当前课程知识点：动态测试与分析（上） >  第一章 动态信号与信号内积 >  第一周 >  1.1.2 时不变信号——余弦信号的复数表示

返回《动态测试与分析（上）》慕课在线视频课程列表

1.1.2 时不变信号——余弦信号的复数表示在线视频

1.1.2 时不变信号——余弦信号的复数表示

下一节:1.1.2 时不变信号——余弦信号的频域特征

返回《动态测试与分析（上）》慕课在线视频列表

1.1.2 时不变信号——余弦信号的复数表示课程教案、知识点、字幕

余弦信号除了有三个参数以外

另外我们还可以用复数来表示它

余弦信号的复数表示

那么我们可以通常用复振幅

复振幅来表达一个余弦信号

那么就是如果Acc是复振幅的话

对于我们刚才的这个余弦信号

它的复振幅就可以写成Aejφ 是这样的

在我们分析过程当中经常会用到半复振幅

那么半复振幅的定义

实际上就是从形式上理解

它就是复振幅的一半

如它叫Ach 那么它就等于2分之1的Acc

Acc是复振幅

如果把它的式子代进去

那么它就应该写成是2分之A1jφ

所以它这个复数的

不管是复振幅还是半复振幅

它的相位是不变的

只是幅值发生了一半的变化 是这样子

余弦信号它是一个

数学性能比较好的一个信号

你可以对它进行微分

也可以对它进行积分

那么我们落实到我们的这个信号方面

如果一个物体它的运动的位移

是余弦信号的话

那么它进行微分以后

就可以得到这个物体的速度和加速度

但是不管你是微分几次

它的这个速度和加速度

它的还是一个余弦信号

这样我们就可以得到一个定理

就是如果位移为余弦信号

则速度和加速度也为余弦信号

当然这里的位移 速度和加速度

都指的是同一物体

也就是说当同一个物体

它的位移为余弦信号的时候

它的速度和加速度也会为余弦信号

我们来看一下这个定理它是怎么成立的

要想证明这个定理

首先我们还需要有一个小定理

就是因为在求位移和速度

加速度之间的关系的时候我们是微分关系

我们都知道一个余弦信号的微分

它从来是一个负正弦

那么这个小定理就是为这个而准备的

这个小定理是什么意思呢

就是说负正弦它可以等于

超前2分之π的余弦

复正弦等于超前2分之π的余弦

这个小定理其实大家在以前的

一些基础知识里边都有所了解

在解析几何和三角几何里边

都会有类似的这样的定理和证明

那么这里我们把它作为一个小定理提出来

实际上我们希望用我们这门课

比较常用的方法来对它加以证明

那么实际上也是带大家

我们这门课今后的一些基本的方法

有一个初步的认识

那么我们来证明一下这个小定理

小定理的证明

大家可能都知道欧拉公式

我们证明这个小定理

我们是要使用欧拉公式的

那么因为有欧拉公式的存在

欧拉公式的表达式

ejα等于是cosα加上jsinα

欧拉公式还有两个变形

就是说cosα可以等于是ejα加上e负jα除2

sinα可以等于是ejα减去e负jα除2j

这是一些欧拉公式的基本表达

我们就要利用这个欧拉公式

来把这个负正弦写成指数的形式

那么所以这个负的正弦α

可以写成利用这个公式

就可以写成负的ejα减去e负jα除以2j

我们实际上这个小定理是要证明什么呢

这个负正弦它等于一个余弦

那么从这个余弦的形式上

我们可以看它分母上是2 它是一个实数

而正弦的分母上是虚数

那么首先要把这个分母给它做成实数

大家可以很清楚的看到

要把分母做成实数

我们明显的就是在分母的上下

就是这个分式的上下

同时乘以一个j

就是在右边上下同乘j

乘完了以后这个式子就可以变成一个j

ejα减去je负jα然后除2

分母上j跟j是负e

负e跟前边这个负抵消掉了

所以现在是正的

利用欧拉公式的第一个式子

我们可以看出来j它应该等于是

又因为j可以写成是ej二分之π

大家可以看一下

ej二分之π按照这个公式再写开的话

这个cos二分之π是0

这个sin二分之π是e

所以它只剩下j了 所以它应该等于j

同样的道理这个前边这里有负j

负j应该等于是e负j二分之π

用刚才的方法你可以发现

用这个式子可以得到

很容易的得到这个式子

接着我们把这两个公式

可以代进这个公式

我们就可以重写一下这个负的sinα

那么这里等于ej二分之π ejα

然后再加上e

因为这个负j已经被用掉了

加上e负j二分2π e负jα除2

这个式子再重新写一下

那么把这两个指数组合一下

就可以写成ejα加上二分之π

再加上e负jα加上二分之π下面是2

那么可以看出来这个公式

这个负sinα的公式

正好和这个公式对应的

所以我们利用欧拉公式里边

这个余弦α的公式

可以把它直接写成了余弦函数

这样我们就证明了这个小定理

大家可以看看那个公式

是不是讲负的正弦

等于超前二分之π的余弦

所以小定理成立 是这样

那么小定理成立以后

我们就可以来证明这个大定理

来证明这个大定理

那么小定理成立

这个小定理的式子我们先把它写一下

就是负的sinα它等于一个cosα加上

我们把它重写一下 刚才好用

是这个意思

那么我们再看这个大定理

原来这个定理如果位移为余弦信号的话

速度和加速度都为余弦信号

那么我们来看一下

我们把这个位移信号先写一下

我们证明那边那个大的定理

从大定理我们知道位移

可以是一个余弦信号

那么它等于CTt Acos2πF加上φ

那么这个时候我们可以写出来速度

如果这是UTt是速度的话

那么它应该等于是位移的导数

我们直接对位移右边求导的话

可以得到它是2πFA负的sin2πFt加上φ

速度是位移的导数

那么我们把导数求出来以后

