当前课程知识点：动态测试与分析（上） >  第二章 信号分析函数 >  第十一周 >  2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（1）

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2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（1）

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2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（1）课程教案、知识点、字幕

好 同学们

上一节我们已经介绍了

函数的大部分的函数

还剩下最后一个函数

那就是傅里叶函数

我们要继续给大家介绍

傅里叶函数它包括三个函数

一个是连续傅里叶函数

还有一个时续傅里叶函数

另外还一个离散傅里叶函数

咱们从连续傅里叶函数开始

傅里叶函数里边

我们先从连续傅里叶函数开始

连续傅里叶函数开始

首先我们看一下它的定义

我们用符号ψc然后是(f,t)

来表示连续傅里叶函数

它的定义是它等于是ej2πft是这样子的

在这里这个f和t都是实数

所以它是不管是在哪一个自变量方向上面都是实数

所以它是一个连续的三维函数

它有两个自变量

然后如果我们这个时候

用欧拉公式给它展开

它还可以写成是

等于是cos2πft再加上jsin2πft

所以这个时候它的实部是一个余弦函数

虚部是一个正弦函数

因为它有两个自变量

所以这个也叫双余弦函数

这个叫双正弦函数

我们来看一下它的图象

现在我们看到的这个画面上看到

是连续傅里叶函数它的实部

由于它是双余弦函数

在这个f的方向看的是个余弦函数

在这个时间的方向t的方向

看的也是一个余弦函数

所以它是一个双余弦函数在这里

在这里我们把f是定义为频率的

它的单位是赫兹

t是时间它的单位为秒是这样的

所以在两个方向上我们看的都是余弦函数

再看它的虚部

现在画面上看到的是傅里叶函数

就是连续傅里叶函数它的虚部

它是一个双正弦函数

不管是从频率f的方向还是从时间t的方向

看见它都是一个正弦函数

所以由于它是有两个自变量

所以它反映出来是一个三维函数

它是一个曲面是这样子的

我们接着来看这个连续傅里叶函数

它还是一个相位函数

我们曾经以前给大家介绍过相位函数

ψ(t)这是一个相位函数

所以我们这里也用ψ来命名它

只是为了区别

我们就用了一个下标c来区别

它也是一个相位函数

所以我们可以给它写成一个相位函数的形式

比如说我们写成了ψ(t)

就意味着它的这个ω

ω是等于的2πf是这个

所以这个这个时候就可以相当于

它跟这个是对等的

跟这个连续傅里叶函数

连续傅里叶函数还可以写成

其他的相位函数的其他形式

比如说你写成ψ(f)也可以

这个时候ω是等于是2πt的

当然还有很多很多的形式

可以ψ(ft)也是可以的

这个时候ω等于2π

当然也可以把里边常数也可以写出来

这个时候它这个ω是等于π的

这些形式实际上它们都是一样的

有不同的形式

我们在使用的过程当中

可以从方便的角度出发

可以用不同的形式来进行表达

这是这样

另外还介绍一个

它的连续傅里叶函数的一个变形

我们称之为简谐函数

简谐函数如果我们把里边的变量f

把它变成一个大F是个常数

它就是一个简谐函数

它的形式就是根据连续傅里叶函数

应该是2πFt

这个时候F是一个常数

它是一个正实数

这个时候我们把这个函数就称之为简谐函数

简谐函数一般在使用的时候

就是它的频率是固定的

它不再变化是这样子的

这是它的一个变形

这个连续傅里叶函数

因为它是一个相位函数

所以它的可计算性非常好

我们现在来看它一些计算的结果

首先我们来看它的对称自积

对称自积

什么意思

就是说我们对它做一个内积

但是它的那个内积的范围是左右对称的

把它定义是这样子的

它是Ps(f)等于是ψc(f,t)

