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2.2.1 加窗周期信号的周期构造——周期构造函数在线视频

2.2.1 加窗周期信号的周期构造——周期构造函数

下一节:2.2.1 加窗周期信号的周期构造——大周期信号的取值定理

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2.2.1 加窗周期信号的周期构造——周期构造函数课程教案、知识点、字幕

好同学们上一节我们介绍了窗函数

那么这一节我们继续介绍信号分析函数

里边一个重要的一个函数就是周期构造函数

周期构造函数它是将一段信号

拿来构造出一个数学上严格的周期信号

它是这么样的一个函数下面我们来看

在介绍周期构造函数之前

我们要先介绍一下内积的

就是无穷离散内积的两个特性

其中一个就是无穷离散内积的方向无关性

方向无关性

它这个方向无关性说的是什么意思呢

就是一个无穷的离散信号

如果给它里边的自变量变负完了以后

我们再做一个无穷内积

它应该与这个自变量不变负

就是不做镜像这是它的镜像信号

就是离散信号的镜像信号的无穷离散内积

应该给它与它的原像信号的无穷离散内积相等

xd(K) 然后是k[∞] 是这样子的

实际上就是相当于它改变了它的方向

与它的方向无关是这样子的

它为什么是这样呢

其实我们可以来看一下

如果我们令Ip等于

镜像信号的无穷离散内积的话

它是这样我们做一个变量替换

我们令m等于是负k

那么我们可以又看到m和k的状态

当k等于负无穷的时候

那么m是等于是正无穷的

当k等于是正无穷的时候m等于是负无穷

当k等于正1的时候m是等于是负1 是这样子的

那么对于这个无穷离散来讲它是一个和式

进行这个变量替换以后要对这个

把这个变量替换成了m

那么这个范围也得替换成m的范围

原来k的范围是负无穷到正无穷然后递增正1

而现在是从正无穷到负无穷递增负1

那么它是一个做减的一个方式

就是从正无穷一直减到负无穷

对于无穷内积来讲它都是无穷项和无穷项相加

至于先从这边开始加

还是先从这边开始加其实它的结果都是一样的

所以我们把这个进行一个变量替换以后

这个Ip它就等于是xdm 然后对m求无穷的内积

因为这个范围如果是范围是倒过来的话

因为它的那个增量也负了

如果把增量变正它的范围就要翻个个儿

那么所以也是写成这样的形式

这个我们就证明了刚才它的无穷离散内积

它的方向无关性

以后我们就可以用这个结论

当它的对于它的方向如果是变了负

它的结果跟它是为正的时候是一样的

所以它与方向无关对于无穷离散内积

下面还有一个还有一个特性无穷离散内积

就是无穷离散内积的初值无关

初值无关说的是什么意思呢

就是说当有个无穷内积它在做内积之前

它有一个初值可以加m

但是这个初值不管是怎么样

它其实不影响它的结果

它还是跟没有初值式的时候是一样的

就是这样的

我们用刚才的办法来看一下

也是做个变量替换

我们先令左边等于Ip 是xd(k+m)

这个时候的k无穷

这个时候我们做一个变量替换

比如说做一个n等于是k加上m

那么这个时候我们可以看到

就是n和原来的内积变量它是一个正的关系

所以它是一样的

就是说当k和n的关系是

当k为负无穷的时候n也为负无穷

n为正无穷的时候它也为正无穷

对吧 k是正1 它也是会正1

也是这样子的也是正1 它是加的

所以做这个变量替换以后

它就可以写成是xd(n)

