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同学好
这一节我们讲 电流密度
先回顾一下什么是电流强度
电流强度当然是
单位时间内通过某个截面的电荷量
现在看到的是数学表达式
电流是有方向的
一般我们把 正电荷定向移动的方向
作为电流方向
有时候 电流强度不能很好的描述电流
比如说
大块儿导体上电流有分布的情况
有一种探矿的方法
是利用地下各处电阻的不同
探测有没有矿藏
隔比较远的地方
我们分别把两个电极埋入地下
它们之间就有电流
地下各处电流大小不一样
不同位置的电流方向也不一样
为了描述这种电流分布
我们需要引入电流密度的概念
在电流分布的某个位置
垂直于电流方向
我们给出一个横截面dS垂直
穿过这个横截面的电流强度
假设为dI
这个时候
这个位置的电流密度就定义为
dI/dS垂直
它是垂直于电流方向的单位面积上的
电流强度
电流密度的方向就规定为
当地电流的方向
所以 电流密度是一个矢量
为了形象的描述电流分布
我们也可以引入电流线的概念
类似于电场线
电流线是一系列有方向的曲线
这些电流线上某点的切线方向
代表该点的电流密度的方向
电流线密的地方电流就强
下面我们讨论
电流密度和电流强度的关系
假设现在有一个导线
里边有电流
这是导线里边 我们有一个电流线
某一点电流密度的方向
当然是沿着这个电流线的切线方向
假设在这一点
我们做一个垂直于电流密度方向的一个
截面 dS垂直
那我们可能问 在dt时间
通过这个截面的电荷有多少呢
为了计算这个
我们可以做这么一个柱体
它的边长是vdt
底面就是这个dS垂直
这是一个正的柱体
那么这里边这个v
就是导体里面载流子的漂移速度
那么这些载流子 其实在里面
还有很多热运动
可是热运动的平均速度是等于0
所以在我们这个模型里边
不考虑那些热运动
仅仅考虑定向的漂移运动
那么这些载流子的速度
方向当然和当地的
电流密度的方向是一致的
那这里边 载流子的电荷量是q
这些载流子的密度
用n 单位体积里的载流子的数目
那现在 我们说 dt时间里边
通过这个dS垂直 这个截面的电荷
其实就是这个圆柱体里边的
这些载流子
为什么呢
因为它的这个边长就是vdt
在dt时间里边
只有在这个圆柱体里边的这些载流子
才会穿过这个
垂直于这个电流线的这个截面
其它地方 比如说在这个地方的
载流子 dt时间里边
它达不到这个截面上
因为它的速度
都是这个漂移速度
那这两侧的这些载流子
因为在这个附近
这个载流子的速度 都是一个方向
所以两侧的也不可能穿过这个
小的这个截面dS垂直
那么 这个圆柱体里边
载流子数目有多少呢
当然就是 这个
粒子数密度乘上这个圆柱体的体积
这个体积很容易计算
就是这个边长乘上底面积
那里边的粒子数密度当然是n了
所以dt时间里边
通过这个截面的电荷数 就是这些
可是 单位时间里边
通过这个截面的电荷量就是电流
所以 我们把这里边dt除过来的话
就是穿过这个截面的电流
那前边我们有一个定义
就是电流密度其实就是
单位时间里边
穿过垂直于电流方向的
单位面积的那些电荷量
那么在这里边
实际上就是
这个电流除以这个面积的话
其实就是 这个当地的电流密度的大小
考虑到这个漂移速度
和电流密度的方向怎么样呢
是一致的
我们把方向都考虑在内写出来的话
电流密度就是这样一个表达式
下面我们考虑
任意一个小面元
那么当地的电流密度也是知道的
这个时候问
穿过任意一个这样一个面元的
电流等于多少
我们现在 做一个
垂直于这个电流密度方向的一个截面
这个截面积大小是等于多少呢
dS垂直它实际上是
我们要讨论的这个面元的面积
在垂直于电流密度方向上的投影值
那么假设这两个面积之间的夹角θ的话
其实这个θ也是面元的方向
和电流密度方向之间的夹角
那么刚才我们说了
通过这个dS垂直的
这个电流等于多少呢
就是这个电流密度的大小
乘上这个截面积
那现在
我们说 这个截面积dS垂直
就是这个小面元的投影值
当然你也可以把这个式子
直接写成点积
刚才我们说 这个不是电流密度大小吗
所以穿过某一个面元的电流
就等于当地的电流密度
点乘上这个面元
如果我们考虑一个
比较大的一个整块的面积的话
通过这个面积的电流怎么计算呢
我们当然可以把这个整块面积
分割成无数个小的面元
然后 把穿过每个面元的电流
加起来
就是穿过整个这个面的电流
那现在我们知道
穿过某个面元的电流是知道的
那么对它积分
就是穿过整块面的这个电流
那么这个积分当然就是求和的意思
根据电流密度的公式
我们可以估算 载流子的定向漂移速度
假设铜导线内
电流密度是1安培每毫米平方
我们可以估算出
电子的漂移速度
大致为0.0074毫米每秒
这当然是非常慢的速度
以后我们会知道
