当前课程知识点：动态测试与分析（上） >  第二章 信号分析函数 >  第十周 >  2.4.8 正弦比函数——正弦比函数5

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2.4.8 正弦比函数——正弦比函数5

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2.4.8 正弦比函数——正弦比函数5课程教案、知识点、字幕

下面我们来看正弦比函数它是这样一个表达

它是正弦两个正弦函数相比

实际上我们可以用级数来表达它

而且它可以表达成一个我们在之前的课程里边

曾经介绍到一个特殊的余弦型信号就是类脉冲信号

因为类脉冲信号其实就是一个级数

所以它实际可以用一个类脉冲信号来表达

下面我们来看一下

单位下沉类脉冲是这样

就是说正弦比函数

这是正弦比函数

这是正弦比函数

它可以表达成一个单位下沉的类脉冲

什么叫单位下沉实际上就是有一个-1

有一个-1它往下移动了-1个单位

是这样子的

它的单位下沉

类脉冲是怎么来的我们来看一下

这个根据它的定义R(t)就是这个正弦比函数

我们可以把它稍微的分解一下这个

我们把sin里边的角度分解成πt/T

然后再加上π

因为这里被拿走了一个拿走了一个πtT

所以里边会剩下k-1个t/T

这是分子可以这样的拆开

把它的角度现在分母我们不变

这是πt/T

看一下我们这个时候

这是一个正弦的一个和角度的一个正弦

这个时候我们把它拆开根据三角函数的关系

我们把它拆开以后再写一下

它就是等于sinπt/T

然后cosπ 然后是(K-1)t/T

然后它会加上一个cosπt/T

再乘上sinπ(K-1)t/T

这是分子 分子就是这样

下面我们再看一下分母

这时候分母不变写过来就行了

这个公式第一项是这个

sin的πtT可以和分母可以先相约

然后剩下一个cos函数

第二项它这个分子是sin和cos相乘

我们可以利用三角函数积化和差的公式把它化开

最后可以写成这样

这边就写成了cosπ(k-1)然后t除T是这样

然后再加上这一项

这一项用积化和差

它应该是二分之一的两个sin函数之和

这个sin函数角度是它们两个相加

这样加起来又补回去了

它所以等于是πKt/T然后再加上sin

它们两个相减 减去一个

减完了以后这个就变成了K-2了

所以是π(K-2)t/T是这样

前面有个二分之一就除以一个sinπt/T

是这样就化成了这么一个公式

这个公式上边第一项第一项我们看出来它们相除

除完之后又是一个正弦比函数

而这边除了第二项除了以后也是一个正弦比函数

只不过第一项第一个正弦比函数的倍波数为K

而第二个正弦比函数的倍波数为K减2

所以我把它就可以简化成(K-1)t/T

再加上二分之一的正弦比函数

再加上一个二分之一的正弦比函数

但是这个正弦比函数它的K

我们打一个括号来表示它的是新的K

新的K等于原来最原始的那个K-2是这个情况

然后从这个公式里边

因为左右有一个RT(t)右边也有一个RT(t)

这个时候我们可以把它解出来

可以解出RT(t)就应该等于是

因为两边同乘以一个2再把这个减过去

那边就成了它左边就成了它然后右边都乘了2

这个是cos两倍的cosπ(K-1)t/T

然后再加上RT(t)然后是这个新的倍波数

应该是原始的倍波数减2就前一个倍波数减2

这样我们实际这是一个正弦比函数的一个递推公式

它是它的递推公式

递推公式就说递推一步它会变什么

递推一步它会倍波数它会减2

然后它会多出来一项2倍的余弦函数

这个余弦函数它是π(K-1)

就是原来它这个最原始的这个K

或者就是它递推以后得到的

这个正弦比函数的倍波数K-2

然后它比它多一个 这是K-1

就(K-2)+1回来就得到它是这样的

所以它有一个递推公式

这个时候我们递推一步

可以再进一步体会一下

所以这个RT(t)递推一步它原来的cos不变

乘π(K-1)然后t/T

然后这个是一个正弦比函数进入递推

会出来一个两倍的cosπ这里是K需要减一个数

我们先等一下然后是t/T

然后再加上还是一个正弦比函数RT(t)

