当前课程知识点:大学物理2 (电磁学、光学和量子物理) > WEEK1 > 电场及叠加原理,电偶极子 > 点电荷电场及叠加原理(续2)
返回《大学物理2 (电磁学、光学和量子物理)》慕课在线视频课程列表
返回《大学物理2 (电磁学、光学和量子物理)》慕课在线视频列表
同学好
这节我们接着讲
点电荷电场及叠加原理
我们讨论
电荷连续分布的带电面的情况
假设有一个带电面
它的面电荷密度
σ用dq比dS来表示
就是单位面积上所带的电荷
我们假设考查一个很小的小面积
上面带的电荷量是很小的
它产生的电场
因为这个面积很小
在远处看来
你可以把它看作是点电荷
那么这个小面积
在这某一点产生的场强
就是一个点电荷的场强
我们可以简单的表示出来
这里边σ乘上dS
就是这一小块面积所带的电荷
根据场强叠加原理
整个这块面积
在这一点产生的场强
就是每一个小片面积
在这点场强的叠加
因为这个面元是连续的
所以这个叠加你可以用一个
面积分来表示
下面我们来看一个例子
假设有一个均匀带电的环 环面
这个环面就是一个
中间有个孔的圆环
它的面电荷密度是σ
里边的半径是R1
外边的半径是R2
那么我们考查
这个圆环面的对称轴的
轴线上某一点的场强
我们怎么解呢
我们就要在这个环面上
找一个小的面积
这个小的面积上带电电荷量是dq的话
在远处看来
它就是一个点电荷
它距离这个轴线的半径呢
是r⊥来表示的
它在这点产生的场强呢
当然是沿着这个矢径的方向
这个场强是可以用
点电荷的场强公式来计算出来
那么这个场强呢
你也可以把它分解成
沿着z轴的方向
和垂直于z轴的方向
由于这个环面上
你总可以找到
和这个小面积对称的那一点
那个小面积
它产生的电场
它产生的电场和
原来小面积产生的电场之间
它是互相对称的
所以在垂直于z轴的方向上
两个电场是互相抵消的
所以这两个小面积的电荷
在这个轴线上产生电场的叠加结果
是沿着z轴的方向
垂直分量互相抵消没了
你也可以用对称性分析来很容易得到
垂直分量是不能存在的
比如说你这个圆环是轴对称的
当你绕着对称轴旋转的时候
垂直分量是发生变化的
这一点
就跟这个系统对这个轴线
是旋转对称的这个对称性是相矛盾的
所以不能有垂直于z轴的分量
只有沿着z轴的分量
现在我们把每一个小面积电荷
产生的电场叠加的话
那么垂直的这个分量
当然就等于0了
只有沿着z轴这个分量
所以我们说
这个圆环在轴线上产生的电场
是沿着z轴的方向的
我们只需要对沿着z轴的这个分量
做叠加就可以了
那么这个小面积电荷
在这边产生的场强
沿着z轴的分量
我们可以很容易把它表示出来
因为这个是点电荷的场强公式
后边 cosθ 就表示沿着z轴的投影
考虑到 cosθ 刚好就是z/r
这个式子也可以表示成这个样子
这里边这个dq呢
就是这个小面积上带的电荷
小面积上带的电荷就是
面电荷密度σ乘上这个小面积就行了
那这个小面积怎么估算呢
我们假设这个边对这个圆环的中心
所张的角叫dφ
这个长度是等于多少呢
当然很容易计算出来r⊥乘上dφ
这个高度呢
因为这个半径是r⊥
所以高度可以表示成r⊥的微分
所以这个就是小面积的面积
它乘上面电荷密度σ
就是这个dq了
再考虑到这里边的这个r平方
其实是等于r⊥的平方加上z平方
把这些结果代入到这里边整理一下
我们就得到了这个小面积电荷
在轴线上某一点产生的场强
那么整个环面上的电荷
在这点的场强呢
就是每一个小面积电荷产生场强的叠加
这个因为是沿着z轴的分量
所以它是一个标量
这些小面积呢
又是连续分布在整个环面上的
所以这个叠加就可以用一个
