当前课程知识点:动态测试与分析(上) > 第二章 信号分析函数 > 第八周 > 2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数1
下面我们再看它的相位积
相位积就是辛克函数和相位函数相乘
sinc(r)和相位函数相乘
这是它的相位积
它们俩如果要保持同角的话
也需要是ω等于是π
它乘完了这个结果
正好是一个它的实部是一个sinc(2r)
它的虚部是一个cosc(2r)
相位函数里边的ω等于π
正好和辛克函数里边的正弦的πr是同角
是这个意思
为什么呢
这个我们可以看一下
因为这个相位函数
根据我们前面提到的相位函数
和三角函数的关系
我们可以把它写出来
这个左边就等于是辛克函数
这个相位函数可以写成是
cosπr加上jsinπr 是这样的
把这个乘开
应该是sinc(r)和cosπr相乘
再加上jsinc(r)和sinπr相乘
和sinπr相乘
这正好是辛克函数的余弦积
这正好是辛克函数的正弦积
在前面我们已经得到了
辛克函数的余弦积和它的正弦积
我们直接引用就可以了
就等于是sinc两倍的r
再加上jcosc两倍的r
这就是辛克函数的相位积的结果
就是这么来的
由于以后我们遇到它的余弦积
正弦积和相位积
就可以直接引用我们这里边
刚才得到的三个结论
下面我们来看辛克函数的
最后一个性质就是它的复数形式
辛克函数的复数形式
因为我们都知道辛克函数它是一个实数
但是辛克函数它是有正有负的
我们来看一下它的图像
大家看到这个图的下头就是辛克函数
它虽然是一个实函数
但是它有的时候为正
它有的时候为负
如果我们把它写成复数的
模和相位的形式
如果模都是正的话
它就出现相位
就是它的这个负值
就会体现在相位上面
所以它可以写成一个复数的形式
在我们写它的复数形式之前
我们首先要来讨论一下实数的分解
实数的分解
就是一个实数r可以分解成一个整数mr
再加上一个小数dr
这是可以
在这里r是属于一个实数
mr它是一个整数
dr它虽然是一个实数
但是dr它应该是从负1到1之间
而且这是开区间
就是它在正1和负1之间
但是它不能取正1和负1
它只能取零点几 取一个小数
所以dr是一个纯小数
在这里
当然它们都带的有正负
因为r是实数域 可能有正有负
如果我们要求的话
这个mr实际上就等于是对r的取整
就是这个直接取整数部分
就是不管r是一个正数还是一个负数
直接取整数部分
这个dr就是r减去mr
一减就得到了
因为整数已经取掉了
减完了以后剩下的就是小数部分
如果这么求下来 这个r mr dr
这三者是同号的
我们可以看见
三者同号 是这样的
就是只要是r是负的
mr也是负的 dr也是负的
是这样的
dr也是负的
另外它的小数部分dr
跟它的原来这个实数之比
我们称之为实数的小数率
它的小数率
小数率我们用rd来表示
它就等于是dr除以r
由于dr和r同号
所以这个rd它总是大于等于0的
就是说它应该是一个零
或者是一个正实数
是这样
我们做完了实数分解以后
我们再来看辛克函数它的复数形式
我们可以写出辛克函数它的定义
πr
我们利用正弦函数和相位函数的关系
可以用相位函数来替代
辛克函数分子上面那个正弦函数
它就可以写成是ψ(r)
再减去ψ*(r)
实际上用相位函数的共轭差
共轭差以后它有一个分母是j2
还有把它的分母写上πr 是这样
如果要用相位函数来表达的话
它就应该是相位函数里边
ω在这里是等于π的 是这样
那我们下面继续用刚才的实数分解
r的实数分解结果
来替代这个相位函数里边的r
最后写下来应该是
mr加上dr再减去*mr加上dr
j2πr 分母不动
根据相位函数它的偏移
相位函数的偏移
相当于它的相移
所以这一部分可以变成相移分开来
分开以后是ψ(mr)乘以ψ(dr)
再减去ψ*(mr)然后ψ(dr)
是这样子的
当然我们看到
我们分解出来的这个mr是个整数
而目前相位函数的系数
它的圆频率系数是等于π的
所以这个函数ψ(mr)函数
是一个整半周角函数
整半周角的相位函数
另外我们还可以看到
相位函数的共轭和镜像是可以互换的
就是相位函数的共轭镜像定理
对于整半周角的函数
因为它一个偶函数
所以把这个相位
把这个共轭换到镜像里边去
换进去做负的时候
这个可以换进去做负
换进去做负的时候它是一个偶函数
偶函数就可以
它们两个就是
