当前课程知识点：动态测试与分析（上） >  第二章 信号分析函数 >  第十一周 >  2.5.2 时续傅里叶函数——时续傅里叶函数（2）

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2.5.2 时续傅里叶函数——时续傅里叶函数（2）在线视频

2.5.2 时续傅里叶函数——时续傅里叶函数（2）

下一节:2.5.3 离散傅里叶函数

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2.5.2 时续傅里叶函数——时续傅里叶函数（2）课程教案、知识点、字幕

我们在讨论

时续傅里叶函数函数的周期均积的时候

我们实际上是讨论它的时域的一个内积

由于时续傅里叶函数

它是一个两个自变量除了时域以外

另外还有一个频域的离散变量

这是频域的离散变量

我们这称之为频率离散数n

我们来看对它的一个运算应该得到什么结果

下面实际上我们要讨论

时续傅里叶函数它的对称和函数

对称和函数

对称和函数它的定义是这样子的

就是用Ss这个符号来表示对称和函数

因为它是对频域的处理时域留下来了

它的处理方式是对频域做一个对称的离散内积

这是ψT(n,t)然后是对n做一个对称的

在这里t是实数 n是整数

然后m是一个常数等于const

然后它是一个正整数是这样的

我们在继续推导它的实际数学表达式之前

我们先给出它的一个结论

就是说对于这个时续傅里叶函数的对称和函数

它应该等于是一个正弦比函数

只是说它的k它的倍波数等于是2m加1

2m加1就是它的这个定义里边的这个离散内积的

它是一个合式它的合式的项数

这个项因为它是从负m到正m中间有一个零

实际上正好是2m加1个

是它合式的项数

为它的正弦比函数的倍波数k是这样

为什么会这样

我们来看一下

为什么会是这样

我们来看一下

我们来看一下这个对称和函数

我们利用时续傅里叶函数

给它转换为一个纯的相位函数(t)这里有n

然后n是从负m到正m的变化

由于有这个来代替这个函数

剩下它ψ函数里边的这个常数

ω就应该等于是2π除T

因为这个指数可以拿到系数上面

跟这个合成就是2π(n/T)t

正好就是这个时续傅里叶函数它的指数部分

这样我们继续来看现在这是一个等比级数

就是等比级数它的部分和

它的首项是n取-m的时候是首项

它的底是ψ(t)

这样我们根据等比级数部分和的公式

可以写出来这个内积的它的最后的结果

应该是第一项

这是首项是ψ-M(t)

然后乘以1减去底的它的一共项数次的方

这是底ψ(t)

它的有多少项呢

一共是2m加1项

分母正好是1减去它的底ψ(t)

是这样 得到这么一个结果

在这个结果里边

我们从分子分母都各抽出一个ψ二分之一

就是这里抽出一个ψ二分之一t

然后分子也抽出一个ψ二分之一t

最后它把这两个是消掉了

分子分母各抽出一个出来

抽完了这个结果我们来看

就是这个Ss(t)

从分子提一个ψ二分之一t出来

从分母也提一个ψ二分之一t出来

这个分子就变成了ψ-M

它因为提了一个

要跟它减去一个二分之一

这是t 然后是1-ψ2M+1(t)

然后分子被提走了以后

会变成了ψ负二分之一t

再减去ψ二分之一t是这样

然后把分子给它乘进去

乘进去的时候

因为这个还有它这个指数

注意相位函数指数可以拿到自变量上去做系数

我们把这两个动作都一起完成

那就ψ(t)这一个是

另外把-1给它留在指数上面

变成了星号共轭

实际上里边就进去了(m+1/2)t

这是第一个

再减去这个ψ它是正的

然后正的进来一个m m减去一个

还有一个二分之一减去它的一半

所以它就是等于是m加上二分之一t

分母做类似的处理

-1留在上面做星号

然后把二分之一进到自变量上去做系数

是这样子

我们把分子分母交换一个个儿

变成共轭的差

它也都添一个负号它都消掉了

另外呢各除以一个2j

就是我们要给它添个负 都要添个负

另外除个2j 这下面也要除个2j

这样在分子分母做的是相同的操作

所以操作完了它这个是不变的

它这个跟2j相配 配成一个sin函数

得到sin 就是正弦函数

然后配出来的角度

它把它的ω得代出来

ψ函数ω代出来

另外就是它的自变量t

然后分母是作为类似的sin函数

最后是sinωt/2

完了我们把刚才得到这个ω等于t分之2π

给它代进去

我们看看的结果会成什么样子

2π/T(M+1/2)t

下面是sin2π/T 然后是t/2

在这里我们可以看到

这里边这个2可以拿到里边去

乘以2π加1

然后这个2跟这个2是消掉的

最后我们得到它的结果

结果就是这个Sst就等于是sinπ(2M+1)t/T

然后这边是sinπt/T

这个正好就是前不久我们讨论过的

正弦比函数它的形式

只不过正弦比函数里边有一个倍波数在这个位置

我们称之为大K K现在等于2M加1

所以我们可以给它写成正弦比函数的形式

把K的取值给它标出来 是这样

这样正好就回到了我们开始这个结论

所以这个结论是成立的

意思就是说时续傅里叶函数

它的对称和函数Ss(t)