面积分来表示
这个面积分实际上就是求和的意思
这里边r⊥这个量
是从R1变化到R2的
而φ这个角度呢
是绕着这个圆环转一圈
所以它的角度是从0到2π
这个积分并不难计算
比如说对dφ的这个积分
因为其它这些量都跟φ没有关系
你很容易把它积出来
它就等于2π
剩下的就是对r⊥的这个积分
这个积分是和定积分一样的
你可以把它简单积分出来
结果就是这个
这个结果对不对呢
首先我们分析
它的量纲是正确的
你简单看一看就发现它是量纲正确的
第二个我们做一下极限情况
假如说你这个场点
距离这个圆环是很远的
这个时候就满足这个z大于大于
圆环的半径R2
利用这个条件
我们可以把刚才得到的这个式
简单地化一化
近似一下就得到这个式子
代到刚才这个式子里边整理一下
这得到这个式子了
上面乘上一个π 下面再乘一个π
π乘上R2平方减去R1平方
刚好是这个圆环的面积
乘上σ就是这个圆环所带的电量
所以这个式子就变成了
这么一个形式
这不刚好就是点电荷的场强公式吗
当然离圆环很远的位置上看
这个圆环当然就可以把它当作
点电荷处理了
所以这个结果是合理的
我们再看看
电场的分布
它是这样一种分布
简单分析一下
当z等于0的时候
也就是在环的中心处
因为四处电荷在这点产生的场强互相抵消
所以在这点场强是等于0的
远处随着距离的增加
场强也逐渐趋于0
所以这中间一定会经历一个极大值
你不用计算
你就可以分析出来
这个结论是对的
在负z的方向上呢
因为电场的方向是沿着负z的方向
所以它是取负号
大小和这情况是类似的
再一个
假如我们让这个环的内半径趋于0
外半径趋于无限大
内半径趋于0中间那个孔就没有了
外半径趋于无限大
这个圆环就变成了无限大的带电平面
这个无限大的带电平面
在周围产生的电场是什么情况呢
把刚才的公式里边
这两个结果代进去
我们就很容易得出来
电场大小是这样的
在这个平板的两侧
因为对称
电场的方向当然是相反的
大小就是这个量
我们再看一个情况
假设圆环的内半径是趋于0
外半径等于某一个R
这个实际上就是一个圆盘
中心孔没有的一个圆盘
均匀带电
它在对称轴上的电场
应该是什么样呢
简单在我们刚才得到的公式里边
把这两个结果代进去就可以了
圆盘在轴线上的电场
就是这个样子
你也可以把这个化简一下
写成这种形式
这里边z比上绝对值z
这个是大小为1的
可是方向是这样
当z是正的时候
它是 +1
z等于负值的时候
这个值是得 -1
就是这样
最后让我们思考两个问题
第一个问题
假设我现在遇到的问题是
一个无限大的均匀带电的平面上
我挖了一个圆孔
在这个圆孔的对称轴线上
电场应该是什么样子的呀
回去思考一下
利用这个叠加原理
还有一个问题
假设你这个圆环上的电荷
是这样分布的
比如说上半个是带正电荷
下半个是带负电荷
那么它的场强应该是什么样子的呢
你仔细回忆一下
这个在远处看来
它类似于我们讲过的
电偶极子
一个正电荷一个负电荷
等量异号电荷体系
所以这个结果
其实是偶极子的电场
那么这种情况呢
假如说你这个电荷
在圆盘上是这样分布的
这个四分之一上带正σ
这个四分之一上带负σ
下边是这个四分之一上带正σ
这个四分之一是带负σ
你看这样的一个电荷分布
在远处看来
它不是偶极子
如果你简单估算一下的话你会发现
这样一个体系的电偶极矩是等于0的
所以它在远处的场强
其实是电四极矩的场强
电四极矩当然我们课上不会讲
有兴趣的同学
可以参看相关的一些书籍
好 这节内容就讲到这儿
谢谢
-电荷和库仑定律
--引言
--电荷
--库仑定律
-WEEK1--电荷和库仑定律
