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2.5.3 离散傅里叶函数在线视频

2.5.3 离散傅里叶函数

下一节:2.5.4 傅里叶谱——傅里叶谱定义

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2.5.3 离散傅里叶函数课程教案、知识点、字幕

好同学们上一节我们介绍了

时续傅里叶函数

它是傅里叶函数里边的第二个函数

这一节我们将介绍

傅里叶函数里边的第三个函数

也是最后一个函数就是离散傅里叶函数

离散傅里叶函数

离散傅里叶函数实际上

它是时续傅里叶函数的时间的离散化

它的时间离散化

另外从连续傅里叶函数的角度来讲

它应该是连续傅里叶函数的时频关联离散化

所以它是一个在时域和频域

都是离散化的一个全离散化函数

我们根据上面两条可以写出它的定义

它的定义可以是ψN(n,K)

这是离散傅里叶函数

离散傅里叶函数的符号

它可以等于是时续傅里叶函数的

时间离散化

就是KΔt 在这里n K都是整数

然后t Δt是T除以N

N是一个常数const 然后它是正实数这样

它是做这个离散化是可以

然后如果从连续傅里叶函数角度来讲呢

它又可以写成是

等于是连续傅里叶函数的

频率变成了n比上NΔt然后再来KΔt是这样

就是把连续傅里叶函数的频率和时间

都进行了离散化

在这里由于这里可以看得出来

在n的剩下部分就是Δf

这里我们看得出来Δf是等于是NΔ分之一

是这样

这是频率的离散间隔

由于这样的话

就是Δf它导致了Δf乘以Δt

最后等于N分之一

所以说就是Δf和Δt它是关联的

不是相互独立的

所以这是一个关联离散化

根据这样的结果

我们可以最后写出它的数学表达

就是ψN(n,K)它应该等于是ej2πnk除以N

然后它也有三角函数形式

cos2πnk/N再加上jsin2πnk/N

是这样子的

有了这个我们可以看一下

它的一个傅里叶函数全离散化以后的

一个形式

全离散化以后的一个形式

这个呢我们以前曾经提到过

当下标标N的时候

表示它是一个以N为周期的离散周期函数

从它的形式我们可以看得出来

当不管是n或者是k

变化为整倍数的N的时候

它就会重复循环一次

所以它的周期就是N

所以它是以N为周期的一个离散周期函数

我们来看一下它的图像

这是离散傅里叶函数它的实部

可以看出来它是一个余弦函数

这个实际上我们现在能够看见的

是在时间域

就是K这个方向上画的点比较多

所以在这个方向上看得出来

它的余弦的变化形态

而在n的方向

如果我们还画照样多

能够反映出它的这个

变化状态的形式的话

就会两边都会看不清楚

所以我们这儿先舍弃了一边

它的这个

我们把n做得比较稀

大家看一下现在n是只取了

除了零点以外只取了三个值

所以它看不出来它的变化

实际上它们两个应该取一样的

我把它换一个角度来看

就是把这边稀一点这边密一点

我们再看一下这个函数

我们就可以理解到

当这边取密了这边取疏一点

这边也是一个余弦函数

所以它不管是在K方向看

还是从n方向看都应该是余弦函数

只是我们为了表达清楚

只能在每次只看一个方向的这个

它的曲线形态

如果你想两边同时都看到的话

这个反而什么都看不清楚了

反而什么都看不清楚

到虚部也是这样这是虚部

现在我们从K方向看得比较清楚

我们再换一个方向

从n方向也看得比较清楚是这样的

所以它是一个全离散的三维函数

是可以这么来表示

我们看得比较清楚

离散傅里叶函数虽然它是一个离散的周期函数

我们可以来求一下它的周期

周期的均值

就是它的均值函数

均值函数它的定义是这样子的

我们写成EN(n)我们对K做均值

它等于是ψN(n,K)

这就是表示它的均积

因为它是一个周期的函数

所以我们省略所有的下标

省略下标范围就是它是周期的均积

这个周期从哪儿取它都应该是一样的

是一样的

然后从它的那个内积变量

这里因为n被留下来了

K自然就做了内积变量

所以这个也被省略掉了

在这里K是整数 n也是整数

所以它是一个全离散的

我们首先给出它的这个均值函数的结论

它应该是一个全梳状函数

而梳状函数我们知道它是一个

全梳状函数是一个周期

离散的周期函数

它的这个周期

跟这个离散傅里叶变换的周期是一样的

都是n

为什么会有这个结论

我们来看一下因为

我们来对它进行分析 En(n)

