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3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（1）在线视频

3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（1）

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3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（1）课程教案、知识点、字幕

好 同学们

我们上一节已经介绍了周期傅里叶变换

它的一些性质还有它的逆变换

包括它们的唯一性

以及它为什么称之为无理频谱

就是它的结果为什么称之为无理频谱

我们还对一些一般性的信号

它的周期傅里叶变换

还有包括它的无理频谱都给出了它们的结果

今天我们再讨论一些特殊的信号

就是运算型信号的无理频谱

好 我们开始

运算型信号的无理频谱

运算型信号就是我们有些周期信号

我们通过加 减 乘 除 微分 积分等运算以后

它的这个无理频谱

其实就不需要再重新去

计算或者推导它的无理频谱

可以从它原来的那个

就原始的周期信号的无理频谱里边派生出来

我们现在看一个信号就是和信号

和

我们规定在这个左边我们写时域的是和

它变到频域里以后也是一个和

我们这么简写

这边左边是时域右边是频域

对于和信号来讲是这样的

和信号是这样XmT(t)

m等于是零到M减1

这是一个和信号

这里m是一个整数

由于m是整数这个内积它就是一个和式

实际上我们看得出来

它是拥有大M个信号相加的

它的PFT就是它的傅里叶变换之后的结果也是和

就是X的无理频谱它的求和

而求和

而它这个求和的个数和结果形式都是一样的

Xmp(n) m是零到M减1

一共有大M个无理频谱之和

由于周期傅里叶变换它是唯一的

所以我们从左边可以变到右边

从右边依然可以变到左边

左边也应该是相等也是可以过来的

为什么会存在这种结果我们来看一下

因为我们对这个求傅里叶变换PFT

PFT就是这个和信号XmT(t)

m 零到M减1这是这个和信号

我们对它求PFT它的结果应该是把这个和信号

用来与时续傅里叶函数的共轭做一个周期均积

这里是对t做周期均积

t是属于实数域的

这里边n m都是整数

我们可以看到是这个结果

这个做PFT的结果

这个时候内外层的这个内积我们可以互换一下

这个结果我们写到这

就等于这个XmT它和m和T都有关系都放进来这里边

现在XT与时续傅里叶函数

我们先做它的周期均积

然后再对m做零到M减1的一个离散内积

是这样的

这个时候我们看到

这是标准的周期傅里叶变换的形式

我们就可以得到它的无理频谱是Xmp(n)

是最后剩下了零到M减1这个结果

那就是最后跟我们刚才给出这个结果是一样的

在这里边Xmp(n)它是等于是PFT XmT

它的无理频谱

我们说我们最后就得到了

如果是和信号得到的是无理频谱的和

所以这个时候它不管是在时域和频域

它的形式是对应的

下面我们来看时移

如果在时域是信号有了时移

到了频域这边

它就会发生相移

是这个意思

时移我们可以写出来就是XT(t)加上ΔT

这是它的时移量ΔT

它再经过PFT的周期傅里叶变换之后

它会变成了相移

相移就是

在这里相移是要乘相位函数

我们用时续傅里叶函数来做相位函数的话

它就应该是这样

然后是XP的n

当然如果做IPFT（逆傅里叶变换）它会回来

刚才这个我们只证了从左向右的这个方向

由于我们在前边的章节里面

已经介绍了这个周期傅里叶变换

它是互逆的而且这个变换是唯一的

所以你一个方向存在

在另外一个方向是必然存在的

所以我们只证一个方向

对于时移这块我们也是证一个方向

我们对它求PFT

就是PFT我们对这个时移信号

(t+ΔT)求它的周期傅里叶变换

它的应该是这样

是XT(t+ΔT)然后ψT的共轭(n,t)

然后是对t做周期均积

这里t是实数

这个是n是整数域的

就这样它作为一个周期均积

在这里周期均积我们做一个变量替换

我们让令τ等于是t加ΔT

做这样的变量替换

这个内积式就会变成XT里边是τ

最外边是ψT*n

这个t从这里边得到它应该是τ减ΔT

这是T

然后对τ做周期均积

要注意这个在替换这个下标的时候

替换内积变量的时候

这里τ和t

这个t在这里改变的是一个周期

因为这是周期均积

t在这改变一个周期

τ也改变一个周期

ΔT是个常数

所以它不改变它的这个周期的跨度范围

也是一个周期

在一个周期里边做周期均积的话

你在什么地方做都一样

这个只是他们偏移了一个ΔT的位置

对这个

由于这个时续傅里叶函数它是个相位函数

所以这里可以拆出来

这个ΔT和内积变量无关

所以我们 它拆到最外边来

应该是ψT*(n,-ΔT)是这样

里边就剩下了XT(τ) ψT*(n,τ)

然后τ的周期均积

这个正好也是周期傅里叶变换的标准形式

实际上它的结果就是XT的无理频谱

最后就写成了

这个共轭可以跟这个负号相互抵消掉了

因为它是一个相位函数

所以是(n,ΔT)乘以XP(n)

