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3.1.2 周期傅里叶变换（第二部分）——周期傅里叶变换（4）在线视频

3.1.2 周期傅里叶变换（第二部分）——周期傅里叶变换（4）

下一节:3.1.3 周期傅里叶逆变换——周期傅里叶逆变换（1）

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3.1.2 周期傅里叶变换（第二部分）——周期傅里叶变换（4）课程教案、知识点、字幕

下面我们来看一些简单信号的无理频谱

比如说直流信号这是最简单的信号了

最简单的信号了

直流信号我们会写成CST(t)它等于是大C

这里大C是一个常数

它是一个实数可以正可以负 是这样

我们可以直接得到它的无理频谱

是大C的SP(n)

就等于是C的一个单位冲激函数是整数

在这里边上面的这个t是实数

在这里n就成了整数

是这个意思

所以从这里我们相当于做了一个PFT的变换

是这样的一个结果

那我们来看它的图像就更清楚了

现在画面上所看到的就是直流信号和它的无理频谱

上面是直流信号 它这个C的常数等于10

下面是它的这个无理频谱

它这是一个单位冲激函数

在这里我们把直流信号看成了一个周期信号

我们知道直流信号它的周期是可以任意指定的

你指定任何周期都可以是它的周期信号

它都可以是这样周期的周期信号

所以它在这里它的Δf等于是T分之一

这里你是可以任意指定的

最后得到了fs等于nΔf

所以对于直流信号来讲

它的那些间隔是Δf是你可以任意指定是这样

我们可以看见了它的这个情况

这是直流信号是一种最简单的信号

下面我们再看一个次简单的信号

实际上就是余弦信号

余弦信号 是这样

余弦信号是我们这门课一开始就给出来的

我们把它在这儿稍微再写一下

它是命名是CT(t)是余弦信号

是Acos(2πFt+φ) φ是它的初相位

F是它的频率 A是它的模

注意我们的F跟它的周期是成倒数关系

所以这是它的周期

所以余弦信号也是看成一个周期为T的周期信号

是这样子的

我们还曾经给了余弦信号的复振幅

或者叫半复振幅

它的半复振幅

我们也曾经给了叫Ach

它等于是二分之Aej它的初相位 是这样的

所以这是它半复振幅的表达形式 是这样

在这种情况下它可以直接变成一个

通过一个PFT的变换 它变成了它的无理频谱

我们可以直接给它写出来

是Ach的共轭 乘以一个单位冲激函数的一个偏移量

再加上半复振幅乘上在另外一个方向

就是单位冲激函数在另外一个方向的偏移量

它等于这个

我们来看一下它的图像

现在画面上所能看见的就是余弦信号

这是它带初相位的余弦信号和它的无理频谱

因为无理频谱它是一个复函数

所以我们画出了它的模和它的相位

可以看到实际上只有在n等于±1的地方它有取值

它的模取的是半幅值

而它的相位取的是余弦信号的初相位

另外它有个共轭

就是初相位的负值是这样的

由于我们看见了在n的里边

它对应着一个f 就是对应着一个

这不是s

这是fn

这个fn

这个n对于这个Δf

在这里对于它来讲

这个Δf是等于T分之一的

就等于是f的

我们再看一下这个图

所以在这里一个Δf这个间隔是一个Δf的地方

也就是等于f的地方

我们可以看见它的取值

对于余弦信号来说是非常贴切的

就是它在频率等于100赫兹

实际上这里这个n等于1的时候

它对应的是100赫兹 能够看见这个值

另外在-100赫兹也出现一个值

那么在100赫兹出现了它的初相位

那么在-100赫兹出现了它的初相位的负值

是这样

通过PFT我们可以这个余弦信号的特征

在它上边就已经很充分和简要了

都全部表达出来了 是这样子的

为什么可以得到这个结果

我们来稍微的证明一下

现在我们来证一下

余弦函数我们可以用相位函数来替

那么它写成相位函数的形式

是二分之A ψ然后是2πFt加上φ

然后是加上ψ共轭 2πFT再加上φ

是这样子的

由于这个F等于它的周期的倒数

我们可以把周期给它写出来

另外我们还可以看到它的半复振幅

可以写成是ψ(φ)

这里边这个ψ就是相位函数里边的常数ω都等于1

我们可以把它这个相位函数的偏移变成了相移

这边也是偏移可以变成相移

偏移变成相移以后

和前面的幅值相配 就配成了半复振幅

是这样的

另外我们还可以F用它的这个周期的倒数来代替

所以我们可以写成CT(t)就可以等于是Ach

配上了一个 里边还剩了ψ的是2π 然后(1/T)t

然后再加上这边也出来一个Ach是共轭的

然后剩下的是带*号的是2π

这里写成周期

用周期来替

是这样 写成这样

回头我们还可以看到这个ψ函数

实际上它跟时续傅里叶函数是比较类似的

我们都知道时续傅里叶函数T(n,t)