然后是n的无穷内积这里是Ip的结果

所以它是这样的

实际上就是说对一个无穷的内积来讲

它是一个和式是有无穷多项和

至于你从中间哪一项开始加

其实你把所有的和式都加起来以后

它的结果还是一样的

所以它与这个初值无关

是这样子的

在介绍完了无穷内积这两个特性以后

这个时候我们就可以再来看周期构造函数

周期构造函数

那么周期构造函数定义是这样子的

它是XwT(t)等于是Xw

这是一个加窗信号它的一个延迟

一个整周期延迟

这里t是实数域 m是整数域

而这个T它是一个常数

它是属于一个正实数

这是周期构造函数的定义它是什么意思呢

就是用一个加窗信号

再做一个大T的延迟

持续的大T延迟然后再把它叠加起来

得到的这个结果

它就是我们所说的周期构造信号

而这个信号它正好是周期为大T的周期信号

周期为T的周期信号

这个T是我们任给的

那么你给多大它就是多大是这个意思

只是它要满足是一个正实数就可以了

那么为什么只要这么来做

它就是一个周期信号呢

我们可以来做一下证明

对于任给的一个正实数U

我们把它作为这个自变量t的一个增量

我们看会得到什么样的结果

增量你要考虑它的正负

我们写出来了它就是Xw(t)正负U

再减去mT 然后是m的无穷内积

注意这个m是一个离散的

是这个情况

我们把它整理一下

得到是Xw(t)减去m负正U除以T 然后乘T

这是还是无穷内积

我们做这个证明实际上我们希望在这个

它的自变量在增加了大U

增加或者减少了大U的时候

我们它还能是跟原来相等

那么就证明这个U是它的任意的一个周期

所以为了使得和这个原来那个相等

我们是希望它的右边的形式成为这个形式

要想成为这个形式

我们实际上我们可以把它写成是

Xw(t-(m-+k)T) 在这里mU

这里k是等于是U除以T

那么要想这个形式跟这个形式要想相等

实际上我们看到

我们刚才曾经给出了这个无穷离散内积

这是个无穷离散内积它的初值无关

对于这个无穷内积来讲

它这里无穷内积的变量是m

它这里有个初值k

如果现在这个初值k是个整数的话

因为在它这里的与初值无关的话

这个k 这个m都是应该是整数

因为它m是个整数

所以如果它是个整数的话它和初值就无关

那么无关这个时候

就可以写成Xw(t-mT)