-电场及叠加原理,电偶极子
--电场和电场强度
-WEEK1--电场及叠加原理,电偶极子
-高斯定律
--电通量
--立体角*
--高斯定律的证明*
--高斯定律和电场线
--高斯定律的应用
-WEEK1--高斯定律
-WEEK1--本周作业
-静电场环路定理、电势和叠加原理
--环路定理
--电势和叠加原理
--电势梯度
--等势面
-WEEK2--静电场环路定理、电势和叠加原理
-静电能
--电荷系静电能
-WEEK2--静电能
-导体静电平衡
--物质中电场
--导体静电平衡
-WEEK2--导体静电平衡
-WEEK2--本周作业
-导体周围电场
-WEEK3--导体周围电场
-静电屏蔽
--导体壳与静电屏蔽
-WEEK3--静电屏蔽
-电容及电容器
--电容及电容器
-WEEK3--电容及电容器
-电介质
--介质对电场的影响
-WEEK3--电介质
-极化强度矢量,极化电荷
--极化强度
--极化电荷
-WEEK3--极化强度矢量,极化电荷
-WEEK3--本周作业
-极化规律、电位移矢量
--电介质的极化规律
-WEEK4--极化规律、电位移矢量
-有介质时静电场能量
-WEEK4--有介质时静电场能量
-电流密度、稳恒电流和稳恒电场
--电流密度
-WEEK4--电流密度、稳恒电流和稳恒电场
-电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律
--电动势
--欧姆定律
--欧姆定律(续)
-WEEK4--电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律
-电流微观图像和暂态过程
--电流微观图像
-WEEK4--电流微观图像和暂态过程
-本周作业
--week4--本周作业
-洛仑兹力、磁感应强度
--电流磁效应
--磁场和磁感应强度
-WEEK5--洛仑兹力、磁感应强度
-毕-萨-拉定律、磁场叠加原理和磁场高斯定理
--毕-萨-拉定律
--磁场高斯定律
-WEEK5--毕-萨-拉定律、磁场叠加原理和磁场高斯定理
-静磁场环路定理
-WEEK5--静磁场环路定理
-安培力和霍尔效应
--霍尔效应
--安培力
-WEEK5--安培力和霍尔效应
-WEEK5--本周作业
-载流线圈在均匀磁场中受的磁力矩、磁矩
-WEEK6--载流线圈在均匀磁场中受的磁力矩、磁矩
-磁介质对磁场的影响和原子磁矩
--磁场中的磁介质
--原子的磁矩
-WEEK6--磁介质对磁场的影响和原子磁矩
-磁化强度矢量、磁化电流和磁场强度H及其环路定理
--磁介质的磁化
--磁化电流
-WEEK6--磁化强度矢量、磁化电流和磁场强度H及其环路定理
-WEEK6--本周作业
-铁磁介质和简单磁路
--磁场的界面关系
--铁磁性材料
-WEEK7--铁磁介质和简单磁路
-法拉第电磁感应定律
-WEEK7--法拉第电磁感应定律
-动生电动势和感生电动势、感生电场和涡流
--动生电动势
--涡电流
-WEEK7--动生电动势和感生电动势、感生电场和涡流
-自感和互感
--自感
--互感
-WEEK7--自感和互感
-WEEK7--本周作业
-暂态过程和磁场能量
--磁场的能量
-磁场和电场的相对性
-位移电流和麦克斯韦方程组
--麦克斯韦方程组
-WEEK8--位移电流和麦克斯韦方程组
-电磁波、坡因廷矢量和光压
--电磁波
--坡印廷矢量
--电磁波的动量
--光压——辐射压强
-本周作业
--week8--本周作业
-波动光学—引言
