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2.5.4 傅里叶谱——傅里叶谱定义

下一节:2.5.4 傅里叶谱——傅里叶谱的可逆变换

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2.5.4 傅里叶谱——傅里叶谱定义课程教案、知识点、字幕

同学们

我们上一节给大家介绍了傅里叶函数

傅里叶函数包括连续傅里叶函数

时续傅里叶函数和离散傅里叶函数

在其中只有离散傅里叶函数是可以用以实际的计算的

其他两个傅里叶函数都是作为理论分析所用

今天我们就来看一下这个离散傅里叶变换

它的实际参加计算的一个结果

好我们现在开始

今天我们要介绍的是离散傅里叶函数

它参与计算的一个实际的例子

那个叫做傅里叶谱

首先我们给出傅里叶谱的定义

我们用Xf(n)来表示傅里叶谱

它的定义是一个离散的信号

Xd(k)以离散傅里叶函数的共轭做一个内积

这个内积是对k进行的

它的常数是零到N减1

在整个这个内积里这个n和k都是整数

k是零到N减1

n实际上也需要规定它是零到N减1

是这样的一个函数

我们把这样的一个式子它出来的结果

就称之为傅里叶谱是这样的

我们这是这个傅里叶谱的一个定义

这个式子实际上是可以实际计算的

因为这个离散的信号

我们可以从采样里边获得

或者从别的地方获得

它实际上就是一连串的数字

而这个离散傅里叶函数它是有确定性的公式

它的公式我们曾经给出来它是e就是这个

它是e -j2πnk/N

所以这个函数实际它也是可以计算的

整个这个式子可以计算

针对这个式子

实际上我们现在还有一种快速计算法

称之为FFT

所以它可以通过FFT来进行计算

我们现在看见的FFT的函数就是快速傅里叶变换

快速傅里叶变换的函数

就是它的基本公式就是上边这一个公式

这个函数在很多地方都可以找到

是这样的

由于使用了这个快速的算法

能够直接算出这个傅里叶谱

所以使得这个计算变得非常的快捷

它的这个计算效率

我们可以来看一下它的计算效率

如果我们把这个公式的计算量看成1

而这个公式计算量看做2的话

我们那个效率实际上就是1比上2来得到

对于乘法这里边因为整个这计算里边

不管是按这个计算还是按这个计算都有乘法

乘法的效率我们用rm来表示

它可以表达成整个这个长度N的一个表达式

在这里我们在写出它这个长度的同时

同时还要给出它的一个条件

就是说这个N等于2的m次方

就是说如果FFT采用基2的算法

它的这个乘法的效率

就是它的乘法数量比上它的乘法数量

是2N比上m减2这样一个数

对于加法的效率它应该是

我们叫ra就是加法的效率

它是N除以m这样一个量

对于这个量的话

实际上我们给一个实际的感性认识是什么

比如说如果m等于11

我们就可以根据这个式子

因为它是基2的算法

它是N的就是这个数据量的长度

应该是2的m次方

这个时候m就等于2048

这个时候的乘法效率会达到455

而加法效率会达到186

就是说当m取11的时候

用FFT计算的话用基2算法

它速度是这个的速度455倍

这个倍率是很高的

就是说如果这个用一秒钟算完了

这个需要455秒

所以这个效率是非常高的

为了看清楚它的整个m变化

我们给一个图把这个公式看一下

现在画面上看见的这个图

就是基2算法FFT的它的这个效率图

横轴是m就是这个指数

横轴是2的m次方的这个指数

纵轴就是这个效率

黑点是乘法效率这个星号表达的是加法效率

由于它这个随着m的变化

就这个2的指数m的变化

它的这个效率变化非常快

所以我们纵轴只能用对数轴来表达

可以看见随着m的增长

它这个增长是很高的增长是很快的

就是这个它的倍率也就是它的效率

就是说它的m越大

它的这个效率值会越高

所以如果采用FFT计算

基本上就是说你N越长效率越高

就这个意思

好所以我们平时都会采用FFT来计算这个式子

但是不管怎么样

我们算的这个傅里叶谱

它仅仅是一个数学计算的结果

是一个纯计算方法是一个纯计算

这个计算的结果没有实际的物理意义

它的真正的物理意义

要跟你怎么使用这个工具

这个快速计算工具或者就是这个公式

它背景是这个公式

使用这个快速计算工具

计算这个结果要根据你实际的问题

它对应不同的物理意义

所以它本身就是一个纯数学计算的结果

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绪论

-课程简介

第一章动态信号与信号内积

-第一周

--1.1.1 动态信号——动态信号与信号内积

--1.1.1 动态信号——动态信号定义

--1.1.1 动态信号——动态信号分类

--1.1.2 时不变信号——余弦信号

--1.1.2 时不变信号——余弦信号的复数表示

--1.1.2 时不变信号——余弦信号的频域特征

--1.1.2 时不变信号——发动机振动加速度信号

--1.1.2 时不变信号——汽车怠速的车内噪声信号

-第1章动态信号与信号内积--第一周作业

-第二周

--1.1.3 时变信号——时变信号定义

--1.1.3 时变信号——车辆旁通声信号

--1.1.3 时变信号——曲轴加速扭振信号

-第三周

--1.1.4 周期信号与非周期信号——动态信号分类2

--1.1.4 周期信号与非周期信号——非周期信号及其离散化

--1.1.4 周期信号与非周期信号——周期信号及其离散化

--1.1.4 周期信号与非周期信号——周期叠加定理

--1.1.5 余弦型信号——余弦型信号

--1.1.6 类脉冲激励信号——类脉冲激励信号

-第1章动态信号与信号内积--第三周作业

-第四周

--1.2.1 内积规则——内积规则

--1.2.1 内积规则——多信号内积

--1.2.1 内积规则——内积嵌套

--1.2.1 内积规则——连续内积与离散内积的极限等价关系

--1.2.1 内积规则——周期信号的极限等价关系

--1.2.1 内积规则——内积与矢量积

--1.2.2 相关内积变换——镜像信号

--1.2.2 相关内积变换——相关内积

--1.2.2 相关内积变换——相卷内积

-第1章动态信号与信号内积--第四周作业

第二章信号分析函数

-第五周

--2.1.1 窗函数——窗函数特征

--2.1.1 窗函数——矩形窗函数

--2.1.1 窗函数——窗函数的形成

--2.1.2 余弦窗函数

--2.1.3 信号加窗

--2.1.4 高斯窗函数

--2.1.5 窗函数的离散化