然后它是无穷内积

那么这里要求k它是一个整数是个正的

就可以了

如果是这样

我们就可以得到了这个跟它上面是相等的

那么它就是等于原来这个

那么这就说明现在我们任给一个正实数

那么它作为这个自变量的增量以后

它在满足这个条件的前提下面

它跟原来这个周期构造

出来的这个信号是相等的

那就说明这个U就在满足这个条件的时候

正好是它的是个任意周期

所以U为任意周期

但是这个时候的U它要满足的条件

就是这个时候U等于是kT

而这个k是一个正整数是这样子的

那么它的最小值就应该是这个函数的周期

所以它的最小值U 这个时候是等于T的

是为XwT(t)的周期

这我们就证明了这个

这样我们就证明了周期构造出来的函数

按照这种方式构造出来的函数

它是一个周期为大T的周期信号是这样的

那么在构造这个周期函数的时候

我们这个T是要事先确定的

最常见的确定方式是有两种

因为T它是一个正实数

其实你任给什么正实数的话

它都是它的周期

那么最常见的或者是常用的

那么是等周期构造

什么意思呢就是把这个T 大T

给的和这个加窗信号的窗宽一样

另外一个就是长周期构造

就是这个大T是大于这个窗宽的

它们两个合起来

我们可以统称为大周期构造

那么就是说T是大于等于Tw

就是这个周期是大于等于窗宽的

其实它就包含这两种情况

下面我们来看一下

大周期构造出来的大周期信号

首先我们来看一下周期信号

在周期构造函数里边

在无穷内积里边有一个加窗信号的延迟

这就是延迟的逐步延迟的一个图象

这是加窗信号这是在没有延迟的时候

它的中心位于零点

在延迟以后它每一步它延迟一个大T

如果把它加起来正好就是一个周期构造函数

是这样的这是它周期构造函数

无穷内积里边的加窗信号的延迟情况是这样的

加起来它就是一个周期信号

从这个图上我们可以基本有一个初步的概念

就这样

现在我们来看一个余弦信号

加窗余弦信号它的等周期构造

上面是余弦信号

这个中间是加窗余弦信号

把它拿来进行等周期构造

构造出来的等周期信号就是下面这个图

我们可以看到它是一个周期信号

它的周期是窗宽是一样的周期等于窗宽

这是一个等周期构造

它构造出来的就是这么一个信号

这个信号是由同样一段的余弦信号

不断的重复来构造的

它具有余弦信号的一些特点

但是它又不能看成一个完全的余弦信号

是这样子的

刚才我们看到的是矩形窗的等周期构造

下面我们来看看余弦窗信号的等周期构造

同样是余弦信号它加余弦窗以后

它形成这样一个余弦窗的余弦信号

来进行等周期构造以后就像下图这样

它就是相当于它的在窗宽

因为它是等周期构造

它是在窗宽范围这一段信号不断的重复

来构成一个周期信号的

这是两个等周期构造的例子

下面我们可以看到长周期构造的例子

这是一个矩形窗余玄信号的长周期构造

大家可以看到由于是长周期构造

就是周期比窗宽要大

那么这个时候在它的波形中间

就会出现一段零信号是这样的信号的构成

它就是一段信号

它实际上比窗宽更长的一段加窗信号

那包括一段零信号这样反复的重复

来构成的一个周期信号

这个我们已经证明过它是一个严格的

在数学上是一个严格的周期信号

那么下面我们还可以看到余弦窗的长周期信号

这是余弦信号加余弦窗

然后进行长周期构造就是周期比窗宽要大

这样构造出来的周期信号是这样

它中间有一段零

等周期构造出来的周期信号

和长周期构造出来的周期信号

都是将来我们要对动态信号

进行分析的一个基础性的信号

因为我们实际上

如果要对原始信号进行分析的话是不太可能的

我们只能对它的那个

从它的加窗信号里边构造出周期信号

来对它进行分析

才可以得到它原始信号里边的一些有用的信息

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绪论

-课程简介

第一章动态信号与信号内积

-第一周

--1.1.1 动态信号——动态信号与信号内积

--1.1.1 动态信号——动态信号定义

--1.1.1 动态信号——动态信号分类

--1.1.2 时不变信号——余弦信号

--1.1.2 时不变信号——余弦信号的复数表示

--1.1.2 时不变信号——余弦信号的频域特征

--1.1.2 时不变信号——发动机振动加速度信号

--1.1.2 时不变信号——汽车怠速的车内噪声信号

-第1章动态信号与信号内积--第一周作业

-第二周

--1.1.3 时变信号——时变信号定义

--1.1.3 时变信号——车辆旁通声信号

--1.1.3 时变信号——曲轴加速扭振信号

-第三周

--1.1.4 周期信号与非周期信号——动态信号分类2

--1.1.4 周期信号与非周期信号——非周期信号及其离散化

--1.1.4 周期信号与非周期信号——周期信号及其离散化

--1.1.4 周期信号与非周期信号——周期叠加定理

--1.1.5 余弦型信号——余弦型信号

--1.1.6 类脉冲激励信号——类脉冲激励信号

-第1章动态信号与信号内积--第三周作业

-第四周

--1.2.1 内积规则——内积规则

--1.2.1 内积规则——多信号内积

--1.2.1 内积规则——内积嵌套

--1.2.1 内积规则——连续内积与离散内积的极限等价关系

--1.2.1 内积规则——周期信号的极限等价关系

--1.2.1 内积规则——内积与矢量积

--1.2.2 相关内积变换——镜像信号

--1.2.2 相关内积变换——相关内积

--1.2.2 相关内积变换——相卷内积

-第1章动态信号与信号内积--第四周作业

第二章信号分析函数

-第五周

--2.1.1 窗函数——窗函数特征

--2.1.1 窗函数——矩形窗函数

--2.1.1 窗函数——窗函数的形成

--2.1.2 余弦窗函数

--2.1.3 信号加窗

--2.1.4 高斯窗函数

--2.1.5 窗函数的离散化

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——周期构造函数

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——大周期信号的取值定理

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——大周期信号的中心周期取值