这个只不过这时候

这个新的K它会在原来的K上再减个2就变成了减4

减4然后它的这个多出来这个余弦函数这里边的K

应该是这个K再加1

就加1就变成了减3

是这样递推下去

这样一直递推下去

如果推到最后不是因为K是个奇数

推到最后一步的时候会剩下1减去的都是偶数

因为每递推一次这个会2 4 6 8

会这么一直变化下去

我们看这样我们就可以实际得到最后一步它的情况

这推到最后一步我们看一下

最后一步递推这个RT(t)会变成什么

首先2倍的cos这个我们写下来

π(K-1)这是刚才t/T这是刚才提到的

会加上一个两倍的cosπ(K-3)这又递推了一步

这样会一直加下去

加到最后一步它的会剩下一个cos2π

2倍的cosπ

然后这边我们看

因为最后K被变到1的时候

它前边出来这个cos应该是1再加一个所以应该是2

最后一个cos函数是2t/T

最后它由于递推到最后一步

这个K变成了1

我们再来看这个正弦比函数当这个K变成1的时候

它那个分子分母实际就是一样的所以它等于1

我们在最后这一项就应该是加上一个1

这是最后一项加上一个1

这是一个级数和再加1是这样

然后这个加1其实我们可以把它变一下

加1是什么

我们可以把它变成两个cosπ再乘个(0)t/T

这是一个零cos实际它是一个2

因为2cos为1是2

相当于把它变成了一个加2变成加2以后就多了一个1

这样我们再给它减去一个1

所以这个就变成了加这个再减这个

为什么要这么干

我们这个数就从0 2 4 6 8

一直到最后一个偶数是k减1最后一个偶数

因为这个算偶数变化的

你K是一个奇数它减去一个奇数它应该是个偶数

最后就变到K减1是个偶数从0往上变的

我们把这个级数再倒过来写

我们倒过来可以就写成了

等于是RT(t)

2提到外边来

它就应该是cos2π(0)t/T

然后再加上cos2π(1)t/T

然后再加上cos2π

这个2π这个就变成(2)t/T

这么一直加下去加到最后一项cos2π然后(K-1)