正好跟正弦比函数RT(t)是相等的

只不过这个正弦比函数的倍波数K

等于它这个合式的项数2M+1

我们来看一下对称和函数它的图像

由于对称和函数它就是一个正弦比函数

所以现在我们从图像上

看见的就是一个正弦比函数

只不过这个正弦比函数的倍波数是2M+1

就是大K 原来的大K等于2M+1

这正好是它的主瓣高度

另外它的尺度我们没有标注

这上标的是旁瓣宽

旁瓣的宽原来我们是知道的它等于是T除K

旁瓣宽就是半个尺度

就是旁瓣宽

D是等于是T除以K

这里K是2M+1 所以是T除以2M+1

另外一个旁瓣数

这所谓的正弦比函数的旁瓣数

是指它的一个周期内的旁瓣数

它是Nsr

它是原来我们曾经导出来它是等于K-2

在这个时候就应该等于2M-1

从这里过来的 2M-1

另外一个刚才我们还看到了它的主瓣高

是等于是2M+1就等于K

是这几个常数

就是这个对称和函数它的一些参数

和它一些几何数据

我们有了对称和函数的结论以后

我们可以稍作一个推论

就可以得到无穷对称和函数

无穷对称和函数是这样的

无穷对称和函数它的定义是

就是说Ss 这是它的符号 Ss∞(t)

它是对时续傅里叶变换

它的频域做一个无穷的离散内积

这里是n是整数 t依然是实数

是这样子 t依然是实数

由于我们已经有了对称和函数的结论

所以我们可以利用对称和函数的结果

来导出它的数学式子

所以现在我们来稍微做一个推论

就是说这个无穷对称和函数

它可以是一个M趋于正∞的

对称和函数的极限值Ss(t)

是它的极限值 是这个

它的这个形式正好就是limM趋于正∞

正好就是这个ψT(n,t)

n是在对称的M邻域让它趋于∞

正好就是它的这么一个结果

最后我们把它的结果代进来

就应该是limM趋于+∞

然后它最后的结果

是一个正弦比函数K为无穷大的一个值

因为M趋于无穷大 实际上相当于K为无穷大

就是倍波数为无穷大的一个正弦比函数

我们在讨论正弦比函数的时候也讨论过了

称之为无穷正弦比函数

无穷正弦比函数是R∞(t)

