2.4.1 相位函数——相位函数1在线视频

好 同学们我们上一节介绍完了冲激函数

包括单位冲激函数和无限冲激函数

我们这一节开始一个新的函数

我们来讨论一下尺度函数

尺度函数

尺度函数关于这个尺度指的是什么

这个尺度指的是

有一类的函数它是波动的

尺度函数的尺度指的是这一类波动函数

它的这个波的宽和窄

波动的宽或者窄

所以它指的是这个就指的是波的尺度

对于时域的来讲

实际上一个波的尺度就是指的它的周期

对于空域来讲

实际上一个波的大小就指的是它的波长

这个我们把它统一称之为尺度

这就是尺度函数它的来历

尺度函数有不同不一样的

在我们这个里边根据我们课的内容

或者跟动态信号分析相关有四 五个

我们这里下面分别的加以介绍

首先我们介绍相位函数

相位函数的定义是这个样子的

它是ψ(t)等于是ejωt是这样

t在这里是一个二义量

它可以是实数也可以是整数

ω是一个常数

它也会是一个实数

可以为正也可以为负

它是这么的一个函数

由于这个函数它是一个复数

这个复数的模为1

只有相位是变化的

所以模是不变的是1

我们把这样的函数称之为相位函数

因为它反映出来的特性

主要就是复数域的一个相位特性

这个函数就是这个ψ的这个函数

这个就称之为相位函数

这个就称之为相位函数

这个相位函数它和三角函数有一个关系

与三角函数的一个关系是这样子的

它就是ψ(t)应该是等于是

cosωt再加上jsinωt

是这样的三角函数的关系

这个关系它正好建立起了一个复的指数函数

也是一个复的三角函数组合的一个关系

我们来看一下

这个关系是一个非常经典的关系

称之为欧拉公式

称之为欧拉公式

欧拉公式它是非常严格的数学定义

我们来看一下它的这个数学的关系

我们来做一个简单的证明

就是设这个ejα等于是X(α)再加上jy(α)

意思就是本来它是一个相位函数

相位函数我们把它整个相位值看成了一个值

我们来看

它是一个复数

复数总会存在一个实部和一个虚部

这样的设应该是合理的

在设这个的基础之上

这相当于我们得到的公式1 式1

我们对式1求导

求导我们就可以得到jejα就等于是

dx(α)d(α)再加上jdy(α)

然后dα是这样子的

这是对1求导

我们同样的对1还可以乘一个虚数j

乘虚数j

乘以j完了以后

对1乘以j完了应该是jejα

等于是jx(α)再减去y(α)是这样的

因为这个j乘以一个j的话它变成了负1

是这样

这里我们就得到2 得到3

得到2和3对吧

2代入3我们就可以得到

让它实部和实部相等

虚部和虚部相等

我们实际上就可以得到了

这个dx(α)/dα等于是这个实部

这边的实部是负的y(α)是这个

然后虚部是dy(α)/dα等于是X(α)

我们得到了一组微分方程

我们如果能够把这个微分方程解出来

就可以回答它

它应该等于什么

为了解这个微分方程

我们把1做一个共轭相乘

1共轭相乘

1共轭相乘的结果是这样的

就是ejα乘以e负jα就等于是这边的

X(α)加上jy(α)乘以X(α)减去jy(α)

因为这是它的共轭

它的共轭是它

它的共轭是它

所以一个共轭相乘

乘完了的结果我们可以得到

这边 左边乘完了

因为指数相加它为1的零指数

所以左边等于1

右边这是二数和与二次差之积

应该是他们的平方差

因为平方差j做平方正好是负1

所以变成了平方和

所以最好得到的是

X平方(α)加上y的平方(α)

是这样子的

从这里边我们可以导出y的表达

就说y(α)应该等于是正负的根号1减去X平方(α)

我们是从这式子来得到的

是这样

这样我们就得到了公式4

我们把这个公式4代入这个式子

就是这个微分方程的第一个方程

比如说我们把它叫做a这个叫做b

我们把4代入公式a

这是微分方程的第一个方程

就可以得到dx(α)

然后是根号下1减去X平方(α)

