2.3.2 无限冲激函数——无限冲激函数在线视频

好 同学们

上一节我们介绍到

冲激函数里边的有限冲激函数

就是单位冲激函数

那么这一节我们将继续介绍

冲激函数里边的另一个函数

是无限冲激函数

我们今天开始介绍的是无限冲激函数

无限冲激函数是它是一个双重定义函数

第一个它有一个取值定义

这是无限冲激函数我们用δ无穷(t)来表示

它的取值有两个取值

一个是正无穷一个是0

那么在t等于0的时候

它取正无穷

在其他的地方它取0

这个t是在实数域的

是这样的一个取值定义

第二个定义是它的强度定义

把I无穷作为它的强度

它是无限冲激的一个连续内积

无限冲激函数的连续内积从t1到t2

这个内积把它定义为恒等于1

这里要求t1是负的实数

t2是一个正的实数

是这样的

就是它要跨这个冲激来进行内积

正好把它积出来

看吧 做完这个积分以后

它的结果我们定义为1是这样的

这是它的两个定义

我们来看一下无限冲激函数的图象

现在我们看到这个画面上的

就是无限冲激函数的图象

它在横轴为零的位置

就是在原点的位置有一个冲激

它的取值实际是无穷大

但是由于无穷大取值我们是难以表达的用图象

我们只能画一个箭头

来表示它这个取值为无穷大

箭头旁边我们标出了它的强度

这个1指的是强度不是它的值

指的是它的强度

它的强度是1

这是由定义所确定的

另外标出了它强度的内积范围

内积范围是从一个负的实数t1到一个正的实数

这样在整个内积范围里边

它的这个冲激是被包含在这个内积范围之中

所以它内积完了的强度是1

是这样的

这是无限冲激函数的它的这个图象

它是一个比较特殊的一个函数

实际上在我们实际的自然界里边

很难找到这样的一种函数

它是一种从数学上比较有用的

是一个比较抽象的一个函数

无限冲激函数

它是一个比较抽象的一个函数

一个抽象的函数

它的取值也很特殊

但是它在数学上

在有些地方是非常有用的

在今后我们的讲解内容当中逐渐都会看到

下面我们来看一下它的一些性质

首先我们来看到它是一个偶函数

可以看到

意思就是说它的镜像函数

这是它的镜像函数

跟它的原像函数是相等的

镜像函数跟原像函数是相等的

这个从它的值的定义里边可以看到

因为它在t等于0的时候有一个无穷值

在t不等于0的两边全为0

所以它的左右是对称的

从刚才我们看到它的图象

它的左右也是对称的

因为两边是0

中间有一个值

所以它是一个偶函数

这一点我们是很容易从直观的角度就可以看出来的

它的第二个性质是它的强度采样性

强度采样性

什么意思

就是说一个连续信号如果和无限冲激函数的

它的一个延迟信号相乘

乘完了的结果应该是这个

连续信号取无限冲激函数延迟处的值

然后再形成一个延迟的无限冲激信号

实际上是改变了无限冲激函数的强度

那么得到的值应该是这样的

t减t0

是这样

我们可以看一下它的强度采样性的一个图象的表达

这个图是

表示的是无限冲激函数的强度采样性

大家可以看到

这个无限冲激函数它延迟到了t0的位置

就它这个脉冲延迟到t0的位置

它是一个无穷大值

它和这个连续信号

这个曲线的连续信号相乘以后

因为它两边都是0

所以只有在t0这个位置的连续信号值留下了

而成为了它的强度

这里要注意它留下来以后

不是成为它的值

因为它的值是无穷大

乘任何数它还是无穷大

乘任何实数它还是无穷大

但是如果在求它的强度的时候

这个时候根据它的强度定义

这个时候它的强度就会变成这个曲线

在t0时候的这个值就是Xc(t0)

就是说如果我们把这个无限冲激函数

带到它的强度定义里边去求它的强度的话

它的强度就由原来的1现在变成了Xc(t0)