这里边存在一个负正弦

那么我们利用刚才这个小定理

它的成立的最后结果

我们可以把它改写成余弦

所以它应该等于是2πFAcos2πFt加上φ

再加上一个二分之π

所以我们证明了这个大定理的第一个问题

它的速度也是一个余弦信号

只不过这里的区别在于

它比位移要超前二分之π

刚才我们要证明这个定理它有两个部分

一个要证明它的速度为余弦信号

另外它还有一部分

它的加速度也要为余弦信号

现在我们来看加速度的情况

加速度

我们都知道加速度是位移的导数

那么加速度aTt它应该等于是

位移UTt的导数

刚才我们已经把这个速度的公式求出来了

所以我们直接对这个速度的公式求导

直接速度公式求导以后

我们可以得到这样一个结果

2πF会变成了平方

然后是A负的sin2πF加上φ加上二分之π

同样的利用我们刚才证得的小定理

就是这个负的正弦等于余弦再加二分之π

那么它就可以写成

2πF平方Acos2πF加φ再加π

这样我们就把这个定理的

我们刚才说的这个定理就成立了

这个定理是刚才说的啥呢

就是说如果位移为余弦信号的话

它的速度和加速度也为余弦信号

那么我们可以看到

实际上速度比位移超前了二分之π

而加速度比速度超前了二分之π

动态测试与分析（上）课程列表：

绪论

-课程简介

--教材简介

第一章 动态信号与信号内积

-第一周

--1.1.1 动态信号——动态信号与信号内积

--1.1.1 动态信号——动态信号定义

--1.1.1 动态信号——动态信号分类

--1.1.2 时不变信号——余弦信号

--1.1.2 时不变信号——余弦信号的复数表示

--1.1.2 时不变信号——余弦信号的频域特征

--1.1.2 时不变信号——发动机振动加速度信号

--1.1.2 时不变信号——汽车怠速的车内噪声信号

-第1章 动态信号与信号内积--第一周作业

-第二周

--1.1.3 时变信号——时变信号定义

--1.1.3 时变信号——车辆旁通声信号

--1.1.3 时变信号——曲轴加速扭振信号

-第三周

--1.1.4 周期信号与非周期信号——动态信号分类2

--1.1.4 周期信号与非周期信号——非周期信号及其离散化

--1.1.4 周期信号与非周期信号——周期信号及其离散化

--1.1.4 周期信号与非周期信号——周期叠加定理

--1.1.5 余弦型信号——余弦型信号

--1.1.6 类脉冲激励信号——类脉冲激励信号

-第1章 动态信号与信号内积--第三周作业

-第四周

--1.2.1 内积规则——内积规则

--1.2.1 内积规则——多信号内积

--1.2.1 内积规则——内积嵌套

--1.2.1 内积规则——连续内积与离散内积的极限等价关系

--1.2.1 内积规则——周期信号的极限等价关系

--1.2.1 内积规则——内积与矢量积

--1.2.2 相关内积变换——镜像信号

--1.2.2 相关内积变换——相关内积

--1.2.2 相关内积变换——相卷内积

-第1章 动态信号与信号内积--第四周作业

第二章 信号分析函数

-第五周

--2.1.1 窗函数——窗函数特征

--2.1.1 窗函数——矩形窗函数

--2.1.1 窗函数——窗函数的形成

--2.1.2 余弦窗函数

--2.1.3 信号加窗

--2.1.4 高斯窗函数

--2.1.5 窗函数的离散化

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——周期构造函数

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——大周期信号的取值定理

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——大周期信号的中心周期取值

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——整周期构造不变形

--2.2.2 周期窗函数

--2.2.3 加窗周期信号的加窗构成

-第2章 信号分析函数--第五周作业

-第六周

--2.3.1 有限冲激函数

--2.3.2 无限冲激函数——无限冲激函数

--2.3.2 无限冲激函数——栅栏函数

--2.4.1 相位函数——相位函数1

--2.4.1 相位函数——相位函数2

--2.4.1 相位函数——相位函数3

-第2章 信号分析函数--第六周作业

-第七周

--2.4.2 科思克函数——科思克函数1

--2.4.2 科思克函数——科思克函数2

--2.4.2 科思克函数——科思克函数3

--2.4.3 辛克函数——辛克函数1

--2.4.3 辛克函数——辛克函数2

--2.4.3 辛克函数——辛克函数3

-第2章 信号分析函数--第七周作业

-第八周

--2.4.4 辛克函数——辛克函数4

--2.4.4 辛克函数——辛克函数5

--2.4.4 辛克函数——辛克函数6

--2.4.5 辛克函数——辛克函数7

--2.4.5 辛克函数——辛克函数8

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数1

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数2

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数3

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数4

