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2.4.1 相位函数——相位函数3在线视频

2.4.1 相位函数——相位函数3

下一节:2.4.2 科思克函数——科思克函数1

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2.4.1 相位函数——相位函数3课程教案、知识点、字幕

下一个性质我们叫它的共轭镜像性

那么对于相位函数它的共轭

会直接可以变成它的镜像

这是它的镜像函数

镜像函数其实把自变量变负

就是它的镜像函数

共轭可以变镜像

反过来这个镜像也可以变成共轭

是这个意思

那么为什么是因为根据定义

这个左边它应该是等于是e-jωt

我们可以把它写成是e jω(-t)

最后它就可以等于是ψ(-t)

这个非常的直接

那么以后我们遇到这种情况

可以直接在共轭和镜像之间

来回可以自由的转换

相位函数的下一个特性

应该是它的共轭和

共轭和会成为倍余弦实倍的余弦

什么意思呢

就是说如果相位函数

我们给它做一个共轭和

就是相位函数的共轭和加起来

它是等于是实数倍余弦

2倍的余弦

这是相位函数的相位角是ωt

是这意思

那么为什么因为是这样

根据定义它这个左边

可以写成是ejωt再加上e-jωt

这是它的左边

最后我们根据

我们前边讲到的是

相位函数与三角函数的关系

就是欧拉公式

它可以展开成cosωt加上jsinωt

再加上cosωt再减去jsinωt

这上面这一行是在第一项展开的

下面这一行是第二项展开的结果

这样相加的结果

完了以后就等于是实2倍的

就是实数2倍的cosωt 是这样

那么以后我们就会遇到这样的情况

两个相位函数相加

我们就可以得到

直接用2倍的余弦来得到

就是它的角度

通过这个共轭和为实倍的余弦

我们还可以得到另外一个式子

我们可以得到另外一个式子

它的一个情况就是说

和相位函数建立起联系

其实就是cosωt

可以通过这二者之间建立起联系

它就把这个2除过去

它就等于是ψ(t)加上ψ*(t) 除2

是这样的可以得到这么一个公式

这个公式可以得到一个推论

推论公式就是把这个2除过去

最后有时候我们可以直接写出

它的显式就是ejωt加上e-jωt 除以2

这个公式其实也是欧拉公式的一种变形

有时候我们会遇到这种情况

我们需要把余弦转化为复指数来进行运算

可能更方便

有时候我们需要把复指数的一些组合

转换成三角函数

这个公式也是比较方便的

所以它也是欧拉公式的变形之一

相位函数还有一个性质

是它的共轭差

共轭差会成为虚倍的正弦

虚倍的正弦

那什么意思呢

就是说相位函数和它的共轭做一个差

得到的是虚倍的是j2sinωt

这个正弦的角度

正好就是这个相位函数的相角

那么我们来看为什么会得到这个结果

因为是这样左边一样

根据相位函数的定义是

ejωt减去e-jωt 是这样的

再根据相位函数和三角函数的关系

也就是欧拉公式可以展成cosωt

再加上jsinωt再减去cosωt

这是负的再减它就变成加上了jsinωt

最后等下来这个正负就抵消掉了余弦部分

就剩下了正弦部分

那么就是j2sinωt

这样就说明它是虚倍这是2倍

虚倍的正弦是这样子的

那么同样的跟刚才得到一个推论

就推到sin 就是正弦ωt

直接可以写成是ψ(t)减去

就是相位函数的共轭差

除以2j

是这个意思

最后就可以等于直接写成显式