然后是它的自变量t

而且它的结论我们在正弦比函数一节当中已经给出来了

应该等于是一个栅栏函数

这是栅栏函数

栅栏函数

只不过前面有一个系数

就是时续傅里叶函数的周期作为一个系数

而栅栏函数的周期跟时续傅里叶周期是相等的

都是t 是这样子的

关于栅栏函数的图像

我们在书中已经给出了

在前面的我们已经看见过了

我们这里就不再展示了

好

刚才我们把傅里叶函数的第二个函数

就是时续傅里叶函数和它的一些特征给大家做了介绍

这一节的内容就到这里

动态测试与分析（上）课程列表：

绪论

-课程简介

--教材简介

第一章 动态信号与信号内积

-第一周

--1.1.1 动态信号——动态信号与信号内积

--1.1.1 动态信号——动态信号定义

--1.1.1 动态信号——动态信号分类

--1.1.2 时不变信号——余弦信号

--1.1.2 时不变信号——余弦信号的复数表示

--1.1.2 时不变信号——余弦信号的频域特征

--1.1.2 时不变信号——发动机振动加速度信号

--1.1.2 时不变信号——汽车怠速的车内噪声信号

-第1章 动态信号与信号内积--第一周作业

-第二周

--1.1.3 时变信号——时变信号定义

--1.1.3 时变信号——车辆旁通声信号

--1.1.3 时变信号——曲轴加速扭振信号

-第三周

--1.1.4 周期信号与非周期信号——动态信号分类2

--1.1.4 周期信号与非周期信号——非周期信号及其离散化

--1.1.4 周期信号与非周期信号——周期信号及其离散化

--1.1.4 周期信号与非周期信号——周期叠加定理

--1.1.5 余弦型信号——余弦型信号

--1.1.6 类脉冲激励信号——类脉冲激励信号

-第1章 动态信号与信号内积--第三周作业

-第四周

--1.2.1 内积规则——内积规则

--1.2.1 内积规则——多信号内积

--1.2.1 内积规则——内积嵌套

--1.2.1 内积规则——连续内积与离散内积的极限等价关系

--1.2.1 内积规则——周期信号的极限等价关系

--1.2.1 内积规则——内积与矢量积

--1.2.2 相关内积变换——镜像信号

--1.2.2 相关内积变换——相关内积

--1.2.2 相关内积变换——相卷内积

-第1章 动态信号与信号内积--第四周作业

第二章 信号分析函数

-第五周

--2.1.1 窗函数——窗函数特征

--2.1.1 窗函数——矩形窗函数

--2.1.1 窗函数——窗函数的形成

--2.1.2 余弦窗函数

--2.1.3 信号加窗

--2.1.4 高斯窗函数

--2.1.5 窗函数的离散化

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——周期构造函数

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——大周期信号的取值定理

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——大周期信号的中心周期取值

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——整周期构造不变形

--2.2.2 周期窗函数

--2.2.3 加窗周期信号的加窗构成

-第2章 信号分析函数--第五周作业

-第六周

--2.3.1 有限冲激函数

--2.3.2 无限冲激函数——无限冲激函数

--2.3.2 无限冲激函数——栅栏函数

--2.4.1 相位函数——相位函数1

--2.4.1 相位函数——相位函数2

--2.4.1 相位函数——相位函数3

-第2章 信号分析函数--第六周作业

-第七周

--2.4.2 科思克函数——科思克函数1

--2.4.2 科思克函数——科思克函数2

--2.4.2 科思克函数——科思克函数3

--2.4.3 辛克函数——辛克函数1

--2.4.3 辛克函数——辛克函数2

--2.4.3 辛克函数——辛克函数3

-第2章 信号分析函数--第七周作业

-第八周

--2.4.4 辛克函数——辛克函数4

--2.4.4 辛克函数——辛克函数5

--2.4.4 辛克函数——辛克函数6

--2.4.5 辛克函数——辛克函数7

--2.4.5 辛克函数——辛克函数8

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数1

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数2

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数3

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数4

-第2章 信号分析函数--第八周作业

-第九周

--2.4.7 正弦比函数——正弦比函数1

--2.4.7 正弦比函数——正弦比函数2

--2.4.7 正弦比函数——正弦比函数3

-第十周

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数4

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数5

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数6

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数7

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数8

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数9

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数10

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数11

-第十一周

--2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（1）

--2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（2）

--2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（3）

--2.5.2 时续傅里叶函数——时续傅里叶函数（1）

--2.5.2 时续傅里叶函数——时续傅里叶函数（2）

--2.5.3 离散傅里叶函数

-第2章 信号分析函数--第十一周作业

-第十二周

--2.5.4 傅里叶谱——傅里叶谱定义

--2.5.4 傅里叶谱——傅里叶谱的可逆变换

--2.5.4 傅里叶谱——可逆变换的快速算法

--3.1.1 周期傅里叶变换——周期傅里叶变换（1）

--3.1.1 周期傅里叶变换——周期傅里叶变换（2）

-第2章 信号分析函数--第十二周作业

第三章 周期信号分析原理

-第十三周

--3.1.2 周期傅里叶变换（第二部分）——周期傅里叶变换（3）

--3.1.2 周期傅里叶变换（第二部分）——周期傅里叶变换（4）

--3.1.3 周期傅里叶逆变换——周期傅里叶逆变换（1）

--3.1.3 周期傅里叶逆变换——周期傅里叶逆变换（2）

--3.1.4 无理频谱的非周期性

-第3章 周期信号分析原理--第十三周作业

-第十四周

--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（1）

--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（2）

--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（3）

--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱（二）——运算型周期信号的无理频谱（4）

--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱（二）——运算型周期信号的无理频谱（5）

--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱（二）——运算型周期信号的无理频谱（6）

-第3章 周期信号分析原理--第十四周作业

-第十五周

--3.3.1 周期余弦窗的无理频谱

--3.3.2 中心方波的无理频谱

--3.3.2 双向方波的无理频谱

--3.3.2 原点方波的无理频谱

--3.4.1 矩形窗逆变周期信号

--3.4.1 矩形谱窗有限逆变

--3.4.1 方波信号无理频谱的有限逆变

--3.4.2 方波信号无理频谱的无穷逆变（1）

--3.4.2 方波信号无理频谱的无穷逆变（2）

-第3章 周期信号分析原理--第十五周作业

2.5.2 时续傅里叶函数——时续傅里叶函数（2）笔记与讨论

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