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2.5.2 时续傅里叶函数——时续傅里叶函数（1）

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2.5.2 时续傅里叶函数——时续傅里叶函数（1）课程教案、知识点、字幕

好 同学们

上一节我们介绍了傅里叶函数里边的

连续傅里叶函数

这一节我们介绍它的第二个函数

就是时续傅里叶函数

我们开始讲时续傅里叶函数

时续傅里叶函数

首先时续傅里叶函数

实际它就是从连续傅里叶函数来的

它是连续傅里叶函数的频率离散化

连续傅里叶函数的频率离散化

它的定义可以用连续傅里叶来定义

就是说这是时续傅里叶函数的符号

时续符号用ΨT来表达

因为频率被离散化了

所以用一个n来代替

这个时候它是等于是ΨC

然后是n除以T

对 这么一个结果

这里边t是连续域n是在整数域

这个时候大T它是一个常数

它是一个正实数

是这样的

由于这样我们就可以直接写出

它的数学表达式

ΨT(n,t)就等于是ej2πnt除T是这样的

根据相位函数与三角函数的关系

就是欧拉公式等于cos2πn/Tt

然后加上jsin2πn/Tt是这样的

是这样的一个结果

我们可以有了这个结果

我们可以看一下它的图象

现在我们看到的是时续傅里叶函数的实部

因为它的实部

它的这个在的时间方向

我们看过去它是一个余弦函数

而且在频率方向

因为它是离散的

这个时候我们就看到

n是从 都是一些整数的值

可以看到

这个方向看过去是余弦函数

余弦型的函数

另外我们还可以看到它的虚部

它的虚部就是一个正弦型函数

从那里看到它是一个正弦的

它是一个正弦型的函数

在时间连续的方向 是这样

在这里要注意这个n

这个自变量n

虽然它是一个整数

但是现在实际上它所代表的频率

这里我们可以看到

它相当于是一个ΨC(nΔf,t)这里

所以这里现在这个Δf相当是T分之一

所以每一个n的变化其实都

背后都隐藏着一个Δf的变化

所以它是一个频率的概念

依然是一个频率的概念

是这样

我们在实际的表达过程当中

可能都需要注意这个

这是另外一个

另外一个我们分析一下

时续傅里叶函数它的周期性

它的周期性

我们可以看到当n等于0的时候

ΨT(n,t)它是等于1的

那么这个时候1呢

你可以认为它是任意周期

所以现在我们认为它周期为T也是可以的

周期

认为是T也是可以的

当n等于1的时候

这个ΨT它是等于是ej2π(1/T)t

所以这个时候它的周期就是T

当n等于其他值的时候

大于1的情况

ΨT 这个(n,t)就等于是ej2π(n/T)t

它的这个周期是T除以n

所以不管怎么样

T都是这些周期的整倍数

因为这个n是个整数

都是整倍数

所以我们可以通常的

把这个时续傅里叶函数

它的周期称之为T

我们以前曾经规定过周期

函数的周期值是最小周期

但是实际上它的周期的整倍数也是它的周期

所以在这个意义上来讲

我们也可以认为它这个时续傅里叶函数的周期是T

当然对于具体的n值

倒可以根据具体的情况来考虑它的最小周期

既然时续傅里叶函数它具有周期性

所以我们来看一下它的周期均积

周期均积的符号是Pm(n)

然后是对ΨT(n,t)的一个周期均积的一个计算

然后是t 是在连续域里边的

然后n是在整数域里边的

n是在整数域里 是这样

而这里下标全部被省略的话

它的这个

因为它是周期函数

所以它是周期均积的表示

而内积的变量

由于这里n被保留下来

自然就是t 是这样

这是时续傅里叶函数周期均积它的定义

它的定义是这样

在我们继续推导它的内积形式的时候

我们首先给出它的结论

它的结论就是它的周期均积

Pm(n)它最后应该是与一个

我们原来曾经讲到的单位冲激函数

也是个离散函数 和它相等

这是单位冲激函数

大家在书上可以查到

对于它的一些定义和它的一些性质

我们来看为什么会有这样的结论

根据时续傅里叶函数它的定义

我们可以把它写成一个相位函数

就是这里

我们可以把它写成一个相位函数

然后来分析它的周期均积

这个周期均积Pm(n)