-第2章 信号分析函数--第八周作业

-第九周

--2.4.7 正弦比函数——正弦比函数1

--2.4.7 正弦比函数——正弦比函数2

--2.4.7 正弦比函数——正弦比函数3

-第十周

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数4

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数5

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数6

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数7

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数8

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数9

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数10

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数11

-第十一周

--2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（1）

--2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（2）

--2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（3）

--2.5.2 时续傅里叶函数——时续傅里叶函数（1）

--2.5.2 时续傅里叶函数——时续傅里叶函数（2）

--2.5.3 离散傅里叶函数

-第2章 信号分析函数--第十一周作业

-第十二周

--2.5.4 傅里叶谱——傅里叶谱定义

--2.5.4 傅里叶谱——傅里叶谱的可逆变换

--2.5.4 傅里叶谱——可逆变换的快速算法

--3.1.1 周期傅里叶变换——周期傅里叶变换（1）

--3.1.1 周期傅里叶变换——周期傅里叶变换（2）

-第2章 信号分析函数--第十二周作业

第三章 周期信号分析原理

-第十三周

--3.1.2 周期傅里叶变换（第二部分）——周期傅里叶变换（3）

--3.1.2 周期傅里叶变换（第二部分）——周期傅里叶变换（4）

--3.1.3 周期傅里叶逆变换——周期傅里叶逆变换（1）

--3.1.3 周期傅里叶逆变换——周期傅里叶逆变换（2）

--3.1.4 无理频谱的非周期性

-第3章 周期信号分析原理--第十三周作业

-第十四周

--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（1）

--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（2）

--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（3）

--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱（二）——运算型周期信号的无理频谱（4）

--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱（二）——运算型周期信号的无理频谱（5）

--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱（二）——运算型周期信号的无理频谱（6）

-第3章 周期信号分析原理--第十四周作业

-第十五周

--3.3.1 周期余弦窗的无理频谱

--3.3.2 中心方波的无理频谱

--3.3.2 双向方波的无理频谱

--3.3.2 原点方波的无理频谱

--3.4.1 矩形窗逆变周期信号

--3.4.1 矩形谱窗有限逆变

--3.4.1 方波信号无理频谱的有限逆变

--3.4.2 方波信号无理频谱的无穷逆变（1）

--3.4.2 方波信号无理频谱的无穷逆变（2）

-第3章 周期信号分析原理--第十五周作业

1.1.2 时不变信号——余弦信号的复数表示笔记与讨论

也许你还感兴趣的课程:


  1. 动态测试与分析（上）(2021秋)

  2. 自动化专业概论(2021秋)

  3. 大学物理(下)(2021秋)

  4. 金融学(2021秋)

  5. 定格身边的美——数码摄影攻略(2021秋)

  6. 中医常识(2021暑假班)

  7. 牙体牙髓病学(2021暑假班)

  8. 系统解剖学(2021秋)

  9. 动物遗传繁育(2021秋)

  10. 针灸学(2021暑假班)

  11. 英语辩论(2021秋)

  12. 钢筋混凝土结构原理(2021秋)

  13. 耕作学——农业生态转型的理论与实践(2021秋)

  14. 医务专科医学概论(2021秋)

  15. 运动学基础(2021秋)

  16. 新型冠状病毒肺炎的认识与防控(2021秋)

  17. 酒店英语(2021秋)

  18. 大学生心理健康教育(2021秋)

  19. 实用中医儿科学(2021秋)

  20. 大自然中的体育——山地户外运动(2021秋)
© 柠檬大学-慕课导航 课程版权归原始院校所有，
本网站仅通过互联网进行慕课课程索引，不提供在线课程学习和视频，请同学们点击报名到课程提供网站进行学习。