3.4.2 方波信号无理频谱的无穷逆变（2）在线视频

在讨论无穷正弦比函数的时候

它的右面积的时候

我们曾经讨论到它的这个结果应该是

应该是sinc函数的右面积

实际上它是无穷 这个趋于无穷

它是个无穷小

但是它由 它前面的系数

来由sinc函数的右面积来确定的

由sinc函数右面积确定的

它的sinc函数右面积呢

我们可以把它再写一下

X∞T(t)等于是A/T

这里边半个冲激的面积还要保留

这边是这个无穷可以用sinc函数的面积

sinc函数的面积

它有一个T Ssc sinc函数的右面积

所以这个b 是这样的

如果忘了 大家可以查一下

可以查一下

这个正弦比函数它的右面积

或者它的无穷右面积它的那个表达式

在那一节里边有这个描述

它应该等于这个结果

这个b是什么呢

就是这个D前面的系数

在这里b等于1 是b等于1的

所以再写一下 这个变成了1

就是它等于1

sinc函数 我们都知道sinc函数是这样子的

我们画半边sinc函数

它的这个右面积sinc函数t

这是t 这是0

这是主瓣

这里是一个0 1 2 3

它为1的时候的右面积

正好是半个主瓣面积

sinc函数的半个主瓣面积

我们曾经用级数来表达过

它可以是一个级数

有了级数 它是一个交错级数可以表达

然后我们可以很准确地求到它的值

而且知道它的精度

当时我们曾经给了它的

它的值呢我们比如说用0.59来表示

它的精度是什么

它的绝对精度

绝对精度就是它的Δ

绝对精度是5.2乘以10的负4次方

它的相对精度η是 等于是0.09%

就是万分之九

所以用0.59来代替这个sinc函数

半个主瓣面积的话

它是具有很高精度的

所以这个时候我们用0.59来替代

这个在sinc函数的右面积这一节里边

大家可以看到这里边的详细的

这些数字是怎么得来的 可以看到

大家可以翻一下书

可以了解一下

我们这里就可以写成了

它就等于是A/T 这是0.5T

再加上0.59T 就这样

这个时候T和T消掉

它最后是1.09A

就是说在这个情况下

它比这个幅值就是方波脉高要高出9%

我们看一下图像

在这里当它这个正弦比函数

这个峰值离这儿还有一个

一个旁瓣宽的时候

它达到最大值

这个我们刚才介绍有限逆变信号的时候

已经介绍过了

这个时候它会达到最大值

这个最大值的高度它是1.09A

就是比它的那个脉高要高出9%

是在这种情况下

随着这个t在继续增加

那个主瓣它的主瓣会逐渐的移出

我们做积分的这个

就是脉宽的右边界

所以它这里有一个下滑的过度

当它正好移动到脉宽

就是方波脉宽的右边界的时候

我们看一下它的情况

看下一个图

这是它正好t等于Tp/2的时候

当t正好等于是Tp/2

它们挪到这儿的时候

那么我们看到这个时候

这个它的无穷逆变信号它的取值

正好是正弦比函数半个

这是半个周期冲激的面积

半个冲激的面积

它的半个冲激的面积

我们就可以写下来了

X∞T(t)它等于是A/T 这是系数

它的这边就是它的这边这个面积

这边求到的面积是半个

半个这个冲激的面积

它一个冲激的面积就它强度是t

半个冲激的面积就正好是t/2

正好等于是二分之A

所以说当它移动到这个

当t变成Tp/2 就是它的最高的点

和脉宽右边界重叠的时候

它是半个冲激的值 它的面积

所以最好是A的中点是二分之A

随着它再继续往右移动

我们看它下一个移动的位置

这时候它下一个移动的位置

就是这个主瓣刚好全部离开这个脉宽

全部离开这个脉宽

这个时候它的面积我们看

应该是半个冲激的面积

再减去半个主瓣面积

就是说当t挪到哪儿的时候

挪到Tp/2再加上一个旁瓣宽的时候

它整个主瓣会挪出去

整个主瓣刚好挪出去

当t移动到Tp/2加

这是一个旁瓣宽的位置

它的这个无穷逆变信号

也就是它这个 它的曲线下的面积

就相当于半个冲激面积

再减去半个主瓣的面积 是这样

这是半个冲激的面积是二分之T

再减去半个主瓣面积

刚才我们已经得到了

应该是0.59T T和T消掉了

最后的结果应该是负的0.09A

就是它向下有9%的过冲

我们来看一下这个图像

所以这个图像我们看到

这个时候到这个位置

它达到最小值

最小值 这个高度是脉高的9%

是负的0.09A 是这样

