2.3.1 有限冲激函数在线视频

上一节我们介绍了周期构造函数

包括它的一些性质和它的一些应用

下面我们再介绍一类重要的函数

就是冲激函数

我们首先来看单位冲激函数

单位冲激函数它的定义是这样子的

δu(K)等于是 要么取1 要么取0

什么时候取1 当K等于0的时候取1

其他的地方全部取0

这个K是在整个整数域上面的

所以单位冲激函数实际上

它是一个无限长的一个离散函数

是这样子的

那么单位冲激函数

我们经常会用到它的延迟

就是K减去m 这是它的一个延迟

延迟形式 是这样

在这里m也是一个整数

所以它是可以做

在整个的离散的域里边可以进行延迟

下面我们来看一下它的图像

现在我们看到的这两个图

上面这个图就是单位冲激函数

下面是它的延迟

单位冲激函数我们看到是在0点的时候

它有一个值为1

那其他的点 它都是为0的

当它延迟以后

它的这个为1的这个点

就会跑到延迟量的这个地方

形成一个离散的一个延迟的情况

那么这就是单位冲激函数

单位冲激函数我们来看

首先它是一个偶函数

这是它的一个最基本的形式

就是说δu(-K)等于δu(K)

因为这个K它是一个离散的

它正好是在正中

在K等于0的时候 它有一个值

其他的都是0

可以想象你把它翻过来再翻回去

它是一样的

就是它的镜像函数等于它的原像函数

它是一个偶函数 这是这样的

下面它还有一个特性

是它的加窗不变性

什么意思

就是说当一个窗函数

当然是一个离散化的窗函数

它和这个单位冲激函数相乘

乘完了以后 依然得单位冲激函数

这个tK是等于K乘上Δt

这里我们知道这个是离散化的Δt

是等于一个常数 const它是一个正实数

是这个意思

是一个正实数 那什么意思

实际上因为窗函数刚才我们解释过了

窗函数它在这个零点

就是K等于0的这个位置 它是等于1的

那么1和它的0点值相乘 也是等于1

可是在其他的地方

由于它全为0了 所以乘起来全为0

所以乘完了的结果还是为单位冲激函数

所以它是不变的 这个是很容易看出来的

我们就无须再去证明了

下面我们看它的下一个性质

就是它的抽样性

当一个离散的信号

和一个单位冲激函数相乘

单位冲激函数的延迟相乘

乘完了 就是这个离散

因为这个离散的信号它是在无穷域里

是有很多值的

那么乘完了以后

就相当于取到了它K等于m时候的那个值

最后取到的值形成一个冲激函数

就是Xd(m)δu(K-m)

这里K和m都是在整数域里边

是这样的

我们来看一下

它的抽样性的一个图像表示

可能就更清楚了

从这里的图我们可以看到

这个上图就是那个Xd的离散信号

中间那个图是延迟的单位冲激函数

和它相乘就是它延迟位置的这个值

K等于m的这个值被保留下来了

形成了一个冲激函数

这个冲激高度就从1变到了

在m这个位置 那个离散信号的那个值

就是这样

所以只有这一个值被保留下来了

这是它的抽样特性

我们前面曾经提到了这个单位冲激函数

它是加窗是不变的

那么实际上单位冲激函数本身

也可以看成是一个加窗信号

那么加窗信号我们就可以利用它

来进行周期构造

利用我们前面的周期构造函数

那么这样构造出来的函数

我们称之为梳状信号

梳状信号

首先我们可以有一个全梳状信号

全梳状信号

那么就是说我们用单位冲激信号

来进行周期构造

构造得到一个全梳状信号

这里K和m都是整数域里边

这里N是一个常数 const

它应该是一个正整数 是这样子的

根据我们前面讲到的

周期构造函数的知识

现在我们可以知道这个全梳状信号

它是一个周期信号

然后它是一个离散的周期信号

它是周期为N的离散周期信号

这是这样 我们称之为全梳状信号

那么对于这个离散的周期构造有一个特例

就是说我们这个范围

可以不在正负无穷

而且在一个有限的范围里边也可以做

那么对于这个例子来讲

做完了以后它就是一个局部的梳状信号

我们把它称之为δP(K)