所以我们称它的这个采样性是强度采样性

是这个意思

无限冲激函数的下一个特性

我们是介绍它的加窗不变性

加窗不变性

就是一个窗函数如果和无限冲激函数相乘

乘完了

这个无限冲激函数依然不变

它还是它本身

因为以前我们介绍过窗函数t等于0的时候

它是等于1

这是原因

在t等于0的时候跟它等于1

所以看它原来相乘不改变它原来的值

而在t不等于0的时候

由于无限冲激函数它的定义是0

所以它不会改变整个这个无限冲激函数的值

所以它还是原来的无限冲激函数

由于它加窗不变

我们反过来也可以认为

这个无限冲激函数是一个加窗函数

因为窗加了以后它还是它本身

所以我们可以从两个方面来看它

这是它的加窗不变性

我们下面介绍无限冲激函数的另外一个性质

就是它的相关不变性

相关不变性什么意思

就是它和一个连续信号做相关

这是相关

我们的相关τ是无穷

做完了

这个连续信号依然不变

这个时候τ是一个实数

它做的是一个连续内积作用是不变

为什么是这样

我们可以看一下

因为在这个内积里边两个函数或者信号之间

是一个相乘的关系

我们利用它的强度采样性

当它相乘以后

它这个就会取下它在它延迟位置的值

作为它的强度

那么最后它的这个左边就可以等于看着是这个

Xctδ无穷τ减去 t

然后是τ的无穷

这样它俩个相乘以后

由于现在Xcτ已经变成了Xc(t)由于它的采样性

所以目前它与这个内积变量无关

所以它可以拿到内积外边来

可以写成是τ减t内积

τ是无穷范围

这样由于τ的内积范围一个是负无穷

它是在负的域它是小于0的

另外一个正无穷是大于0的正好跨着这个积分

跨着这个冲激

这个冲激不管是处于什么位置

那么这个范围总是包含着这个冲激的

所以根据它的强度定义

它这个内积就是跨冲激的内积应该等于1

最后就会等于tc是这样的

这样我们就说它的这个相关是不变的

是跟它一起做相关的这个信号不会发生改变

除了相关以外

它还有一个性质

就是它的延迟做相卷依然是一个延迟

但是这个延迟会交换我们来看一下

它的下一个性质是延迟相卷延迟的性质

它说的意思是什么

就是一个信号也是一个连续信号

它和这个无限冲激信号的一个延迟函数

t0做一个相卷这是它的相卷的式子

做完了以后

它会把无限冲激的这个延迟

全部替换给这个连续信号

最后得到的是这个连续信号的延迟是这样的

为什么会是这样

因为我们可以看到这个左边

这个左边

由于无限冲激函数

它是一个偶函数

所以我们可以把它的这个自变量

翻一个个儿来看

所以这个τ可以写成是τ-(t-t0)

τ是无穷

同样的根据前面的道理

这个无限冲激函数它有强度的采样性

它采到正是它的这个延迟部分的

拿它的值来作为它的强度

所以它可以写成是Xc(t-t0)再乘以δ无穷

τ-(t-t0) τ无穷这样

由于现在它

由于通过它的采样性取得它延迟部分的值

它和这个内积变量就无关了

所以它可以提出去

减去t0 τ无穷

对于这个无限冲激函数它是一个跨冲激内积

根据它的强度的定义它等于1

所以它等于是Xc(t-t0)就等于这个值

这样我们就看到它的延迟相卷

这是延迟相卷

就把这个延迟转移给了原来的这个信号

转移了这个被做相卷的这个信号

成为它的延迟

我们来看一下它的图象

我们看到这个图上图是原来的连续信号

中图

它下面的这个中图是一个延迟的无限冲激函数

延迟的量是t0

通过他们做一个相卷

就像刚才黑板上我们介绍到那样的

相卷的公式作为相卷完了以后

就相当于原来的这个信号延迟到了

它这个无限冲激函数t0的这个位置

成为了一个延迟的信号

延迟量给这个延迟的无限冲激函数是一样的延迟量

就是这个意思

无限冲激函数还有一个特性是它的采样性

它可以进行采样变换

它的采样性可以形成一个采样变换是什么意思

就是说如果一个离散的信号

它跟这个连续的信号形成一种离散的关系

在这里k是一个整数

Δt是个常数

是一个正实数

是一个常数

如果这件事情成立

这个Xd(K)可以是

如果是这样

它就可以看成是这个连续信号

和无限冲激函数的这个离散延迟的一个相关变换

t是在无穷域里边

t是实数

是这样的相关变换

它就可以这样

就相当于我们把一个连续信号的离散过程

表达了给了一个

利用这个无限冲激函数

表达了一个它的数学的公式

表达成了一个数学的公式

我们在实际的过程当中

实际上是用AD变换来完成这一工作的

那么换句话说我们把AD变换的这个

从连续信号到离散信号的这个采样

我们把它变成了一个公式

利用的是无限冲激函数它的这个特点

为什么会是这样我们来看一下

这个时候

这个因为这个公式的右边

它是一个无限冲激函数的延迟

和一个连续信号相乘

利用它的采样性

它就可以把它变成了延迟处的值

取延迟处的值来作为它的强度值

t还是无穷的

由于它现在与内积变量t无关所以可以提到外边来

Xc(kΔt)然后里边就剩下这个无限冲激函数

t-kΔt t无穷

根据它的强度定义

这个它的跨冲激内积它应该是1

所以就只剩下了这个离散 它的离散化

最后得到的是就等于它的离散值

所以我们证明了它的这个采样变换

它正好就是来反映了

我们把一个连续信号变成离散信号的一个数学过程

我们可以来看一下它的图象

这个图象是它的

表示它的采样变换的一个图象

上图是一个连续信号

中间这个图是无限冲激函数

它延迟到了kΔt的这个位置

然后他们俩个做一个相关

这个相关做完了就是取到下面的这个离散信号

正好由于它在这

其实它在这乘一次就得到一个点

当它这个相关继续变化下去的话

它就会乘到

所有的点都会被乘出来

这里边因为这个k是一个离散的是这样子

所以它的这个采样变换我们就可以表现的非常清楚