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——周期构造函数

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——大周期信号的取值定理

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——大周期信号的中心周期取值

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——整周期构造不变形

--2.2.2 周期窗函数

--2.2.3 加窗周期信号的加窗构成

-第2章信号分析函数--第五周作业

-第六周

--2.3.1 有限冲激函数

--2.3.2 无限冲激函数——无限冲激函数

--2.3.2 无限冲激函数——栅栏函数

--2.4.1 相位函数——相位函数1

--2.4.1 相位函数——相位函数2

--2.4.1 相位函数——相位函数3

-第2章信号分析函数--第六周作业

-第七周

--2.4.2 科思克函数——科思克函数1

--2.4.2 科思克函数——科思克函数2

--2.4.2 科思克函数——科思克函数3

--2.4.3 辛克函数——辛克函数1

--2.4.3 辛克函数——辛克函数2

--2.4.3 辛克函数——辛克函数3

-第2章信号分析函数--第七周作业

-第八周

--2.4.4 辛克函数——辛克函数4

--2.4.4 辛克函数——辛克函数5

--2.4.4 辛克函数——辛克函数6

--2.4.5 辛克函数——辛克函数7

--2.4.5 辛克函数——辛克函数8

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数1

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数2

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数3

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数4

-第2章信号分析函数--第八周作业

-第九周

--2.4.7 正弦比函数——正弦比函数1

--2.4.7 正弦比函数——正弦比函数2

--2.4.7 正弦比函数——正弦比函数3

-第十周

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数4

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数5

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数6

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数7

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数8

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数9

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数10

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数11

-第十一周

--2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（1）

--2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（2）

--2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（3）

--2.5.2 时续傅里叶函数——时续傅里叶函数（1）

--2.5.2 时续傅里叶函数——时续傅里叶函数（2）

--2.5.3 离散傅里叶函数

-第2章信号分析函数--第十一周作业

-第十二周

--2.5.4 傅里叶谱——傅里叶谱定义

--2.5.4 傅里叶谱——傅里叶谱的可逆变换

--2.5.4 傅里叶谱——可逆变换的快速算法

--3.1.1 周期傅里叶变换——周期傅里叶变换（1）

--3.1.1 周期傅里叶变换——周期傅里叶变换（2）

-第2章信号分析函数--第十二周作业

第三章周期信号分析原理

-第十三周

--3.1.2 周期傅里叶变换（第二部分）——周期傅里叶变换（3）

--3.1.2 周期傅里叶变换（第二部分）——周期傅里叶变换（4）

--3.1.3 周期傅里叶逆变换——周期傅里叶逆变换（1）

--3.1.3 周期傅里叶逆变换——周期傅里叶逆变换（2）

--3.1.4 无理频谱的非周期性

-第3章周期信号分析原理--第十三周作业

-第十四周

--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（1）

--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（2）

--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（3）

--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱（二）——运算型周期信号的无理频谱（4）

--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱（二）——运算型周期信号的无理频谱（5）

--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱（二）——运算型周期信号的无理频谱（6）

-第3章周期信号分析原理--第十四周作业

-第十五周

--3.3.1 周期余弦窗的无理频谱

--3.3.2 中心方波的无理频谱

--3.3.2 双向方波的无理频谱

--3.3.2 原点方波的无理频谱

--3.4.1 矩形窗逆变周期信号

--3.4.1 矩形谱窗有限逆变

--3.4.1 方波信号无理频谱的有限逆变

--3.4.2 方波信号无理频谱的无穷逆变（1）

--3.4.2 方波信号无理频谱的无穷逆变（2）

-第3章周期信号分析原理--第十五周作业

2.5.4 傅里叶谱——傅里叶谱定义笔记与讨论

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