然后t是做的是一个对称自积

我们这边写表示它这个范围

是在负二分之Ts和正二分之Ts之间

在这里ft都是实数

唯独这个Ts它是一个常数

它是一个常数

然后是一个正实数是这样的

如果现在我们把这个式子

再把它展开再积出来

我们是可以得到它的一个最终的结果

在这里Ts我们命名为就叫对称宽度

对称宽度

所以我们把它稍微的推导一下

就是说Ps(f)我们用连续傅里叶函数

我们可以把它写成这个相位函数的形式

就是比如写成ψ(t)然后Ts

写成这个相位函数就意味着

它那个相位函数里边的ω等于2πf

这个时候我们再做它的一个连续内积的话

这个是一个定积分

以前我们在分析相位函数的时候

已经给出了相位函数做连续内积的时候形式

它应该等于是它的上限值Ts除2

再减去它的下限值ψ负Ts除2

另外下面再有一个jω相除

这个jω是ψ函数里边带出来的

这个时候我们如果把这个

因为ψ函数它的负号

可以拿到那个顶上面来做共轭

在这个时候

我们另外再给它配一个2

这边再除以一个2

最后我们就可以得到

这样如果我们把这个2j

和上边的分子配在一起

它正好就是一个正弦函数

我们可以写出这个正弦函数

它等于sin然后把ωTs除2

下面的也是ω除2

因为这个2j已经配着了只剩下ω除2了

是这种情况

在这个时候我们在这分子分母上

同乘一个就是对称宽度Ts给它乘上去

乘上一个Ts乘上这个以后

在这个sin的角度和分母就相同了

相同以后它就成了一个辛克函数的形式

我们可以用辛克函数来代替它

所以它写过来就应该是一个辛克函数

辛克函数这是π Ts除2

因为辛克函数是要隐藏一个π的

在这里边没有π

所以我们跟它分子分母各配一个π

在这里在这个这里边要配一个π

这边分母上也得配π

配出来就是这个样子的

配完了就是这个样子

这个时候我们把ω带进去

就可以看到整个的结果

这个时候的ω等于是2πf

这里边π和π是消掉的2和2是消掉的

最后里边就剩下了Ts和f

最后我们写下来

它应该等于是TsSinc(Tsf)