电流传播的速度基本是和光速相同
显然电子的漂移速度
与电流传播速度完全是两回事
那这个导体里面载流子
比如说电子的漂移速度 这么小
是真的吗
当然物理是实验科学
你还得靠实验测量
来证实这件事才行
漂移速度的测量
在不到十年前才完成
因为什么呢
因为这个测量实在是太困难了
为什么呢
这些电子 除了有定向移动
比如说漂移速度以外呢
它还有热运动速度
这热运动速度有多大呢
常温下 通常是几千米每秒
或者几万米每秒
那么这么快的运动速度
中间你要挑出来一个
零点几毫米的定向运动速度
你想想这困难会有多大
尽管那些热运动速度
它平均值是等于0的
但是每时每刻它都存在
所以这个漂移速度的测量
非常非常困难
这个工作在06年
有人利用电子自旋共震的方法
直接观察了这个漂移速度
也因为这个工作比较重要
所以它发表在Physical Review Letters上了
由于电流有热效应
所以导线中的电流密度
大小是有限制的
太大了会引发火灾
以铜导线为例
电流密度的这个上界
大概是10安培每毫米平方这个量级
对于超导导线
因为里面没有电阻
电流密度的上界可以很大
大致可以达到
1万安培每毫米平方这个量级
下面 我们讨论电流连续性方程
由于电荷守恒
对于电流密度场中 给定的闭合曲面
单位时间内流出去的电荷
就是通过闭合曲面的总电流
它应该等于闭合曲面内
单位时间电荷量的减少
这就是电流连续性方程
这个方程形式
与静电场高斯定律很相似
高斯定律反映的是静电场的通量特性
而电流连续性方程
是电流密度的闭合曲面通量
我们从静电场的高斯定律
可以得到电场线的特性
比如电场线起始于正电荷
或无限远处
终止于负电荷或无限远处
不能在其它地方中断
类似地
根据电流连续性方程
我们也可以知道电流线的性质
电流连续性方程
右侧是电荷的时间变化率
根据这一点
类比静电场的高斯定律我们可以知道
电流线起始于正电荷减少的地方
或负电荷增加的地方
终止于正电荷增加的地方
或负电荷减少的地方
好 这节内容就讲到这儿
谢谢
-电荷和库仑定律
--引言
--电荷
--库仑定律
-WEEK1--电荷和库仑定律
-电场及叠加原理,电偶极子
--电场和电场强度
-WEEK1--电场及叠加原理,电偶极子
-高斯定律
--电通量
--立体角*
--高斯定律的证明*
--高斯定律和电场线
--高斯定律的应用
-WEEK1--高斯定律
-WEEK1--本周作业
-静电场环路定理、电势和叠加原理
--环路定理
--电势和叠加原理
--电势梯度
--等势面
-WEEK2--静电场环路定理、电势和叠加原理
-静电能
--电荷系静电能
-WEEK2--静电能
-导体静电平衡
--物质中电场
--导体静电平衡
-WEEK2--导体静电平衡
-WEEK2--本周作业
-导体周围电场
-WEEK3--导体周围电场
-静电屏蔽
--导体壳与静电屏蔽
-WEEK3--静电屏蔽
-电容及电容器
--电容及电容器
-WEEK3--电容及电容器
-电介质
--介质对电场的影响
-WEEK3--电介质
-极化强度矢量,极化电荷
--极化强度
--极化电荷
-WEEK3--极化强度矢量,极化电荷
-WEEK3--本周作业
-极化规律、电位移矢量
--电介质的极化规律
-WEEK4--极化规律、电位移矢量
-有介质时静电场能量
-WEEK4--有介质时静电场能量
-电流密度、稳恒电流和稳恒电场
--电流密度
-WEEK4--电流密度、稳恒电流和稳恒电场
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--欧姆定律
--欧姆定律(续)
-WEEK4--电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律
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--电流微观图像
-WEEK4--电流微观图像和暂态过程
-本周作业
--week4--本周作业
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--电流磁效应
--磁场和磁感应强度
-WEEK5--洛仑兹力、磁感应强度
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--磁场高斯定律
-WEEK5--毕-萨-拉定律、磁场叠加原理和磁场高斯定理
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--霍尔效应
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