它本来是一个周期均积的一个表示

我们把它先拆开

那么有周期 然后有均积

拆开 它是它的那个

范围是在正负二分之T的一个周期

这里边我们用一个相位函数来表示

这个相位函数这个时候

由于我们把它写成了一个简单的相位函数

那么实际上它这里的ω应该等于是2πn/T

这里t是处于实数域的

处于实数域 是这样的

这个函数它是一个

t是实数域

这是个连续的定积分

我们继续把它求一下

这是T分之一

然后相位函数的定积分我们以前知道

它应该是它的上限值再减去它的下限值

然后再除以jω

跟刚才一样

这个负号我们可以拿到上面去

这个负号可以拿上去做*号

这就是一个共轭差

相位函数共轭差

如果我们把这个j再给它配一个2这边除2

这个时候2j它的共轭差就正好是一个正弦函数

这个时候它就等于一个正弦是ωT除2

因为正弦除角度的时候

得把它的那个常数ω代出来

这里2j就已经配sin配走了

还剩下ω除2

这个时候可以发现sin的角度

分子sin的角度跟分母是完全一样的

所以它正好是一个辛克函数

在写成辛克函数之前

我们要给它配上一个π

把辛克函数里边隐藏那个π给它配出来

辛克函数ω除πT除2

这是辛克函数

我们把ω刚才得到结果再代进去

sinc ω是2πn/T然后除π T除2

这里T和T消掉了 π和π消掉了

2和2消掉 只留下n

最后它就等于是sinc(n)

由于n是一个整数

我们在讨论辛克函数的时候已经谈论到

当辛克函数的自变量为整数的时候

它这个时候蜕化成了单位冲激函数u(n)

就是这样δu(n)

