2.5.4 傅里叶谱——可逆变换的快速算法慕课视频播放-动态测试与分析（上）-MOOC慕课视频教程-柠檬大学

就像刚才正变换一样

可以用FFT来实行这个变换

对于这个可逆变换实际上也有一个快速算法

就是说这个Xd(k)可以通过一个逆傅里叶变换来计算

它的计算的对象就是Xf(n)

可以通过它来计算

FFT本身是有一个算法的它有一个算法

大家可以参照这个书的7.3节

就是关于FFT的计算

FFT可以参照书上的7.3节

IFFT它有没有一个算法

实际上我们的回答是对于逆傅里叶变换

它不存在一个专门针对它的算法

它可以借助于FFT来实现

我们首先就给出它的逆变换的快速算法

逆变换的快速算法

直接给出结论是Xd(k)可以通过Xf

对它求共轭以后然后再做FFT

做完了FFT再求一个共轭

最后再除以一个N就可以得到它

是这个意思

就是说它把这个傅里叶谱取一个共轭

然后去求FFT

FFT的结果就是快速傅里叶变换的结果

再取一个共轭

再除以一个N就可以得到它

是这样一个算法

我们来证一下

看看为什么会这样

刚才我们已经给出了这个它的逆变的公式

逆变的式子是这样

我们可以得到

通过这个公式我们可以得到

Xd的共轭应该等于什么

这是我们的证明

从这里我们可以得到它的共轭

应该是N分之一然后是它的共轭它的共轭

这个式子

Xf的共轭然后是ψN再共轭这是(n,k)

然后这个是做的是对n做的是零到N减1

是这样

这里的nk都是整数

而k的范围也是零到N减1

跟这些规定都是一样的

这下我们可以看到

刚才我们曾经给出了Xf的

我们来回顾一下

Xf的它的这个给出来的定义

它应该是Xd(k)然后ψN*(n,k)