等于是负正dα

得到这个式子

就是把这个式子带到这个式子

实际上它y带进来以后

把根号弄到这边把dα挪到这边来

它们的正负号也留到这边

正负和这个负变成了负正

这个处理是这么个结果

我们取不定积分

我们可以把它提出来

这个不定积分实际上积出来是X的arccosx(α)

是它的

这边等于是负正的α再加上一个积分常数C

如果我们找到这个积分常数

这个函数我们就可以把它通过反函数再反出来

为了找到这个积分常数

我们令α等于零

我们把α等于零这件事带到我们最早的这个公式1里边

我们看可以得到什么结果

α等于零让它代入1

就可以得到左边应该等于1

右边是X(0)加上jy(0)

得到这个结果

从这个结果里边我们看实部和实部相等

虚部和虚部相等的话

我们可以得到X(0)这是实部

它左边的实部就是1

应该等于1 X(0)

把这个再代入上面这个式子

把这个式子再带进来 是这样

因为注意这里α是取的0

所以我们可以得到arccos

这是X(0)等于1

然后这边的α是0再加上

就剩下了C

是这个刚才那个式子

这里边我们就可以知道

从这里可以看出来

这个C应该是等于2kπ

k是一个整数

我们把这个C再代到我们刚才求得的最后一个式子

我们把它认为是式5的话

我们把它代入5就可以得到了

这个arccos(X(α))等于是负正α再加上2kπ

是这样

然后我们求它的反函数就可以得到

X(α)等于是cos(-+α+2kπ)

在这里要注意到k是一个整数

由于cos是以2π为周期的函数

所以这个对于整倍数的周期它可以去掉

另外一个cos函数是一个偶函数

所以这个正负也可以去掉

最后就剩下了cosα

如果把这个结果再代入3再代回3去

我们就可以得到了y(α)等于是负的dx(α)/dα

把这个代进来就可以得到了等于是sinα

最后所以我们可以得到我们前面的这个

ejα等于是cosα加上jsinα

证毕

这是最后结果

其实这就是欧拉公式

所以欧拉公式它是一个严格的数学公式

它建立起了复指数函数和三角

就是复三角函数

这个复三角函数组合的一个关系

在我们方便的时候

我们可以用复指数函数来运算

在另外的时候

我们可能方便的是用三角函数来进行运算

这个时候我们可以根据需要在三角函数

就是复三角函数组合与复指数函数之间

建立起一种关系

所以我们说这个相位函数它

由于它定义的是一个纯相位的一个函数

是个复指数函数

这个时候它就可以用三角函数来替换

我们通过三角函数就可以看到它的图象

我们来看一下

现在我们看到的就是相位函数的图象

上面是它的实部下面是它的虚部

它的实部是一个余弦函数

虚部是一个正弦函数

这里标出了它的尺度

正好是因为它是一个时域的一个函数

因为现在它的时间是秒

它的尺度就正好是它的周期

对于这个具体的函数来讲它的周期是0.1秒

是这样子的对这个尺度

由于我们现在我们的这个相位函数是ejωt

它根据欧拉公式它可以写成是

cosωt再加上jsinωt是这样子的

这个时候它的周期实际上就是我们所说的尺度

它的周期是我们的尺度

对于这个函数它的周期来说

就它的ω如果写成是2πF的话

这是它的频率

实际上它的倒数就是它的周期

所以周期是等于是F分之一

是这样子的

也就是我们所说的尺度等于尺度a

这样的话尺度a如果它就等于是F分之一

实际上它就等于用这个式子导出来

它就等于是2π除以ω是这样子的

对于它来讲它的尺度就是

所以我们说这个相位函数它是一个尺度函数

它的尺度为2π与这个相位函数前面有个系数之比

现在这个函数我们来讨论一下它的单位

由于这是个相位函数

所以ω乘t它的单位应该是弧度是rad

它是弧度

如果t为时间秒

这个ω就会为圆频率每秒弧度

这样他们二者之积正好是弧度是这样的

当然这个t你也可以认为是其他的单位

随之ω单位也会随之变

总的应该要求ω乘t的单位应该是弧度

这是它的量纲的一个分析