就是说连续傅里叶函数它的对称自积

Ps(f)它最后等于一个辛克函数

这个辛克函数它又前边多了一个系数Ts

就是在函数系数是个Ts

自变量系数也多了一个Ts

我们再来看一下它的这个图象是什么样的

现在我们看到这个图象就是连续傅里叶函数

它的对称自积函数的这个图象

它是一个辛克函数

但是它比辛克函数有点不一样的

就是它的幅值最高值

就是最大值主瓣或者叫做主瓣高度

由原来的1变成了Ts

而它的这个尺度就是它的尺度

就是一个波动的长度就是尺度的话

辛克函数原来是2它现在是Ts除2

所以在这里我们可以看到

对于尺度来讲对于它的尺度来讲

辛克函数的尺度它等于是原来是2

现在的它的由于自变量上多了一个系数

多的这个系数应该在尺度的下面

因为尺度跟周期是一个概念

而这个多出来的是多在频率上面

所以它一做周期就到了分母上

所以这个它正好就是T分之2

以后我们遇到了

辛克函数它的自变量上带的系数

在尺度上它就出现在分母上

就是这个意思

动态测试与分析（上）课程列表：

绪论

-课程简介

--教材简介

第一章 动态信号与信号内积

-第一周

--1.1.1 动态信号——动态信号与信号内积

--1.1.1 动态信号——动态信号定义

--1.1.1 动态信号——动态信号分类

--1.1.2 时不变信号——余弦信号

--1.1.2 时不变信号——余弦信号的复数表示

--1.1.2 时不变信号——余弦信号的频域特征

--1.1.2 时不变信号——发动机振动加速度信号

--1.1.2 时不变信号——汽车怠速的车内噪声信号

-第1章 动态信号与信号内积--第一周作业

-第二周

--1.1.3 时变信号——时变信号定义

--1.1.3 时变信号——车辆旁通声信号

--1.1.3 时变信号——曲轴加速扭振信号

-第三周

--1.1.4 周期信号与非周期信号——动态信号分类2

--1.1.4 周期信号与非周期信号——非周期信号及其离散化

--1.1.4 周期信号与非周期信号——周期信号及其离散化

--1.1.4 周期信号与非周期信号——周期叠加定理

--1.1.5 余弦型信号——余弦型信号

--1.1.6 类脉冲激励信号——类脉冲激励信号

-第1章 动态信号与信号内积--第三周作业

-第四周

--1.2.1 内积规则——内积规则

--1.2.1 内积规则——多信号内积

--1.2.1 内积规则——内积嵌套

--1.2.1 内积规则——连续内积与离散内积的极限等价关系

--1.2.1 内积规则——周期信号的极限等价关系

--1.2.1 内积规则——内积与矢量积

--1.2.2 相关内积变换——镜像信号

--1.2.2 相关内积变换——相关内积

--1.2.2 相关内积变换——相卷内积

-第1章 动态信号与信号内积--第四周作业

第二章 信号分析函数

-第五周

--2.1.1 窗函数——窗函数特征

--2.1.1 窗函数——矩形窗函数

--2.1.1 窗函数——窗函数的形成

--2.1.2 余弦窗函数

--2.1.3 信号加窗

--2.1.4 高斯窗函数

--2.1.5 窗函数的离散化

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——周期构造函数

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——大周期信号的取值定理

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——大周期信号的中心周期取值

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——整周期构造不变形

--2.2.2 周期窗函数

--2.2.3 加窗周期信号的加窗构成

-第2章 信号分析函数--第五周作业

-第六周

--2.3.1 有限冲激函数

--2.3.2 无限冲激函数——无限冲激函数

--2.3.2 无限冲激函数——栅栏函数

--2.4.1 相位函数——相位函数1

--2.4.1 相位函数——相位函数2

--2.4.1 相位函数——相位函数3

-第2章 信号分析函数--第六周作业

-第七周

--2.4.2 科思克函数——科思克函数1

--2.4.2 科思克函数——科思克函数2

--2.4.2 科思克函数——科思克函数3

--2.4.3 辛克函数——辛克函数1

--2.4.3 辛克函数——辛克函数2

--2.4.3 辛克函数——辛克函数3

-第2章 信号分析函数--第七周作业

-第八周

--2.4.4 辛克函数——辛克函数4

--2.4.4 辛克函数——辛克函数5

--2.4.4 辛克函数——辛克函数6

--2.4.5 辛克函数——辛克函数7

--2.4.5 辛克函数——辛克函数8

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数1

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数2

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数3

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数4

-第2章 信号分析函数--第八周作业

-第九周

--2.4.7 正弦比函数——正弦比函数1

--2.4.7 正弦比函数——正弦比函数2

--2.4.7 正弦比函数——正弦比函数3

-第十周

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数4

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数5

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数6

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数7

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数8

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数9

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数10

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数11

-第十一周

--2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（1）

--2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（2）

--2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（3）

--2.5.2 时续傅里叶函数——时续傅里叶函数（1）

--2.5.2 时续傅里叶函数——时续傅里叶函数（2）

--2.5.3 离散傅里叶函数

-第2章 信号分析函数--第十一周作业

-第十二周

--2.5.4 傅里叶谱——傅里叶谱定义

--2.5.4 傅里叶谱——傅里叶谱的可逆变换

--2.5.4 傅里叶谱——可逆变换的快速算法

--3.1.1 周期傅里叶变换——周期傅里叶变换（1）

--3.1.1 周期傅里叶变换——周期傅里叶变换（2）

-第2章 信号分析函数--第十二周作业

第三章 周期信号分析原理

-第十三周

--3.1.2 周期傅里叶变换（第二部分）——周期傅里叶变换（3）

--3.1.2 周期傅里叶变换（第二部分）——周期傅里叶变换（4）

--3.1.3 周期傅里叶逆变换——周期傅里叶逆变换（1）

--3.1.3 周期傅里叶逆变换——周期傅里叶逆变换（2）

--3.1.4 无理频谱的非周期性

-第3章 周期信号分析原理--第十三周作业

-第十四周

--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（1）

--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（2）

--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（3）

--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱（二）——运算型周期信号的无理频谱（4）

--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱（二）——运算型周期信号的无理频谱（5）

--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱（二）——运算型周期信号的无理频谱（6）

-第3章 周期信号分析原理--第十四周作业

-第十五周

--3.3.1 周期余弦窗的无理频谱

--3.3.2 中心方波的无理频谱

--3.3.2 双向方波的无理频谱

--3.3.2 原点方波的无理频谱

--3.4.1 矩形窗逆变周期信号

--3.4.1 矩形谱窗有限逆变

--3.4.1 方波信号无理频谱的有限逆变

--3.4.2 方波信号无理频谱的无穷逆变（1）

--3.4.2 方波信号无理频谱的无穷逆变（2）

-第3章 周期信号分析原理--第十五周作业

2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（1）笔记与讨论

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  10. 人体解剖生理学(2021秋)

  11. 动态测试与分析（上）(2021秋)

  12. 自动化专业概论(2021秋)

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