因为前面提了个2出来

所以它这个要除2

t/T是这样

这是它把括起来

最后还要在这个的基础上再减去一个1

最后是这么一个结果

跟这边那个函数相比

实际上我们把它这个2每一个数字都提了一个2出来

所以里边的数全部要除2是这个样子的

最后我们这里就有一个连续按步长1变化的一个奇数

这样的话我们就把这个可以写成一个离散内积的形式

最后

我们就得到它的最后形式RT(t)等于两倍的cos2π(m/T)t

然后是内积

然后这个m是从哪儿变呢

是从0到

我们来看一下

刚才我们曾经定义了这个(K-1)/2叫半倍波数

我们给它已经有名字了叫Kh

所以它最后的变化结果是Kh这里m是整数

所以这是个离散内积它就是一个和式

当然它最后是要减掉1的是这样子

这个公式最好不要这么写

把减1写到这儿 这个擦掉

然后它这里边的m等于是I

所以正整数的是这样

这个式子就在我们前边的课程里边曾经讲到过

这个形式的离散内积它称之为类脉冲

这个称之为类脉冲

所以正弦比函数虽然是两个正弦的比

但是最后它还跟类脉冲有一个完全一一对应的关系

所以这个时候我们就得到了它的一个级数表达

类脉冲本身是一个级数

动态测试与分析（上）课程列表：

绪论

-课程简介

--教材简介

第一章 动态信号与信号内积

-第一周

--1.1.1 动态信号——动态信号与信号内积

--1.1.1 动态信号——动态信号定义

--1.1.1 动态信号——动态信号分类

--1.1.2 时不变信号——余弦信号

--1.1.2 时不变信号——余弦信号的复数表示

--1.1.2 时不变信号——余弦信号的频域特征

--1.1.2 时不变信号——发动机振动加速度信号

--1.1.2 时不变信号——汽车怠速的车内噪声信号

-第1章 动态信号与信号内积--第一周作业

-第二周

--1.1.3 时变信号——时变信号定义

--1.1.3 时变信号——车辆旁通声信号

--1.1.3 时变信号——曲轴加速扭振信号

-第三周

--1.1.4 周期信号与非周期信号——动态信号分类2

--1.1.4 周期信号与非周期信号——非周期信号及其离散化

--1.1.4 周期信号与非周期信号——周期信号及其离散化

--1.1.4 周期信号与非周期信号——周期叠加定理

--1.1.5 余弦型信号——余弦型信号

--1.1.6 类脉冲激励信号——类脉冲激励信号

-第1章 动态信号与信号内积--第三周作业

-第四周

--1.2.1 内积规则——内积规则

--1.2.1 内积规则——多信号内积

--1.2.1 内积规则——内积嵌套

--1.2.1 内积规则——连续内积与离散内积的极限等价关系

--1.2.1 内积规则——周期信号的极限等价关系

--1.2.1 内积规则——内积与矢量积

--1.2.2 相关内积变换——镜像信号

--1.2.2 相关内积变换——相关内积

--1.2.2 相关内积变换——相卷内积

-第1章 动态信号与信号内积--第四周作业

第二章 信号分析函数

-第五周

--2.1.1 窗函数——窗函数特征

--2.1.1 窗函数——矩形窗函数

--2.1.1 窗函数——窗函数的形成

--2.1.2 余弦窗函数

--2.1.3 信号加窗

--2.1.4 高斯窗函数

--2.1.5 窗函数的离散化

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——周期构造函数

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——大周期信号的取值定理

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——大周期信号的中心周期取值

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——整周期构造不变形

--2.2.2 周期窗函数

--2.2.3 加窗周期信号的加窗构成

-第2章 信号分析函数--第五周作业

-第六周

--2.3.1 有限冲激函数

--2.3.2 无限冲激函数——无限冲激函数

--2.3.2 无限冲激函数——栅栏函数

--2.4.1 相位函数——相位函数1

--2.4.1 相位函数——相位函数2

--2.4.1 相位函数——相位函数3

-第2章 信号分析函数--第六周作业

-第七周

--2.4.2 科思克函数——科思克函数1

--2.4.2 科思克函数——科思克函数2

--2.4.2 科思克函数——科思克函数3

--2.4.3 辛克函数——辛克函数1

--2.4.3 辛克函数——辛克函数2

--2.4.3 辛克函数——辛克函数3

-第2章 信号分析函数--第七周作业

-第八周

--2.4.4 辛克函数——辛克函数4

--2.4.4 辛克函数——辛克函数5

--2.4.4 辛克函数——辛克函数6

--2.4.5 辛克函数——辛克函数7

--2.4.5 辛克函数——辛克函数8

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数1

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数2

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数3

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数4

-第2章 信号分析函数--第八周作业

-第九周

--2.4.7 正弦比函数——正弦比函数1

--2.4.7 正弦比函数——正弦比函数2

--2.4.7 正弦比函数——正弦比函数3

-第十周

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数4

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数5

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数6

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数7

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数8

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数9

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数10

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数11

-第十一周

--2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（1）

--2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（2）

--2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（3）

--2.5.2 时续傅里叶函数——时续傅里叶函数（1）

--2.5.2 时续傅里叶函数——时续傅里叶函数（2）

--2.5.3 离散傅里叶函数

-第2章 信号分析函数--第十一周作业

-第十二周

--2.5.4 傅里叶谱——傅里叶谱定义

--2.5.4 傅里叶谱——傅里叶谱的可逆变换

--2.5.4 傅里叶谱——可逆变换的快速算法

--3.1.1 周期傅里叶变换——周期傅里叶变换（1）

--3.1.1 周期傅里叶变换——周期傅里叶变换（2）

-第2章 信号分析函数--第十二周作业

第三章 周期信号分析原理

-第十三周

--3.1.2 周期傅里叶变换（第二部分）——周期傅里叶变换（3）

--3.1.2 周期傅里叶变换（第二部分）——周期傅里叶变换（4）

--3.1.3 周期傅里叶逆变换——周期傅里叶逆变换（1）

--3.1.3 周期傅里叶逆变换——周期傅里叶逆变换（2）

--3.1.4 无理频谱的非周期性

-第3章 周期信号分析原理--第十三周作业

-第十四周

--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（1）

--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（2）

--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（3）

--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱（二）——运算型周期信号的无理频谱（4）

--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱（二）——运算型周期信号的无理频谱（5）

--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱（二）——运算型周期信号的无理频谱（6）

-第3章 周期信号分析原理--第十四周作业

-第十五周

--3.3.1 周期余弦窗的无理频谱

--3.3.2 中心方波的无理频谱

--3.3.2 双向方波的无理频谱

--3.3.2 原点方波的无理频谱

--3.4.1 矩形窗逆变周期信号

--3.4.1 矩形谱窗有限逆变

--3.4.1 方波信号无理频谱的有限逆变

--3.4.2 方波信号无理频谱的无穷逆变（1）

--3.4.2 方波信号无理频谱的无穷逆变（2）

-第3章 周期信号分析原理--第十五周作业

2.4.8 正弦比函数——正弦比函数5笔记与讨论

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