这个图上写的是正0.09A

但是这里也应该负

这个图也是少写了一个负

当主瓣移出这个积分的范围

就是脉宽范围以后

这个积分范围实际上是包含了

它这个无限冲激的这个

无限冲激的这个冲激全部都挪出了

全部挪出了这个积分范围

都是在一个时域的范围它都是0

所以再往后它就一直

应该处于0的状态

我们现在能看见波纹

因为我们是用一个正弦比函数

就是倍波数比较大的正弦比函数代替它

能看见波纹

如果它是一个无穷的话

这个波纹就应该看不见

应该是0是这样

这样我们就看到即使就是

当方波它无穷逆变的时候

我们还是会看到一个过冲的现象

这个过冲的量两边都是9%

这是过冲量 都有9%的过冲

是这个 9%的过冲

是这样的

但是我们要注意这个过冲的位置

这个过冲的位置都是在

都是在这个脉宽边界一个旁瓣宽的位置

大家注意由于这个时候

是个无穷正弦比函数

它的旁瓣宽它是一个无穷小

属于无穷小

虽然我们现在有9%的过冲

但是只是在Tp/2

就是在脉宽这个边界的地方

离边界是一个无穷小的位置才能看见

如果我们在整个实数域里

实际上是看不见这个过冲的

整个实数域是看不见这个过冲的

只有到进入到无穷小域

才可以看见这个过冲

所以说我们原来的这个式子

就是这个无穷逆变信号

它无穷逆变信号

它可以等于原来的这个周期信号

条件是这个t一直在实数域

它可以等于它

如果到了无穷小域里边

它就不会相等

我们就看见它的9%的过冲

唯一的区别就是在这里

这个实数域如果它是一个方波的话

在这里它不会收敛到上下任何一点

它会收敛到中间

就是这个值稍微有一点区别

就是在这里当t取到Tp/2

这是个实数 这也是在实数域里

所以它取的是二分之A

如果这是A 这是0

它会取到这二分之A的地方

就是这样的一个结果

它会等于它 无穷正弦比函数

在实数域是可以的

但是在无穷小域它是不等的

就是说这个X∞ 这是无穷逆变信号

它不等于XT(t)

在什么位置呢

在这个t处于Tp/2正负无穷小域

在这个正负无穷小域

就是在这个脉宽两边

就是脉宽边界两边一个无穷小区域里边

它们是不相等的

它有仍然存在着Gibbs现象

所以在这里它会出现

还会出现Gibbs现象

在这个地方还会出现这个

我们来看一个图像可能更清楚

我们来看一个图像在这里

这是现在看到的是

就是这个无穷逆变信号

方波的无穷逆变信号

上面这个是由于它的取样时间

它的取样时间一直比较大

这是2.5毫秒的Δt

2.5毫秒的时间我们可以近似的看成

我们是在实数域里取样

这是我们用实数域的信号

来看这个无穷小域的信号

近似在实数域里边取样

这个时候我们相当于取不到

当然有些个别的地方取到了

那是一个意外

因为我们是用实数域来代替无穷小域

它总会碰上的

当然从整个大面上我们看见

这个方波基本上是没有过冲的

大家看看第二个图

这个时候把这个取样时间变得很小了

其实我们就是要把它模拟

是一个取样时间

就是Δt已经是一个很小的一个

无穷小的一个代表

这个时候这个过冲就会被取出来

过冲就会被看到

如果这个过冲给它在这儿

再继续展开

按无穷小域展开

因为到无穷大的时候

这个旁瓣宽D是个无穷小

我们在几个无穷小之间给它展开

可以看见它的这个波纹畸变现象

跟原来的我们介绍的这个Gibbs现象

是一样的

就是在这是在无穷小域

因为这个时候旁瓣宽D是个无穷小

我们是在0.1脉宽右边界展开的

可以看见了

这就是我们看见的一个

刚才我们那个无穷逆变信号就在这里

这个无穷逆变信号它在实数域

是跟原来的周期信号是相等的

除了在一类间断点的地方取终值之外

别的地方是相等的

而它在无穷小域 它是不等的

这里边存在着还存在着Gibbs现象

它有一个9%过冲

它有个 9%的过冲

这一节给大家介绍了这个逆变信号

就是逆变信号

就是说周期傅里叶逆变换

它产生这个信号

在我们无法完成

它的离散无穷和式的情况下面

就是离散的无穷内积下面

我们可能会出现的一些现象

通过这个我们就更能够了解

我们在如果要想去得到这个逆变信号

通过周期傅里叶逆变换

可能会存在着什么样的问题

以至于今后

我们要么是尽力的避免这个问题

要么我们就是要想办法抑制这个现象

好 这一节的内容就到这里