实际上它等于是ej2π(n/T)t

它实际上是可以等于写成是ψ是2π(n/T)t

是这样

在这里它的ω也是等于1的

如果这么写的话 可以写的话

这个时候我们就发现我们这个函数

它相当于n的地方换成了1

所以我们也可以用它用持续傅里叶函数

来替换这一个纯相位函数

所以它还可以继续写成

等于是Ach变成了ψT 这是1到t

然后再加上Ach共轭ψT(1) 这也是共轭 (1,t)

所以最后这是余弦函数可以表达成这种形式

我们这个时候再来求它的无理频谱

我们可以根据无理频谱的定义

写出余弦函数它的无理频谱的表达

应该是CT(t)和它ψT*(n,t)

然后做一个周期均积

这里n是整数 t是实数

由于它们两个都是相同周期的周期函数

所以这里省略了 就表示是周期均积

我们再把CT由这样的函数可以代进去

就可以写成了

在代进去的时候

我们注意到它这是一个合式

我们这个内积也可以拆成合式来分别求和

另外来看 在和的过程当中

这个ψ函数和它这个均积的时续傅里叶函数

这两个时续傅里叶函数可以由

乘积由相移变成它里边的偏移量

所以我们可以写成这样的形式Ach

然后对第一个就写成了

在合成的过程当中

由于这个时续傅里叶函数是共轭

所以我们为了让它配上共轭

我们可以这里添一个负号

然后这里添一个共轭 和它平衡

这两个是可以互相平衡掉的

最后这里就写成了ψt*(n-1)t

然后是周期均积

还要加上第二项

第二项是Ach的共轭了

然后里边是ψ*(n+1)t 然后周期均积

因为这里是共轭

所以这个1跟那个n就是相加的关系

最后在时续傅里叶变换那一节里边

就是前面的 咱们可以看一下前面的书上可以有

时续傅里叶变换它的周期均积

这是周期均积

它的最后结果应该是等于单位冲激函数

所以我们把它就可以直接写出来了

我们先写后面这一项

是Ach*它的单位冲激函数

这是变了是n+1

因为t已经在做

这个周期均积当中已经消除了

然后再加上Ach δu(n-1)