--波动光学——引言
-WEEK9--波动光学—引言
-杨氏双缝干涉、相干光
--光的干涉
--双缝干涉
-WEEK9--杨氏双缝干涉、相干光
-光源及发光性质
--光源的发光特性
--时间相干性
--空间相干性
-WEEK9--光源及发光性质
-光程、等倾和等厚干涉
--光程
--薄膜干涉(一)
--薄膜干涉(二)
-WEEK9--光程、等倾和等厚干涉
-迈克耳逊干涉仪
--迈克耳逊干涉仪
-WEEK9--本周作业
-衍射现象、单缝夫琅禾费衍射
--惠更斯原理
--单缝夫琅禾费衍射
-WEEK10--衍射现象、单缝夫琅禾费衍射
-光栅衍射
--光栅衍射
--光栅衍射(续)
-WEEK10--光栅衍射
-光学仪器分辨本领
-WEEK10--光学仪器分辨本领
-X射线晶体衍射
--X射线的衍射
-WEEK10--X射线晶体衍射
-WEEK10--本周作业
-光的偏振状态和偏振片
--光的偏振状态
--起偏和检偏
-WEEK11--光的偏振状态和偏振片
-反射和折射光偏振
-WEEK11--反射和折射光偏振
-晶体双折射、波片
--双折射
--双折射(续)
--波片
-WEEK11--晶体双折射、波片
-偏振光干涉、人工双折射和旋光
--偏振光的干涉
--人工双折射
--旋光现象
-WEEK11--偏振光干涉、人工双折射和旋光
-量子物理诞生和黑体辐射
--量子物理
--黑体辐射
-WEEK11--量子物理诞生和黑体辐射
-WEEK11--本周作业
-光电效应、光子和康普顿效应
--光电效应
--光子
--光子(续)
--光子(续2)
--康普顿效应
-WEEK12--光电效应、光子和康普顿效应
-物质波、波函数和概率密度
--物质波
--波函数
--波函数(续)
-WEEK12--物质波、波函数和概率密度
-不确定性关系
--不确定关系
-WEEK12--不确定性关系
-薛定谔方程
--薛定谔方程
-WEEK12--薛定谔方程
-一维无限深势阱
--一维无限深势阱
-WEEK12--一维无限深势阱
-WEEK12--本周作业
-一维问题
--一维谐振子
--势垒穿透
--扫描隧道显微镜
-WEEK13--一维问题
-氢原子能级和角动量
--原子中的电子
--能量量子化
-WEEK13--氢原子能级和角动量
-电子自旋、费米子和泡利不相容原理
-WEEK13--电子自旋、费米子和泡利不相容原理
-WEEK13--本周作业
-X射线、激光、分子光谱简介
--video
--Video
--分子光谱简介
--激光
--光学谐振腔
-WEEK14--X射线、激光、分子光谱简介
-固体电子气模型和量子统计
--固体
--自由电子气体模型
--量子统计
-WEEK14--固体电子气模型和量子统计
-能带模型
--能带
-能带模型--作业
-本周作业
--WEEK14--本周作业
-半导体和PN结
--Video
--Video
-WEEK15--半导体和PN结
-原子核性质、核磁共振
--Video
--Video
--Video
-WEEK15--原子核性质、核磁共振
-放射性和衰变规律
--Video
--α衰变
--穆斯堡尔效应
--β衰变
-WEEK15--放射性和衰变规律
-结合能、核力
--核的结合能
--核力
-WEEK15--结合能、核力
-粒子物理简介
--基本粒子
-WEEK15--粒子物理简介
-本周作业
--WEEK15--本周作业
-期末考试--期末考试题Part1
-期末考试--期末考试Part2
-期末考试--期末考试Part3