ejωt减去e-jωt 除以2j

这也是欧拉公式的另一个变形

就是直接把sin和复指数函数

建立起来这个一个复数的关系

将来我们也可以遇到方便的时候

可以从把sin变成一个复指数差

共轭差

或者把复指数的共轭差

再除上一个2j

可以变成一个正弦函数

相位函数它运算能力很好

就是运算性非常强的一个函数

它可以进行还可以进行微分

那么实际上就是说

把一个相位函数做k阶微分

最后得到的是它的这个虚(jω)K

然后相位函数本身还不变

相位函数本身还不变

所以有人把相位函数

称为最强大的函数

就是你做多少阶微分它本身是不变的

是这个意思

这是因为我们是这样

如果我们对这个相位函数

它本身是ejω做微分的话

我们把它微一次

它可以就减少一次

微一次它就会出来一个jω

上面是K会减掉一次ejωt/dt K-1

咱们这样一直微下去

这边就会再出来jω

它这个指数就逐渐逐渐加

当这边微完了

那么这边也就把K都挪过来了

所以它就等于是jωK 微到最后

它依然不变还是它

最后就等于是jωK

还回它原来的表达式就是这样

所以它的微分就是只要乘上

多少阶微分就乘上多少阶的jω的指数

然后原来这个相位函数不变还是这样

相位函数最后一个性质

是它的离散自积

最开始我们讲了它的连续内积

连续自积它也是个内积是这样的

现在我们再来看它的离散内积

它的离散自积

其实就是它的自内积

是什么意思呢

就是相位函数如果它的自变量

是一个离散值的话

我们可以跟它做一个离散的内积

就相当于它是一个自积

最后的结果应该等于是ψ

它的第一个值

再减去ψK2再加一个值加1

最后是1减去ψ(1) 这样一个

就直接可以得到它的这个结果

但是为什么会可以得到这个结果

我们来看一下

因为它这个左边应该等于是

按照它的是ejω

然后这里是K

K我们把它整个写到外边做指数

然后是它的是K1一直到K2

这个式子它是一个离散的

这里边K是一个整数它是整数

所以这是一个离散的内积

离散的内积是一个合式

合式这是一个等比级数的和

因为它这个底是一个常数

ejω是常数它是等比级数的和

那么根据等比级数

它这个n项和的关系我们可以写出来

它的这个结果是什么

首先我们把这个把它变成了

因为这里可以把它变成ejω1

它相当于就是ψ(1)现在是K次方

所以这个等比级数它的底

它的底是ψ(1)做底

这样的话这个等比级数

我们根据等比级数n项和的公式

我们可以把它写出来了

应该是什么呢

就是它的第一项

它的第一项应该是ψK1(1)第一项

然后和1减去它底的n次方

这是ψ(1) 这是它的底

它的n次方

这里一共有多少项

n就是它的项数

这个项就是K2减K1 再加1

所以它的项数是K2-K1+1这是方

这里是一个分号逗号

然后这就是等比级数和

它的分母正好是1减去它的底是这个

它的底是这个

然后我们把这个式子

再把它展开把它乘进去

这个乘进去 1乘了不变

这个乘进去以后指数相加

指数相加把这个K1给抵消掉了

所以最后把它等一下

就可以等于上面是ψK1(1)

再减去ψK2+1(1)

后面是1-ψ(1)

前面我们曾经给了一个相位函数的性质

叫指数系数

它的指数系数性质意思就是

指数系数性质指的是

它的相位函数的这个指数

可以拿来作为

直接转换成它的自变量的系数

那么我们把这个指数

转到它的自变量系数上

我们就可以得到ψ(K1)-ψ(K2+1)

等于是1-ψ(1)