里边我们把它变成一个纯相位函数

另外我们先把它的范围写出来

我们是对K 这里是对K的内积

它的范围我们取0到N-1这正好是一个周期

另外前边有一个均值

里边我们来看

现在K我们把它挪到指数上面

里边还剩下了2n除N

这个时候的ω就等于π

就是这个ψ函数里边的ω就等于π

是这样的

把K放到了指数上嘛

当然它也可以在自变量上面

所以它整个ψ函数加起来是ej2πnk除N

跟我们给出的这个它的这个定义是一样的

这样我们看出来

我们是对内积变量是K

除了它的指数K之外

其他的都与内积变量无关

这个是一个明显的是一个等比级数

前n项之和

典型的等比级数前n项之和

我们可以直接写出它的结果

它的底就是它

所以它的分值是1减去底的n次方

2n除N

然后是1减去ψ(2n/N)

这就是等比级数的底就是它

这个我们再把它的指数

可以放到自变量上面去做系数

系数完了以后可以得到的结果是这样的

可以得到的结果等于是N分之一

1减去ψ(2n)

然后下面是1减去ψ(2n/N)是这样

我们来分析一下

由于现在ψ的ω是π

所以它是这里它的自变量全是整数

n也是整数

n是整数 N也是

那个n是整数呢这个就是偶数倍

这个偶数倍的π

所以这个ψ函数它的结果等于1

分子为0

再看分母

再看分母的时候

如果n等于整倍数的N

它也是偶数也是偶数倍的π

偶数倍的π

这个值为1 分母也为0

所以它这个时候是0比0型

在这种情况下我们先把这个0比0型

给它先推导一下应该等于什么

就是在这里EN(n)它有0比0的情况

0比0的情况是什么

n等于mN这里m是整数

是这样

在这种情况下

我们需要求得它的罗必塔比

我们简单称为罗比

A等于是什么罗必塔比

我们可以看到罗必塔比

应该是它这个函数的分子的导数

与分母的导数之比

我们来求一下

现在我们注意自变量是n

我们来求一下这个n 求导数它不变

然后1求导数没有了 -1还有

负的还有这个导数会出来一个jω

相位函数求导会出来一个jω

然后会把这个自变量的系数也会出来

所以它是2 然后是ψ

然后本身相位函数不变

下面也是一样

它出来一个jω 然后它的系数是2/N

然后是ψ(2n/N)

因为这是对n求导的这个结果

这个结果我们给它消掉

给它消掉了这个jω跟jω消掉了

2跟2消掉了 n跟n消掉了

最后就等于这个结果

有了这个结果我们就可以来看

这个EN(n)应该等于是ψ

因为这个时候我们为了求罗必塔比的时候

是因为有这个条件所以把n代进去

所以ψ(2mN)然后这边是ψ(2m)

这里的n等于mN的 m等于整数

是这种情况

下面可以看到这里

不管是分子分母它的这个

里边的自变量全是偶数

如果是偶数的话

它就是整周角的相位函数

正好都等于1

所以它是等于1的

有了这个结果现在我们再来看

这个均值函数EN在一般的情况

我们来分析一般的情况

所以在一般的情况EN(n)它会取值什么

在一些特殊的情况下会取1

什么情况呢

就是n等于是mN的时候

这就是我们这里面的推导

在别的情况下

因为这个时候分母不为0了

它的分子一直为0 因为这是偶数的

所以它一直会为0 所以它是0

在其他的地方

所以在这里n m都是整数

在这个情况下都是整数

这正好就满足我们以前曾经推导过的

这个一个全梳状函数

它就是这样的一个取值的情况

最后我们可以得出这个结论

它就应该是一个全梳状函数

最后等于全梳状函数ΔN(n)