它的原像和镜像是相等的
所以它可以提出来了
是这样
分母照写
2πr
然后把这个整半周角函数就可以提出来
是ψ(mr)然后上面乘的是
ψ(dr)再减去 刚才这里有一个*
ψ*(dr) 是这样
然后分母不变是j2πr
这里又形成了相位函数的共轭差
共轭差跟这个2j一作用
正好就是一个正弦函数
我们再写一下
就是这个sinc
我们是在推这个辛克函数
按照这边写出来
它应该是ψ(mr)然后上面是正弦的
这个它的正弦 它的ω等于π
所以它的正弦是πdr
πdr
分母呢
这个2j已经用去变正弦了
还剩下πr
πr呢
把π写在这儿 给它写一个dr在这儿
dr是多余的
我们给它乘掉 然后把r再写上
最后是这么一个结果
我们把这个结果
还可以继续看一下
现在这个正好是辛克函数的标准形式
这个正好是实数的小数率
刚才我们提到了rd
这是一个相位函数
我们可以把它打开
最后辛克函数可以写成是等于是
这里还是个辛克函数
这是小数率dr rd
dr除r等于rd
这是一个辛克函数 sinc(dr)
这个把它展开成ejπmr
这就得到了最后辛克函数的复数形式
大家我们可以看
由于dr它的绝对值是不超过1的
所以这个sinc它正好是处于它的主瓣范围
在主瓣范围辛克函数全是正的
所以这一项它是大于等于0的
这是一个实数的小数率
刚才我们提到实数的小数率
它也会大于等于0
所以现在这一项正好是一个复数的模
现在在复数的相位就是它
所以辛克函数的复数的模
应该是它的自变量的小数率
乘以它的这个小数部分的辛克函数
它的相位正好是
π乘以它的整数部分的π倍
这么多 这是它的相位
所以这就是辛克函数的复数形式
辛克函数的复数形式
到此为止我们已经给大家
介绍完了辛克函数
辛克函数它有很多很重要的性质
包括它的面积 它的旁瓣高度
它的主瓣的宽度等等
这些都是在将来
我们动态信号分析里边非常有用的
一些辛克函数特征
好 这一节的内容就介绍到这里
-课程简介
--教材简介
-第一周
-第1章 动态信号与信号内积--第一周作业
-第二周
-第三周
--1.1.4 周期信号与非周期信号——非周期信号及其离散化
-第1章 动态信号与信号内积--第三周作业
-第四周
--1.2.1 内积规则——连续内积与离散内积的极限等价关系
-第1章 动态信号与信号内积--第四周作业
-第五周
--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——大周期信号的取值定理
--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——大周期信号的中心周期取值
-第2章 信号分析函数--第五周作业
-第六周
-第2章 信号分析函数--第六周作业
-第七周
-第2章 信号分析函数--第七周作业
-第八周
-第2章 信号分析函数--第八周作业
-第九周
-第十周
-第十一周
-第2章 信号分析函数--第十一周作业
-第十二周
-第2章 信号分析函数--第十二周作业
-第十三周
--3.1.2 周期傅里叶变换(第二部分)——周期傅里叶变换(3)
--3.1.2 周期傅里叶变换(第二部分)——周期傅里叶变换(4)
-第3章 周期信号分析原理--第十三周作业
-第十四周
--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱(1)
--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱(2)
--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱(3)
--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱(二)——运算型周期信号的无理频谱(4)
--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱(二)——运算型周期信号的无理频谱(5)
--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱(二)——运算型周期信号的无理频谱(6)
-第3章 周期信号分析原理--第十四周作业
-第十五周
-第3章 周期信号分析原理--第十五周作业