它等于是δu(K-mN)m 从m1到m2

在这个范围里边做

得到一个局部的梳状信号

我们可以看到局部的梳状信号

它的取值这么构造出来

它的取值是在K等于是整数

整数倍的情况下取1

这里m是一个整数

那么在其他的地方它都会取0

K和m都是整数在这里

它是这个 我们来看一个图像

更能够理解这个全梳状信号

和局部梳状信号它的情况

这个图我们可以看到

上图是单位冲激信号

中间这个图就是全梳状信号

它是在整个无穷域里

它是一个离散的周期信号

它周期为N 在这里N等于5

我们看到每隔5个 它会重复一下这个1

就是这个意思

那么下图是一个局部的梳状信号

它的范围是m等于负4 m1是负4 m2是2

是这个意思

它这里是从 它是一个局部的

像一个梳子一样 就是这个意思

由于这个梳状信号

它是通过周期构造得来的

根据周期构造的大周期取值定理

我们也可以说梳状信号它的取值

是可以从它的构造信号里边

就是单位冲激信号里边来取

梳状信号的单位冲激信号取值是这样

那么根据大周期定律就是说

根据大周期信号的取值定理

这个梳状信号δp这个是

K应该是等于单位冲激信号是km

是这样

那么它的这个范围

k的范围就是从负(N-1)一直到正(N-1)

是这样的

那么K和它的关系就是km再加上mN

是这个意思

m是一个整数域里边的一个函数

这样实际上我们

它真正的取值就从一个单位冲激里边

单位冲激信号里边

就可以到整个梳状周期信号

我们知道梳状周期信号我们需的是δp

实际上在δp里边它也包含了

在δp里边 局部的梳状信号

其实它是包含了全梳状信号

因为它的下标范围m1m2

如果是把它设定为负无穷和正无穷的话

实际上它就是这个全梳状信号

它就是一个周期信号

所以我们在这里给出了它的取值

只取这个局部的梳状信号

它就包含了这种全局的梳状信号

是这样的 它的一个取值的情况

所以说这个全局的梳状信号

它是等于局部的梳状信号的一个特例

什么样的一个特例呢

就是这个梳状信号里面

它有一个取值范围就是m

m1如果是这个范围 m2的这个范围

如果把它设定为是负无穷

到正无穷范围的话

那正好它们两个就处于它相等了

就是这样一个范围

还有一种特例 就是这个下面

它的取值下面还会出现一种特例

那么这种特例就是说

当它等于这个 m等于0的时候

这个整数如果取0的时候

它只有中间这一段

其实它们就是对应相等的

这种情况它会导致了

K等于是km

就是这个意思

那么这个式子就会变成

δp(K)等于是δu(K)

因为这个时候km和K是相等的

因为m等于0 从这个里边可以看到

那么这个时候K的范围呢

正好K和km是相等

K的范围就是它

所以这个K的范围

就正好在负(N-1)到正(N-1)之间

是这样

实际上这个时候梳状信号

和单位冲激信号是对应相等的

在这个条件下 它是对应相等的

是这样的

下面我们来介绍一下抽样信号

抽样信号是什么呢

它就是离散信号的一段

如果我们把它抽出来

来形成一个信号

就是成为抽样信号

它的定义是这样的Xsd(K) 这是定义

它等于是一个离散信号的一段

那么K等于K1一直到K2这一段

然后其他的地方全是0

而这个K是整个整数域

因为它是一个离散的信号

是在整数域里边走的 是这样的

这样的抽样信号如果这样定义的话

实际上它可以用这个离散信号

与单位冲激信号的一个相关来做

我们就得到一个抽样变换

就是说这个抽样信号Xsd(K)

它可以等于是Xd(m)

与单位冲激信号做一个相关

无限相关来做的

在这里m的取值范围是从K1到K2

是这样的

为什么可以这样呢

我们可以来证明一下

就是因为在这里我们前面提到了

曾经提到了单位冲激函数

它有一个抽样性 就是在这儿

我们还能看见的

单位冲激函数的抽样性

它在和一个离散信号相乘的过程当中

它会把离散信号在它延迟位置那个值取出来

取出来就是这样

所以是因为这个Xsd(k)它会等于是

Xd(K)δu(m-K)

这是根据单位冲激信号的抽样性

来得到的 它会由它的这个

原来的这个内积变量

变成了它延迟的值

变成延迟值以后 它和内积变量无关

所以它从内积里边可以提出来

前面我们曾经提到了这个单位冲激函数

它具有偶函数性质

所以我们可以把它这个地方翻个个

如果我们把这个m后面没有了

我们认为是乘了1

乘了1以后

就相当于以前在这个局部梳状信号里边

定义这个N它是为1的

那么这就是一个局部梳状信号

我们就可以把它写成是Xd(K)δp(K)