这等于一个全梳状函数

所以我们开始的这个结论是正确的

关于全梳状函数的图像

我们曾经在单位冲激函数里边

已经给出了它的结果

大家可以参考书上的图

所以说这个时候我们可以得到

就是离散傅里叶函数它的均值函数

就是一个全梳状函数

这一节我们介绍完了离散傅里叶函数

到此为止三个函数

就是傅里叶函数的三个函数

连续傅里叶函数时续傅里叶函数

和离散傅里叶函数

包括它们的一些性质和特征

我们都全部介绍完了

好这一节的内容就到此为止

动态测试与分析（上）课程列表：

绪论

-课程简介

第一章动态信号与信号内积

-第一周

--1.1.1 动态信号——动态信号与信号内积

--1.1.1 动态信号——动态信号定义

--1.1.1 动态信号——动态信号分类

--1.1.2 时不变信号——余弦信号

--1.1.2 时不变信号——余弦信号的复数表示

--1.1.2 时不变信号——余弦信号的频域特征

--1.1.2 时不变信号——发动机振动加速度信号

--1.1.2 时不变信号——汽车怠速的车内噪声信号

-第1章动态信号与信号内积--第一周作业

-第二周

--1.1.3 时变信号——时变信号定义

--1.1.3 时变信号——车辆旁通声信号

--1.1.3 时变信号——曲轴加速扭振信号

-第三周

--1.1.4 周期信号与非周期信号——动态信号分类2

--1.1.4 周期信号与非周期信号——非周期信号及其离散化

--1.1.4 周期信号与非周期信号——周期信号及其离散化

--1.1.4 周期信号与非周期信号——周期叠加定理

--1.1.5 余弦型信号——余弦型信号

--1.1.6 类脉冲激励信号——类脉冲激励信号

-第1章动态信号与信号内积--第三周作业

-第四周

--1.2.1 内积规则——内积规则

--1.2.1 内积规则——多信号内积

--1.2.1 内积规则——内积嵌套

--1.2.1 内积规则——连续内积与离散内积的极限等价关系

--1.2.1 内积规则——周期信号的极限等价关系

--1.2.1 内积规则——内积与矢量积

--1.2.2 相关内积变换——镜像信号

--1.2.2 相关内积变换——相关内积

--1.2.2 相关内积变换——相卷内积

-第1章动态信号与信号内积--第四周作业

第二章信号分析函数

-第五周

--2.1.1 窗函数——窗函数特征

--2.1.1 窗函数——矩形窗函数

--2.1.1 窗函数——窗函数的形成

--2.1.2 余弦窗函数

--2.1.3 信号加窗

--2.1.4 高斯窗函数

--2.1.5 窗函数的离散化

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——周期构造函数

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——大周期信号的取值定理

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——大周期信号的中心周期取值

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——整周期构造不变形

--2.2.2 周期窗函数

--2.2.3 加窗周期信号的加窗构成

-第2章信号分析函数--第五周作业

-第六周

--2.3.1 有限冲激函数

--2.3.2 无限冲激函数——无限冲激函数

--2.3.2 无限冲激函数——栅栏函数

--2.4.1 相位函数——相位函数1

--2.4.1 相位函数——相位函数2

--2.4.1 相位函数——相位函数3

-第2章信号分析函数--第六周作业

-第七周

--2.4.2 科思克函数——科思克函数1

--2.4.2 科思克函数——科思克函数2

--2.4.2 科思克函数——科思克函数3

--2.4.3 辛克函数——辛克函数1

--2.4.3 辛克函数——辛克函数2

--2.4.3 辛克函数——辛克函数3

-第2章信号分析函数--第七周作业

-第八周

--2.4.4 辛克函数——辛克函数4

--2.4.4 辛克函数——辛克函数5

--2.4.4 辛克函数——辛克函数6

--2.4.5 辛克函数——辛克函数7

--2.4.5 辛克函数——辛克函数8

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数1

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数2

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数3

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数4

-第2章信号分析函数--第八周作业

-第九周

--2.4.7 正弦比函数——正弦比函数1

--2.4.7 正弦比函数——正弦比函数2

--2.4.7 正弦比函数——正弦比函数3

-第十周

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数4

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数5

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数6

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数7

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数8

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数9

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数10

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数11

-第十一周

--2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（1）

--2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（2）

--2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（3）

--2.5.2 时续傅里叶函数——时续傅里叶函数（1）

--2.5.2 时续傅里叶函数——时续傅里叶函数（2）

--2.5.3 离散傅里叶函数

-第2章信号分析函数--第十一周作业

-第十二周

--2.5.4 傅里叶谱——傅里叶谱定义

--2.5.4 傅里叶谱——傅里叶谱的可逆变换

--2.5.4 傅里叶谱——可逆变换的快速算法

--3.1.1 周期傅里叶变换——周期傅里叶变换（1）

--3.1.1 周期傅里叶变换——周期傅里叶变换（2）

-第2章信号分析函数--第十二周作业

第三章周期信号分析原理

-第十三周

--3.1.2 周期傅里叶变换（第二部分）——周期傅里叶变换（3）

--3.1.2 周期傅里叶变换（第二部分）——周期傅里叶变换（4）

--3.1.3 周期傅里叶逆变换——周期傅里叶逆变换（1）

--3.1.3 周期傅里叶逆变换——周期傅里叶逆变换（2）

--3.1.4 无理频谱的非周期性

-第3章周期信号分析原理--第十三周作业

-第十四周

--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（1）

--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（2）

--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（3）

--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱（二）——运算型周期信号的无理频谱（4）

--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱（二）——运算型周期信号的无理频谱（5）

--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱（二）——运算型周期信号的无理频谱（6）

-第3章周期信号分析原理--第十四周作业

-第十五周

--3.3.1 周期余弦窗的无理频谱

--3.3.2 中心方波的无理频谱

--3.3.2 双向方波的无理频谱

--3.3.2 原点方波的无理频谱

--3.4.1 矩形窗逆变周期信号

--3.4.1 矩形谱窗有限逆变

--3.4.1 方波信号无理频谱的有限逆变

--3.4.2 方波信号无理频谱的无穷逆变（1）

--3.4.2 方波信号无理频谱的无穷逆变（2）

-第3章周期信号分析原理--第十五周作业

2.5.3 离散傅里叶函数笔记与讨论

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