然后n零到N减1

由于在这个离散傅里叶函数里边

n和k的地位是对等的

你对k做的计算跟对n做的计算是一样的

而且这两个是可以交换位置的

所以这个公式里边就有点像是对它对它

再求一次傅里叶谱

可以用快速傅里叶变换来实现

所以我们可以写成了

N等于是FFT Xf*(n)这样的结果

从这个结果我们就这有一个n

再两边再取一个共轭它就平分了

所以我们不再写了

最后它就证明这个东西是成立的

它是成立的是这样

所以我们就可以利用

最后我们是可以利用FFT来完成IFFT的计算

实际上我们在有的软件里边

你可能能找到IFFT的函数

但是它的这个IFFT的内部也是利用FFT来完成的

就用不着再去专门的给出一个IFFT的独立算法

而是通过FFT来完成

不管是在正变换得到傅里叶谱的过程当中

还是逆变换得到这个离散的信号当中

都会出现了k和n

在这里我们要清楚这个k和n代表着什么

如果Xd(k)它代表的时间

就是说k乘上你的采样时间的话

它是一个时间域的话

这个n就应该是代表着频域

代表着频域相当于n乘Δf

它就是一个fn所以它的频域

如果这个是秒的单位

这个是赫兹的单位是这样

所以它们Xd如果代表的是时域的信号

它的傅里叶谱代表的是频域的谱

是这个意思

它所以它也是一个频谱

另外我们还知道在离散傅里叶变换的离散化过程当中

这个Δf在n对应的Δf和k对应的Δt

是有关联关系的

在这里就是说Δf乘上Δt

它是存在一个N分之一的关系

是这样子的

所以实际我们在抽样的时候

Δt如果确定了

这个采样的数量也已经确定了以后

这个Δt Δf也就确定了

所以在这个这样一个变换的过程当中

不管是正变换还是它的逆变换形式

它只要在时域确定了

频域就是确定的

这两个实际上都可以是时域参数

这是时域的采样间隔

这是时域的采样数就这样

然后这两个一旦确定

这个Δf就是确定的

所以它是一种关联离散化

这么代的

所以n代表的是频域

如果k代表时域 n就代表是频域

就是这样

好这一节我们给大家介绍了傅里叶谱

傅里叶谱它是一个纯计算

而且它存在着快速算法

在我们的动态信号分析里边

都有着非常广泛的用途

但是它本身并不具备物理意义

它所有的物理意义

都是需要根据具体的应用的地方和位置来确定

好这一节的内容就到这儿

动态测试与分析（上）课程列表：

绪论

-课程简介

--教材简介

第一章动态信号与信号内积

-第一周

--1.1.1 动态信号——动态信号与信号内积

--1.1.1 动态信号——动态信号定义

--1.1.1 动态信号——动态信号分类

--1.1.2 时不变信号——余弦信号

--1.1.2 时不变信号——余弦信号的复数表示

--1.1.2 时不变信号——余弦信号的频域特征

--1.1.2 时不变信号——发动机振动加速度信号

--1.1.2 时不变信号——汽车怠速的车内噪声信号

-第1章动态信号与信号内积--第一周作业

-第二周

--1.1.3 时变信号——时变信号定义

--1.1.3 时变信号——车辆旁通声信号

--1.1.3 时变信号——曲轴加速扭振信号

-第三周

--1.1.4 周期信号与非周期信号——动态信号分类2

--1.1.4 周期信号与非周期信号——非周期信号及其离散化

--1.1.4 周期信号与非周期信号——周期信号及其离散化

--1.1.4 周期信号与非周期信号——周期叠加定理

--1.1.5 余弦型信号——余弦型信号

--1.1.6 类脉冲激励信号——类脉冲激励信号

-第1章动态信号与信号内积--第三周作业

-第四周

--1.2.1 内积规则——内积规则

--1.2.1 内积规则——多信号内积

--1.2.1 内积规则——内积嵌套

--1.2.1 内积规则——连续内积与离散内积的极限等价关系

--1.2.1 内积规则——周期信号的极限等价关系

-第1章动态信号与信号内积--第四周作业

第二章信号分析函数

-第五周

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——周期构造函数

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——大周期信号的取值定理

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——大周期信号的中心周期取值

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——整周期构造不变形

--2.2.2 周期窗函数

--2.2.3 加窗周期信号的加窗构成

-第2章信号分析函数--第五周作业

-第六周

--2.3.1 有限冲激函数

--2.3.2 无限冲激函数——无限冲激函数

-第2章信号分析函数--第六周作业

-第七周

--2.4.2 科思克函数——科思克函数1

--2.4.2 科思克函数——科思克函数2

--2.4.2 科思克函数——科思克函数3

--2.4.3 辛克函数——辛克函数1

--2.4.3 辛克函数——辛克函数2

--2.4.3 辛克函数——辛克函数3

-第2章信号分析函数--第七周作业

-第八周

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数1

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数2

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数3

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数4

-第2章信号分析函数--第八周作业

-第九周

--2.4.7 正弦比函数——正弦比函数1

--2.4.7 正弦比函数——正弦比函数2

--2.4.7 正弦比函数——正弦比函数3

-第十周

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数4

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数5

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数6

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数7

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数8

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数9

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数10

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数11

-第十一周

--2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（1）

--2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（2）

--2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（3）

--2.5.2 时续傅里叶函数——时续傅里叶函数（1）

--2.5.2 时续傅里叶函数——时续傅里叶函数（2）

--2.5.3 离散傅里叶函数

-第2章信号分析函数--第十一周作业

-第十二周

--2.5.4 傅里叶谱——傅里叶谱定义

--2.5.4 傅里叶谱——傅里叶谱的可逆变换

--2.5.4 傅里叶谱——可逆变换的快速算法

--3.1.1 周期傅里叶变换——周期傅里叶变换（1）

--3.1.1 周期傅里叶变换——周期傅里叶变换（2）

-第2章信号分析函数--第十二周作业

第三章周期信号分析原理

-第十三周

--3.1.2 周期傅里叶变换（第二部分）——周期傅里叶变换（3）

--3.1.2 周期傅里叶变换（第二部分）——周期傅里叶变换（4）

--3.1.3 周期傅里叶逆变换——周期傅里叶逆变换（1）

--3.1.3 周期傅里叶逆变换——周期傅里叶逆变换（2）

--3.1.4 无理频谱的非周期性

-第3章周期信号分析原理--第十三周作业

-第十四周

--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（1）

--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（2）

--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（3）

--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱（二）——运算型周期信号的无理频谱（4）

--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱（二）——运算型周期信号的无理频谱（5）

--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱（二）——运算型周期信号的无理频谱（6）

-第3章周期信号分析原理--第十四周作业

-第十五周

--3.4.1 方波信号无理频谱的有限逆变

--3.4.2 方波信号无理频谱的无穷逆变（1）

--3.4.2 方波信号无理频谱的无穷逆变（2）

-第3章周期信号分析原理--第十五周作业

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