这是单位冲激函数

这个单位冲激函数

我们在书上大家可以看到

看到它的图像

书上已经有

我们就不再看了

所以我们开始得到的这个结论应该是正确的

没有问题

这就是它的周期均积为单位冲激函数

这是时续傅里叶函数的一个特点

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绪论

-课程简介

--教材简介

第一章 动态信号与信号内积

-第一周

--1.1.1 动态信号——动态信号与信号内积

--1.1.1 动态信号——动态信号定义

--1.1.1 动态信号——动态信号分类

--1.1.2 时不变信号——余弦信号

--1.1.2 时不变信号——余弦信号的复数表示

--1.1.2 时不变信号——余弦信号的频域特征

--1.1.2 时不变信号——发动机振动加速度信号

--1.1.2 时不变信号——汽车怠速的车内噪声信号

-第1章 动态信号与信号内积--第一周作业

-第二周

--1.1.3 时变信号——时变信号定义

--1.1.3 时变信号——车辆旁通声信号

--1.1.3 时变信号——曲轴加速扭振信号

-第三周

--1.1.4 周期信号与非周期信号——动态信号分类2

--1.1.4 周期信号与非周期信号——非周期信号及其离散化

--1.1.4 周期信号与非周期信号——周期信号及其离散化

--1.1.4 周期信号与非周期信号——周期叠加定理

--1.1.5 余弦型信号——余弦型信号

--1.1.6 类脉冲激励信号——类脉冲激励信号

-第1章 动态信号与信号内积--第三周作业

-第四周

--1.2.1 内积规则——内积规则

--1.2.1 内积规则——多信号内积

--1.2.1 内积规则——内积嵌套

--1.2.1 内积规则——连续内积与离散内积的极限等价关系

--1.2.1 内积规则——周期信号的极限等价关系

--1.2.1 内积规则——内积与矢量积

--1.2.2 相关内积变换——镜像信号

--1.2.2 相关内积变换——相关内积

--1.2.2 相关内积变换——相卷内积

-第1章 动态信号与信号内积--第四周作业

第二章 信号分析函数

-第五周

--2.1.1 窗函数——窗函数特征

--2.1.1 窗函数——矩形窗函数

--2.1.1 窗函数——窗函数的形成

--2.1.2 余弦窗函数

--2.1.3 信号加窗

--2.1.4 高斯窗函数

--2.1.5 窗函数的离散化

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——周期构造函数

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——大周期信号的取值定理

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——大周期信号的中心周期取值

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——整周期构造不变形

--2.2.2 周期窗函数

--2.2.3 加窗周期信号的加窗构成

-第2章 信号分析函数--第五周作业

-第六周

--2.3.1 有限冲激函数

--2.3.2 无限冲激函数——无限冲激函数

--2.3.2 无限冲激函数——栅栏函数

--2.4.1 相位函数——相位函数1

--2.4.1 相位函数——相位函数2

--2.4.1 相位函数——相位函数3

-第2章 信号分析函数--第六周作业

-第七周

--2.4.2 科思克函数——科思克函数1

--2.4.2 科思克函数——科思克函数2

--2.4.2 科思克函数——科思克函数3

--2.4.3 辛克函数——辛克函数1

--2.4.3 辛克函数——辛克函数2

--2.4.3 辛克函数——辛克函数3

-第2章 信号分析函数--第七周作业

-第八周

--2.4.4 辛克函数——辛克函数4

--2.4.4 辛克函数——辛克函数5

--2.4.4 辛克函数——辛克函数6

--2.4.5 辛克函数——辛克函数7

--2.4.5 辛克函数——辛克函数8

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数1

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数2

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数3

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数4

-第2章 信号分析函数--第八周作业

-第九周

--2.4.7 正弦比函数——正弦比函数1

--2.4.7 正弦比函数——正弦比函数2

--2.4.7 正弦比函数——正弦比函数3

-第十周

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数4

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数5

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数6

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数7

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数8

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数9

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数10

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数11

-第十一周

--2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（1）

--2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（2）

--2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（3）

--2.5.2 时续傅里叶函数——时续傅里叶函数（1）

--2.5.2 时续傅里叶函数——时续傅里叶函数（2）

--2.5.3 离散傅里叶函数

-第2章 信号分析函数--第十一周作业

-第十二周

--2.5.4 傅里叶谱——傅里叶谱定义

--2.5.4 傅里叶谱——傅里叶谱的可逆变换

--2.5.4 傅里叶谱——可逆变换的快速算法

--3.1.1 周期傅里叶变换——周期傅里叶变换（1）

--3.1.1 周期傅里叶变换——周期傅里叶变换（2）

-第2章 信号分析函数--第十二周作业

第三章 周期信号分析原理

-第十三周

--3.1.2 周期傅里叶变换（第二部分）——周期傅里叶变换（3）

--3.1.2 周期傅里叶变换（第二部分）——周期傅里叶变换（4）

--3.1.3 周期傅里叶逆变换——周期傅里叶逆变换（1）

--3.1.3 周期傅里叶逆变换——周期傅里叶逆变换（2）

--3.1.4 无理频谱的非周期性

-第3章 周期信号分析原理--第十三周作业

-第十四周

--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（1）

--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（2）

--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（3）

--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱（二）——运算型周期信号的无理频谱（4）

--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱（二）——运算型周期信号的无理频谱（5）

--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱（二）——运算型周期信号的无理频谱（6）

-第3章 周期信号分析原理--第十四周作业

-第十五周

--3.3.1 周期余弦窗的无理频谱

--3.3.2 中心方波的无理频谱

--3.3.2 双向方波的无理频谱

--3.3.2 原点方波的无理频谱

--3.4.1 矩形窗逆变周期信号

--3.4.1 矩形谱窗有限逆变

--3.4.1 方波信号无理频谱的有限逆变

--3.4.2 方波信号无理频谱的无穷逆变（1）

--3.4.2 方波信号无理频谱的无穷逆变（2）

-第3章 周期信号分析原理--第十五周作业

2.5.2 时续傅里叶函数——时续傅里叶函数（1）笔记与讨论

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