是两个负函数要相等

它们的实部和虚部应该分别相等

就是这是它们的实部 这两个应该相等

这是虚部 虚部 这是虚部

虚部表示这个负号

这是虚部

这两个也应该相等

所以说从实部相等和虚部相等

就可以得到这个结论

通过这样就所以它这个应该是所以是成立的

这个第一推论是成立的

推论二

推论二就是说模偶相奇

模偶相奇

它意思是什么呢

它的模Ap(-n) 给它添负的话它应该不变

所以它是偶的

它的相位p如果(-n)的话它应该是负的φp(n)

条件是XT是一个实函数

是一个实的周期信号 是这样

为什么呢 因为从这里我们看到

由于共轭对称 从这边抄过来的式子是这样

如果我们把它的模和相位的形式代进去的话

可以得到这个结果

那就是说Ap(-n)ejφp(-n)

应该等于是Ap(n)e-jφp(n) 是这样

就是从这个式子我们可以写出这么一个结果

这也是两个负数相等

它的模和相位应该分别相等

所以这是模 这两个应该相等

相位 这是相位 这是相位 负的 这是相位

这相位也应该相等

所以由于有这个能存在 那这件事就是成立的

这就是所以 所以这个式子是成立的

推论二也是成立的

不管是推论一 还是推论二

它们都来自于实周期信号的共轭对称结果

它是一个共轭对称的

就是我们在前面

就是我们在这里

已经给它证明过的共轭对称 是这样

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绪论

-课程简介

--教材简介

第一章 动态信号与信号内积

-第一周

--1.1.1 动态信号——动态信号与信号内积

--1.1.1 动态信号——动态信号定义

--1.1.1 动态信号——动态信号分类

--1.1.2 时不变信号——余弦信号

--1.1.2 时不变信号——余弦信号的复数表示

--1.1.2 时不变信号——余弦信号的频域特征

--1.1.2 时不变信号——发动机振动加速度信号

--1.1.2 时不变信号——汽车怠速的车内噪声信号

-第1章 动态信号与信号内积--第一周作业

-第二周

--1.1.3 时变信号——时变信号定义

--1.1.3 时变信号——车辆旁通声信号

--1.1.3 时变信号——曲轴加速扭振信号

-第三周

--1.1.4 周期信号与非周期信号——动态信号分类2

--1.1.4 周期信号与非周期信号——非周期信号及其离散化

--1.1.4 周期信号与非周期信号——周期信号及其离散化

--1.1.4 周期信号与非周期信号——周期叠加定理

--1.1.5 余弦型信号——余弦型信号

--1.1.6 类脉冲激励信号——类脉冲激励信号

-第1章 动态信号与信号内积--第三周作业

-第四周

--1.2.1 内积规则——内积规则

--1.2.1 内积规则——多信号内积

--1.2.1 内积规则——内积嵌套

--1.2.1 内积规则——连续内积与离散内积的极限等价关系

--1.2.1 内积规则——周期信号的极限等价关系

--1.2.1 内积规则——内积与矢量积

--1.2.2 相关内积变换——镜像信号

--1.2.2 相关内积变换——相关内积

--1.2.2 相关内积变换——相卷内积

-第1章 动态信号与信号内积--第四周作业

第二章 信号分析函数

-第五周

--2.1.1 窗函数——窗函数特征

--2.1.1 窗函数——矩形窗函数

--2.1.1 窗函数——窗函数的形成

--2.1.2 余弦窗函数

--2.1.3 信号加窗

--2.1.4 高斯窗函数

--2.1.5 窗函数的离散化

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——周期构造函数

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——大周期信号的取值定理

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——大周期信号的中心周期取值

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——整周期构造不变形

--2.2.2 周期窗函数

--2.2.3 加窗周期信号的加窗构成

-第2章 信号分析函数--第五周作业

-第六周

--2.3.1 有限冲激函数

--2.3.2 无限冲激函数——无限冲激函数

--2.3.2 无限冲激函数——栅栏函数

--2.4.1 相位函数——相位函数1

--2.4.1 相位函数——相位函数2

--2.4.1 相位函数——相位函数3

-第2章 信号分析函数--第六周作业

-第七周

--2.4.2 科思克函数——科思克函数1

--2.4.2 科思克函数——科思克函数2

--2.4.2 科思克函数——科思克函数3

--2.4.3 辛克函数——辛克函数1

--2.4.3 辛克函数——辛克函数2

--2.4.3 辛克函数——辛克函数3

-第2章 信号分析函数--第七周作业

-第八周

--2.4.4 辛克函数——辛克函数4

--2.4.4 辛克函数——辛克函数5

--2.4.4 辛克函数——辛克函数6

--2.4.5 辛克函数——辛克函数7

--2.4.5 辛克函数——辛克函数8

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数1

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数2

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数3

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数4

-第2章 信号分析函数--第八周作业

-第九周

--2.4.7 正弦比函数——正弦比函数1

--2.4.7 正弦比函数——正弦比函数2

--2.4.7 正弦比函数——正弦比函数3

-第十周

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数4

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数5

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数6

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数7

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数8

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数9

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数10

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数11

-第十一周

--2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（1）

--2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（2）

--2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（3）

--2.5.2 时续傅里叶函数——时续傅里叶函数（1）

--2.5.2 时续傅里叶函数——时续傅里叶函数（2）

--2.5.3 离散傅里叶函数

-第2章 信号分析函数--第十一周作业

-第十二周

--2.5.4 傅里叶谱——傅里叶谱定义

--2.5.4 傅里叶谱——傅里叶谱的可逆变换

--2.5.4 傅里叶谱——可逆变换的快速算法

--3.1.1 周期傅里叶变换——周期傅里叶变换（1）

--3.1.1 周期傅里叶变换——周期傅里叶变换（2）

-第2章 信号分析函数--第十二周作业

第三章 周期信号分析原理

-第十三周

--3.1.2 周期傅里叶变换（第二部分）——周期傅里叶变换（3）

--3.1.2 周期傅里叶变换（第二部分）——周期傅里叶变换（4）

--3.1.3 周期傅里叶逆变换——周期傅里叶逆变换（1）

--3.1.3 周期傅里叶逆变换——周期傅里叶逆变换（2）

--3.1.4 无理频谱的非周期性

-第3章 周期信号分析原理--第十三周作业

-第十四周

--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（1）

--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（2）

--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（3）

--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱（二）——运算型周期信号的无理频谱（4）

--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱（二）——运算型周期信号的无理频谱（5）

--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱（二）——运算型周期信号的无理频谱（6）

-第3章 周期信号分析原理--第十四周作业

-第十五周

--3.3.1 周期余弦窗的无理频谱

--3.3.2 中心方波的无理频谱

--3.3.2 双向方波的无理频谱

--3.3.2 原点方波的无理频谱

--3.4.1 矩形窗逆变周期信号

--3.4.1 矩形谱窗有限逆变

--3.4.1 方波信号无理频谱的有限逆变

--3.4.2 方波信号无理频谱的无穷逆变（1）

--3.4.2 方波信号无理频谱的无穷逆变（2）

-第3章 周期信号分析原理--第十五周作业

3.1.1 周期傅里叶变换——周期傅里叶变换（1）笔记与讨论

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