它是这样的 是一个局部的梳状信号

它的梳状信号里边的条件是N等于1

然后梳状信号里边有一个范围

m1 m2就等于是 这里的K1 K2

是这样一个梳状信号

这样一个梳状信号

由于梳状信号只是在m1等于m2

在有值的情况下

它才能取值

刚才我们看到这个

我们可以看到梳状信号

它有这样一个特点

就是在K等于m的取值

这个m是m1 m2的情况下

取值的情况下

因为这个N现在已经是1了它才为1

其他的全部为0

所以我们可以看到

对于这样一个性质

就是在m1和m2

或者叫K1 K2这个范围内

它会取1 在其他的地方它会取0

所以它两个一相乘就会把它

在K1 K2这个范围里边的值取下来

而把别的地方的值全部压制为0

那么这也正好满足了

抽样信号的定理的情况

所以它就等于是Xsd(K)

如果我们来看一下它的形成的图像

就会更清楚了

从这个图上可以看到

这是原来的离散信号Xd

那么这个信号就是局部抽样信号

它的重复值N等于1

每一个为1的地方

或者就是我们说梳状信号的这个尺

它的每一个尺都是互相挨着的

中间没有间隔

因为N等于1

这个信号和上面的这个离散信号相乘

那么在m1 m2这个范围里边的值

全部都会保留下来

而这两边的值全部都为0

这正好就是我们所定义的

那个抽样信号

从刚才的这个抽样变换里边

其实这是说的

实际上是对它的一个证明

在这个证明里边

我们还得到了一个延伸的定理

就是说如果我们直接把Xd

和N为1的一个梳状信号相乘的话

它就等于采样信号

我们把这个单独提出来

成为它的延伸定理

意思就是说延伸定理会得到这个

就是这个抽样信号K

可以直接写成是一个离散信号

和一个梳状信号相乘

当然这个梳状信号是有条件的

梳状信号是N等于1

而它的这个范围

梳状信号的构造范围

是跟抽样信号的范围是一致的

这样就可以直接得到这个结果

这就是单位冲激函数的抽样变换

实际上就是它的一个离散相关

局部的离散相关会得到一个抽样信号

我们刚才得到的这个延伸定理

它的这个是延伸定理之一

其实我们还有一个延伸定理之二

是什么意思呢

就是说如果我们把这个

抽样变换的离散内积范围

如果给它扩展到无穷领域

那么这个抽样变换或者是相关内积

是不变的 就是还得到它的本身

它的延伸定理就是这个

一个是离散相关的不变性

什么意思呢

就是一个离散信号它和单位冲激函数

做一个离散的相关

当然这个相关是一个无穷的

最后我得到的结果

还是等于原来这个离散信号

所以这个离散信号跟单位冲激函数

做一个相关的话

做一个相关内积的话

它的不变的情况是这样的

我们来证明一下

我们来设y(K)就等于这个离散相关

我们看它结果会是什么

因为在这里K,m都是在整数域的

所以K和m都是在整数域的

等于这个以后

根据单位冲激函数它的抽样性

它可以把离散信号在K位置的值取出来

完了以后它和这个内积变量无关

所以还可以移到外边来

所以它可以写成是Xd(K)

然后剩下的里边是一个无穷内积

无穷的离散内积 是这样

由于单位冲激函数它是一个偶函数

我们可以翻个

自变量可以翻转

这个无穷的离散内积

可以正好是看成N等于1的

一个全梳状信号

N等于1的一个全梳状信号

所以等于全梳状信号 K

在这里N等于1

由于这个全梳状信号它的N等于1

实际上它全部所有的地方都等于1

δN(K)它会一直等于1的

它的条件就是当它里边的N等于1

因为它是一个周期信号

它的周期为1

就是它挨着的每一个全都为1

是这样的

最终我们就可以得到这个y(K)

就会等于是Xd(K)是这样

最后我们就证明了

这个相关的不变性 是这样的

相关的不变性

好 这个就证完了

我们来看一下图像就更清楚了

这样我们可以看到上面这个图

就是一个离散的信号

而中间这个图正好就是全梳状函数

这里虽然标注的是局部梳状函数

但是可以看到它的范围是正负无穷

所以它是周期为1的一个全梳状信号

所以在每一点上它都会取1

这样的离散信号和上面相乘

肯定它这个信号是不会变化的

还是保留了原来信号的所有特征

好 刚才我们给大家介绍的

是单位冲激函数

单位冲激函数是冲激函数的一种

它是一个离散的函数

在冲激函数里边

还有一个连续的冲激函数

我们将在下一节给大家介绍

好 这一节的内容就到此