这就是证明了我们刚才给出来的余弦信号

它的最后的这个形式就应该是这样

是两个单位冲激函数之和

每个偏一个单位量

它这个偏移量正好就是它的周期分之一

这是偏移量是1 是这个意思

这样我们就看见了余弦信号

它经过周期傅里叶变换以后

可以清楚地看到它的半复振幅

其实看见了半复振幅

也就看见了它的模和初相位

包括它半复振幅出现的位置

相当于指定的是一个Δf

一个Δf是周期分之一就看见了频率

所以这样在余弦信号的无理频谱当中

已经把余弦信号的三个参数

都能够清楚的表现出来了

从刚才我们给的那个图上大家也都可以看到

是这样的

这一节我们把复周期信号

还有一些简单的周期信号

比如说直流信号还有余弦信号它的无理频谱

也就是它们的周期傅里叶变换做了一些讨论

而且给出一些证明

实际上这个可以将来作为一个

继续深入讨论的一个基础

好 这一节我们就到这里

动态测试与分析（上）课程列表：

绪论

-课程简介

--教材简介

第一章 动态信号与信号内积

-第一周

--1.1.1 动态信号——动态信号与信号内积

--1.1.1 动态信号——动态信号定义

--1.1.1 动态信号——动态信号分类

--1.1.2 时不变信号——余弦信号

--1.1.2 时不变信号——余弦信号的复数表示

--1.1.2 时不变信号——余弦信号的频域特征

--1.1.2 时不变信号——发动机振动加速度信号

--1.1.2 时不变信号——汽车怠速的车内噪声信号

-第1章 动态信号与信号内积--第一周作业

-第二周

--1.1.3 时变信号——时变信号定义

--1.1.3 时变信号——车辆旁通声信号

--1.1.3 时变信号——曲轴加速扭振信号

-第三周

--1.1.4 周期信号与非周期信号——动态信号分类2

--1.1.4 周期信号与非周期信号——非周期信号及其离散化

--1.1.4 周期信号与非周期信号——周期信号及其离散化

--1.1.4 周期信号与非周期信号——周期叠加定理

--1.1.5 余弦型信号——余弦型信号

--1.1.6 类脉冲激励信号——类脉冲激励信号

-第1章 动态信号与信号内积--第三周作业

-第四周

--1.2.1 内积规则——内积规则

--1.2.1 内积规则——多信号内积

--1.2.1 内积规则——内积嵌套

--1.2.1 内积规则——连续内积与离散内积的极限等价关系

--1.2.1 内积规则——周期信号的极限等价关系

--1.2.1 内积规则——内积与矢量积

--1.2.2 相关内积变换——镜像信号

--1.2.2 相关内积变换——相关内积

--1.2.2 相关内积变换——相卷内积

-第1章 动态信号与信号内积--第四周作业

第二章 信号分析函数

-第五周

--2.1.1 窗函数——窗函数特征

--2.1.1 窗函数——矩形窗函数

--2.1.1 窗函数——窗函数的形成

--2.1.2 余弦窗函数

--2.1.3 信号加窗

--2.1.4 高斯窗函数

--2.1.5 窗函数的离散化

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——周期构造函数

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——大周期信号的取值定理

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——大周期信号的中心周期取值

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——整周期构造不变形

--2.2.2 周期窗函数

--2.2.3 加窗周期信号的加窗构成

-第2章 信号分析函数--第五周作业

-第六周

--2.3.1 有限冲激函数

--2.3.2 无限冲激函数——无限冲激函数

--2.3.2 无限冲激函数——栅栏函数

--2.4.1 相位函数——相位函数1

--2.4.1 相位函数——相位函数2

--2.4.1 相位函数——相位函数3

-第2章 信号分析函数--第六周作业

-第七周

--2.4.2 科思克函数——科思克函数1

--2.4.2 科思克函数——科思克函数2

--2.4.2 科思克函数——科思克函数3

--2.4.3 辛克函数——辛克函数1

--2.4.3 辛克函数——辛克函数2

--2.4.3 辛克函数——辛克函数3

-第2章 信号分析函数--第七周作业

-第八周

--2.4.4 辛克函数——辛克函数4

--2.4.4 辛克函数——辛克函数5

--2.4.4 辛克函数——辛克函数6

--2.4.5 辛克函数——辛克函数7

--2.4.5 辛克函数——辛克函数8

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数1

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数2

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数3

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数4

-第2章 信号分析函数--第八周作业

-第九周

--2.4.7 正弦比函数——正弦比函数1

--2.4.7 正弦比函数——正弦比函数2

--2.4.7 正弦比函数——正弦比函数3

-第十周

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数4

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数5

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数6

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数7

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数8

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数9

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数10

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数11

-第十一周

--2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（1）

--2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（2）

--2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（3）

--2.5.2 时续傅里叶函数——时续傅里叶函数（1）

--2.5.2 时续傅里叶函数——时续傅里叶函数（2）

--2.5.3 离散傅里叶函数

-第2章 信号分析函数--第十一周作业

-第十二周

--2.5.4 傅里叶谱——傅里叶谱定义

--2.5.4 傅里叶谱——傅里叶谱的可逆变换

--2.5.4 傅里叶谱——可逆变换的快速算法

--3.1.1 周期傅里叶变换——周期傅里叶变换（1）

--3.1.1 周期傅里叶变换——周期傅里叶变换（2）

-第2章 信号分析函数--第十二周作业

第三章 周期信号分析原理

-第十三周

--3.1.2 周期傅里叶变换（第二部分）——周期傅里叶变换（3）

--3.1.2 周期傅里叶变换（第二部分）——周期傅里叶变换（4）

--3.1.3 周期傅里叶逆变换——周期傅里叶逆变换（1）

--3.1.3 周期傅里叶逆变换——周期傅里叶逆变换（2）

--3.1.4 无理频谱的非周期性

-第3章 周期信号分析原理--第十三周作业

-第十四周

--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（1）

--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（2）

--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（3）

--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱（二）——运算型周期信号的无理频谱（4）

--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱（二）——运算型周期信号的无理频谱（5）

--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱（二）——运算型周期信号的无理频谱（6）

-第3章 周期信号分析原理--第十四周作业

-第十五周

--3.3.1 周期余弦窗的无理频谱

--3.3.2 中心方波的无理频谱

--3.3.2 双向方波的无理频谱

--3.3.2 原点方波的无理频谱

--3.4.1 矩形窗逆变周期信号

--3.4.1 矩形谱窗有限逆变

--3.4.1 方波信号无理频谱的有限逆变

--3.4.2 方波信号无理频谱的无穷逆变（1）

--3.4.2 方波信号无理频谱的无穷逆变（2）

-第3章 周期信号分析原理--第十五周作业

3.1.2 周期傅里叶变换（第二部分）——周期傅里叶变换（4）笔记与讨论

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