所以这就得到了这个结果

以后如果遇到了相位函数

要做离散自积的话

可以直接使用这个公式就比较简单

就不用再去做这一套的推导

这就是离散

相位函数的离散自积特性

这一节我们给大家介绍了相位函数

相位函数是一个非常特殊的函数

它在我们的动态信号分析里边

起着非常重要的作用

所以我们对它进行了比较详细的介绍

好这一节的内容就到此

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绪论

-课程简介

第一章动态信号与信号内积

-第一周

--1.1.1 动态信号——动态信号与信号内积

--1.1.1 动态信号——动态信号定义

--1.1.1 动态信号——动态信号分类

--1.1.2 时不变信号——余弦信号

--1.1.2 时不变信号——余弦信号的复数表示

--1.1.2 时不变信号——余弦信号的频域特征

--1.1.2 时不变信号——发动机振动加速度信号

--1.1.2 时不变信号——汽车怠速的车内噪声信号

-第1章动态信号与信号内积--第一周作业

-第二周

--1.1.3 时变信号——时变信号定义

--1.1.3 时变信号——车辆旁通声信号

--1.1.3 时变信号——曲轴加速扭振信号

-第三周

--1.1.4 周期信号与非周期信号——动态信号分类2

--1.1.4 周期信号与非周期信号——非周期信号及其离散化

--1.1.4 周期信号与非周期信号——周期信号及其离散化

--1.1.4 周期信号与非周期信号——周期叠加定理

--1.1.5 余弦型信号——余弦型信号

--1.1.6 类脉冲激励信号——类脉冲激励信号

-第1章动态信号与信号内积--第三周作业

-第四周

--1.2.1 内积规则——内积规则

--1.2.1 内积规则——多信号内积

--1.2.1 内积规则——内积嵌套

--1.2.1 内积规则——连续内积与离散内积的极限等价关系

--1.2.1 内积规则——周期信号的极限等价关系

--1.2.1 内积规则——内积与矢量积

--1.2.2 相关内积变换——镜像信号

--1.2.2 相关内积变换——相关内积

--1.2.2 相关内积变换——相卷内积

-第1章动态信号与信号内积--第四周作业

第二章信号分析函数

-第五周

--2.1.1 窗函数——窗函数特征

--2.1.1 窗函数——矩形窗函数

--2.1.1 窗函数——窗函数的形成

--2.1.2 余弦窗函数

--2.1.3 信号加窗

--2.1.4 高斯窗函数

--2.1.5 窗函数的离散化

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——周期构造函数

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——大周期信号的取值定理

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——大周期信号的中心周期取值

--2.2.1 加窗周期信号的周期构造——整周期构造不变形

--2.2.2 周期窗函数

--2.2.3 加窗周期信号的加窗构成

-第2章信号分析函数--第五周作业

-第六周

--2.3.1 有限冲激函数

--2.3.2 无限冲激函数——无限冲激函数

--2.3.2 无限冲激函数——栅栏函数

--2.4.1 相位函数——相位函数1

--2.4.1 相位函数——相位函数2

--2.4.1 相位函数——相位函数3

-第2章信号分析函数--第六周作业

-第七周

--2.4.2 科思克函数——科思克函数1

--2.4.2 科思克函数——科思克函数2

--2.4.2 科思克函数——科思克函数3

--2.4.3 辛克函数——辛克函数1

--2.4.3 辛克函数——辛克函数2

--2.4.3 辛克函数——辛克函数3

-第2章信号分析函数--第七周作业

-第八周

--2.4.4 辛克函数——辛克函数4

--2.4.4 辛克函数——辛克函数5

--2.4.4 辛克函数——辛克函数6

--2.4.5 辛克函数——辛克函数7

--2.4.5 辛克函数——辛克函数8

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数1

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数2

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数3

--2.4.6 互补辛克函数——互补辛克函数4

-第2章信号分析函数--第八周作业

-第九周

--2.4.7 正弦比函数——正弦比函数1

--2.4.7 正弦比函数——正弦比函数2

--2.4.7 正弦比函数——正弦比函数3

-第十周

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数4

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数5

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数6

--2.4.8 正弦比函数——正弦比函数7

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数8

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数9

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数10

--2.4.9 正弦比函数——正弦比函数11

-第十一周

--2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（1）

--2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（2）

--2.5.1 连续傅里叶函数——连续傅里叶函数（3）

--2.5.2 时续傅里叶函数——时续傅里叶函数（1）

--2.5.2 时续傅里叶函数——时续傅里叶函数（2）

--2.5.3 离散傅里叶函数

-第2章信号分析函数--第十一周作业

-第十二周

--2.5.4 傅里叶谱——傅里叶谱定义

--2.5.4 傅里叶谱——傅里叶谱的可逆变换

--2.5.4 傅里叶谱——可逆变换的快速算法

--3.1.1 周期傅里叶变换——周期傅里叶变换（1）

--3.1.1 周期傅里叶变换——周期傅里叶变换（2）

-第2章信号分析函数--第十二周作业

第三章周期信号分析原理

-第十三周

--3.1.2 周期傅里叶变换（第二部分）——周期傅里叶变换（3）

--3.1.2 周期傅里叶变换（第二部分）——周期傅里叶变换（4）

--3.1.3 周期傅里叶逆变换——周期傅里叶逆变换（1）

--3.1.3 周期傅里叶逆变换——周期傅里叶逆变换（2）

--3.1.4 无理频谱的非周期性

-第3章周期信号分析原理--第十三周作业

-第十四周

--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（1）

--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（2）

--3.2.1 运算型周期信号的无理频谱——运算型周期信号的无理频谱（3）

--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱（二）——运算型周期信号的无理频谱（4）

--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱（二）——运算型周期信号的无理频谱（5）

--3.2.2 运算型周期信号的无理频谱（二）——运算型周期信号的无理频谱（6）

-第3章周期信号分析原理--第十四周作业

-第十五周

--3.3.1 周期余弦窗的无理频谱

--3.3.2 中心方波的无理频谱

--3.3.2 双向方波的无理频谱

--3.3.2 原点方波的无理频谱

--3.4.1 矩形窗逆变周期信号

--3.4.1 矩形谱窗有限逆变

--3.4.1 方波信号无理频谱的有限逆变

--3.4.2 方波信号无理频谱的无穷逆变（1）

--3.4.2 方波信号无理频谱的无穷逆变（2）

-第3章周期信号分析原理--第十五周作业

2.4.1 相位函数——相位函数3笔记与讨论

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