这个结果就证实了它这是成立的

是这样

这就是时移最后变成了一个相移

因为这是一个相位函数是这样的

动态测试与分析（上）课程列表：

绪论

-课程简介

--教材简介

第一章 动态信号与信号内积

-第一周

--1.1.1 动态信号——动态信号与信号内积

--1.1.1 动态信号——动态信号定义

--1.1.1 动态信号——动态信号分类

--1.1.2 时不变信号——余弦信号

--1.1.2 时不变信号——余弦信号的复数表示

--1.1.2 时不变信号——余弦信号的频域特征

--1.1.2 时不变信号——发动机振动加速度信号

--1.1.2 时不变信号——汽车怠速的车内噪声信号

-第1章 动态信号与信号内积--第一周作业

-第二周

--1.1.3 时变信号——时变信号定义

--1.1.3 时变信号——车辆旁通声信号

--1.1.3 时变信号——曲轴加速扭振信号

-第三周

--1.1.4 周期信号与非周期信号——动态信号分类2

--1.1.4 周期信号与非周期信号——非周期信号及其离散化

--1.1.4 周期信号与非周期信号——周期信号及其离散化

--1.1.4 周期信号与非周期信号——周期叠加定理

--1.1.5 余弦型信号——余弦型信号

--1.1.6 类脉冲激励信号——类脉冲激励信号

-第1章 动态信号与信号内积--第三周作业

-第四周

--1.2.1 内积规则——内积规则

--1.2.1 内积规则——多信号内积

--1.2.1 内积规则——内积嵌套

--1.2.1 内积规则——连续内积与离散内积的极限等价关系

--1.2.1 内积规则——周期信号的极限等价关系

--1.2.1 内积规则——内积与矢量积

--1.2.2 相关内积变换——镜像信号

--1.2.2 相关内积变换——相关内积

--1.2.2 相关内积变换——相卷内积

-第1章 动态信号与信号内积--第四周作业

第二章 信号分析函数

-第五周

--2.1.1 窗函数——窗函数特征

--2.1.1 窗函数——矩形窗函数

--2.1.1 窗函数——窗函数的形成

--2.1.2 余弦窗函数

--2.1.3 信号加窗

--2.1.4 高斯窗函数

--2.1.5 窗函数的离散化

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——周期构造函数

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——大周期信号的取值定理

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——大周期信号的中心周期取值

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——整周期构造不变形

--2.2.2 周期窗函数

--2.2.3 加窗周期信号的加窗构成

-第2章 信号分析函数--第五周作业

-第六周

--2.3.1 有限冲激函数

--2.3.2 无限冲激函数——无限冲激函数

--2.3.2 无限冲激函数——栅栏函数

--2.4.1 相位函数——相位函数1

--2.4.1 相位函数——相位函数2

--2.4.1 相位函数——相位函数3

-第2章 信号分析函数--第六周作业

-第七周

--2.4.2 科思克函数——科思克函数1

--2.4.2 科思克函数——科思克函数2

--2.4.2 科思克函数——科思克函数3

--2.4.3 辛克函数——辛克函数1

--2.4.3 辛克函数——辛克函数2

--2.4.3 辛克函数——辛克函数3

-第2章 信号分析函数--第七周作业

-第八周

--2.4.4 辛克函数——辛克函数4

--2.4.4 辛克函数——辛克函数5

--2.4.4 辛克函数——辛克函数6

--2.4.5 辛克函数——辛克函数7

--2.4.5 辛克函数——辛克函数8

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数1

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数2

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数3

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数4

-第2章 信号分析函数--第八周作业

-第九周

--2.4.7 正弦比函数——正弦比函数1

--2.4.7 正弦比函数——正弦比函数2

--2.4.7 正弦比函数——正弦比函数3

-第十周

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数4

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数5

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数6

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数7

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数8

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数9

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数10

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数11

-第十一周

--2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（1）

--2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（2）

--2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（3）

--2.5.2 时续傅里叶函数——时续傅里叶函数（1）

--2.5.2 时续傅里叶函数——时续傅里叶函数（2）

--2.5.3 离散傅里叶函数

-第2章 信号分析函数--第十一周作业

-第十二周

--2.5.4 傅里叶谱——傅里叶谱定义

--2.5.4 傅里叶谱——傅里叶谱的可逆变换

--2.5.4 傅里叶谱——可逆变换的快速算法

--3.1.1 周期傅里叶变换——周期傅里叶变换（1）

--3.1.1 周期傅里叶变换——周期傅里叶变换（2）

-第2章 信号分析函数--第十二周作业

第三章 周期信号分析原理

-第十三周

--3.1.2 周期傅里叶变换（第二部分）——周期傅里叶变换（3）

--3.1.2 周期傅里叶变换（第二部分）——周期傅里叶变换（4）

--3.1.3 周期傅里叶逆变换——周期傅里叶逆变换（1）

--3.1.3 周期傅里叶逆变换——周期傅里叶逆变换（2）

--3.1.4 无理频谱的非周期性

-第3章 周期信号分析原理--第十三周作业

-第十四周

--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（1）

--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（2）

--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（3）

--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱（二）——运算型周期信号的无理频谱（4）

--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱（二）——运算型周期信号的无理频谱（5）

--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱（二）——运算型周期信号的无理频谱（6）

-第3章 周期信号分析原理--第十四周作业

-第十五周

--3.3.1 周期余弦窗的无理频谱

--3.3.2 中心方波的无理频谱

--3.3.2 双向方波的无理频谱

--3.3.2 原点方波的无理频谱

--3.4.1 矩形窗逆变周期信号

--3.4.1 矩形谱窗有限逆变

--3.4.1 方波信号无理频谱的有限逆变

--3.4.2 方波信号无理频谱的无穷逆变（1）

--3.4.2 方波信号无理频谱的无穷逆变（2）

-第3章 周期信号分析原理--第十五周作业

3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（1）笔记与讨论

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