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——整周期构造不变形

--2.2.2 周期窗函数

--2.2.3 加窗周期信号的加窗构成

-第2章信号分析函数--第五周作业

-第六周

--2.3.1 有限冲激函数

--2.3.2 无限冲激函数——无限冲激函数

--2.3.2 无限冲激函数——栅栏函数

--2.4.1 相位函数——相位函数1

--2.4.1 相位函数——相位函数2

--2.4.1 相位函数——相位函数3

-第2章信号分析函数--第六周作业

-第七周

--2.4.2 科思克函数——科思克函数1

--2.4.2 科思克函数——科思克函数2

--2.4.2 科思克函数——科思克函数3

--2.4.3 辛克函数——辛克函数1

--2.4.3 辛克函数——辛克函数2

--2.4.3 辛克函数——辛克函数3

-第2章信号分析函数--第七周作业

-第八周

--2.4.4 辛克函数——辛克函数4

--2.4.4 辛克函数——辛克函数5

--2.4.4 辛克函数——辛克函数6

--2.4.5 辛克函数——辛克函数7

--2.4.5 辛克函数——辛克函数8

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数1

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数2

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数3

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数4

-第2章信号分析函数--第八周作业

-第九周

--2.4.7 正弦比函数——正弦比函数1

--2.4.7 正弦比函数——正弦比函数2

--2.4.7 正弦比函数——正弦比函数3

-第十周

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数4

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数5

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数6

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数7

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数8

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数9

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数10

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数11

-第十一周

--2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（1）

--2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（2）

--2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（3）

--2.5.2 时续傅里叶函数——时续傅里叶函数（1）

--2.5.2 时续傅里叶函数——时续傅里叶函数（2）

--2.5.3 离散傅里叶函数

-第2章信号分析函数--第十一周作业

-第十二周

--2.5.4 傅里叶谱——傅里叶谱定义

--2.5.4 傅里叶谱——傅里叶谱的可逆变换

--2.5.4 傅里叶谱——可逆变换的快速算法

--3.1.1 周期傅里叶变换——周期傅里叶变换（1）

--3.1.1 周期傅里叶变换——周期傅里叶变换（2）

-第2章信号分析函数--第十二周作业

第三章周期信号分析原理

-第十三周

--3.1.2 周期傅里叶变换（第二部分）——周期傅里叶变换（3）

--3.1.2 周期傅里叶变换（第二部分）——周期傅里叶变换（4）

--3.1.3 周期傅里叶逆变换——周期傅里叶逆变换（1）

--3.1.3 周期傅里叶逆变换——周期傅里叶逆变换（2）

--3.1.4 无理频谱的非周期性

-第3章周期信号分析原理--第十三周作业

-第十四周

--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（1）

--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（2）

--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（3）

--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱（二）——运算型周期信号的无理频谱（4）

--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱（二）——运算型周期信号的无理频谱（5）

--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱（二）——运算型周期信号的无理频谱（6）

-第3章周期信号分析原理--第十四周作业

-第十五周

--3.3.1 周期余弦窗的无理频谱

--3.3.2 中心方波的无理频谱

--3.3.2 双向方波的无理频谱

--3.3.2 原点方波的无理频谱

--3.4.1 矩形窗逆变周期信号

--3.4.1 矩形谱窗有限逆变

--3.4.1 方波信号无理频谱的有限逆变

--3.4.2 方波信号无理频谱的无穷逆变（1）

--3.4.2 方波信号无理频谱的无穷逆变（2）

-第3章周期信号分析原理--第十五周作业

2.2.1 加窗周期信号的周期构造——周期构造函数笔记与讨论

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