当前课程知识点:大学物理2 (电磁学、光学和量子物理) > WEEK13 > 电子自旋、费米子和泡利不相容原理 > 微观粒子的不可分辨性
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同学们好
这一节我们为大家来介绍一下
全同粒子的不可分辨性
也就是泡利不相容原理
所谓的微观粒子全同性是指
同一个微观粒子它具有
完全相同的质量 自旋 电荷等等
所有的性质都是完全一样的
这种粒子 叫做全同粒子
那么全同粒子在宏观上
其实不存在这个概念的
因为宏观上即使两个完全一样的粒子
我可以根据它的运动轨迹来编号
比如说某一个时刻
我把一个粒子编号为1
另外一个时刻编号为2
那么这个时候
我用轨迹跟踪的办法
因为它是有轨迹的
我们可以在不同的时刻
都能跟踪哪一个是1粒子
哪一个是2粒子
但是这个呢
在微观上是不可能的事情
因为微观上我们知道
粒子不存在轨迹
它是一个概率分布的概念
这样两个完全一样的粒子
即使某一个时刻
你给它进行了编号
那么下一个时刻
也是完全不可区分谁是谁的
那么 既然
碰到了全同粒子这样的问题
我们就必须考虑它的不可分辨性
对于波函数的影响
以两个粒子构成的
全同粒子体系为例
那么这两个粒子叫做1和2
假设可能存在两个状态A和B
那么对于单个粒子来说
它就可能存在四种状态
那么比如说1粒子在A状态
1粒子在B状态
2粒子在A状态
2粒子在B状态 这样四种状态
那么合到一起的波函数叫做ψ(1,2)
这个ψ(1,2)
有什么特征呢
因为我们知道1和2粒子
是完全不可区分的
我们要把这个编号1和2换一下
那么对应的波函数
或者是机率分布
应该是相等的
它不可能产生不同
那么这个相等意味着什么呢
意味着这两个波函数之间
可能只差一个正负号
原因是我把这个1和2
换一下变成2 1的时候
假设差了一个因子
比如这个因子叫做p
然后我再换一次
把2 1再换成1 2
那么这个时候呢
应该是换两次
p方要等于原来的波函数
因为这个波函数是不变的
换两次之后
那么这个时候我们就发现这p呢
只能等于正负1
也就是这个样子
对于取正号这种情况
两个波函数是对称的
取负号的这种情况
波函数是反对称的
那么因此体系的波函数
可能存在的形式
比如说这样一个情况
1粒子在1状态上
2粒子在2状态上
或者是2粒子在1状态上
1粒子在2状态上
那么按照刚才这种说法
我们就知道呢
它或者是对称或者反对称的话
意思是什么呢
这两种状态完全是一样的状态
因为1和2是不可分的
也就A这个状态上有一个粒子
B状态也有一个粒子
那么重新写这个波函数呢
应该是什么样的
应该是或者是写成对称的状态
注意到这有一个根号2分之1
是为了保证总的机率是1
它是一个归一化常数
那么另外一种写法
这儿加一个负号
这个时候如果把1和2交换的时候
会出现一个负号
也就是反对称的一个状态
这两个状态是不一样的
那么是不是还存在其他的状态呢
有没有其他的可能呢
这个是有的
1和2粒子交换的时候呢
它不是处于一个正1
也不是处于一个负1
处于一个这样的相位
这种情况
在现代的凝聚态物理里边
已经发现了类似的这种
这样的一个状态
它和拓扑结构是有关系的
那么也是现在的一个
非常热门的前沿问题
我们这个课
只注重这两种情况
这种情况如果同学们感兴趣
可以自己去找相关的材料去看
这种情况
它有个名字叫任意子
好了 那么按照前边两种情况
可以把粒子就分成两类
怎么分呢
是按照全同粒子的自旋来分的
如果自旋是半整数
确切的说是半奇数
这样的情况
它叫做费米子
比如 我们常见的电子 质子
中子 中微子等等等等的
都是自旋为1/2的费米子
那么也有像Ω粒子这样的
自旋3/2的费米子
费米子波函数的特征
是反对称
它必须取成反对称的
也就是 只能取这样的一个形式
咱们刚才看见了
那么因此
如果这两个状态A和B是一样的
按照这个式子一写
就知道它只能等于0
什么意思呢
不可能有两个全同的费米子
处在同一个单粒子状态下
这个就是泡利不相容原理
那么对于玻色子而言呢
它是不一样的
玻色子自旋的要求它全是整数
整数可以是0 也可以是其他整数
比如说π介子 K介子 α粒子都是
它的自旋全是零
那比如说我们见过的光子
自旋是1
这些都是指它的自旋量子数
那么自旋量子数都是整数的时候
它们就都是玻色子
玻色子的波函数特征是什么呢
是波函数要求对称
把1和2换一下
整个波函数是不变的
也就是刚才我们介绍的这种形式
那么对于波函数对称的情况
如果A和B
这两个状态是一个状态的话
波函数并不等于0
换句话说
一个状态上可以容纳多个玻色子
它是不需要
受到泡利不相容原理的这个约束的
好了 那么对于费米子统计
和玻色子统计是不一样的
对于费米子而言
如果一个费米子体系全同的
在温度T的时候
达到一个平衡状态
它的分布是这个样子
也就是能量为E的粒子数N
正比于这么一个关系
这个叫做费米-狄拉克统计
也简称费米统计
那么这里这个μ是温度的函数
它有个名字叫做化学势
当零温的时候化学势
对应所谓的费米能量
什么叫费米能量呢
是指零温的时候
由于泡利不相容原理
所有的这些费米子
从能级最低的地方
不断往高排
那么能量越排越高
最后把排到最后一个
能够排到的能级
这个能级就是费米能
我们可以看到 它的分布
是这么一个完全均等的分布
每一个能级上放的粒子
都是一样的
都是一个粒子
那么当温度不太高的时候
我们可以近似认为
这个化学势
和费米能也是相等的
费米能除以玻耳兹曼常数
它对应了一个温度的量纲
这个有个名字叫做费米温度
它是一个
关于费米子体系的一个重要标志
当体系的温度
远远小于费米温度的时候
那么 它的分布
跟零温的时候分布是很接近的
只是产生这么一个小的变化
这个变化
只在哪个范围呢
只在kT的这么一个很窄的范围里边
有一个变化
把这个整个的一个矩形
这个矩形的直角变成
一个相对比较钝的角
只有当温度
远远大于费米温度的时候
这个分布才会变的比较平滑
类似于我们波尔兹曼分布
那样一个情况
对于各种金属的费米温度
一般都在一万K的量级
换句话说什么呢
室温是远远低于这个温度的
所以 对于金属中的自由电子气
我们通常可以看作一个
零温的一个气体
对于理想气体构成的费米子体系
它的费米能量
可以通过计算得到
这个是统计物理得到一个结果
那么是这样一个关系
那么它告诉我们什么呢
即使气体处在零温的时候
粒子也是具有一定的能量
和动量的
那么动量可以通过这个
费米能量转化过来
因此这个和理想气体不一样
我们通常的理想气体
当温度趋向于0的时候
它的平均动能是趋向于0的
没有能量
这里边有一个常数g等于2
它代表了什么呢
代表了同一个
能级上边能够容纳两个电子
因为电子自旋
是可以取两种状态
朝上和朝下
好了 那么刚才我们说过了
可以把这个费米能量
通过简单的转化变成动量
可以变成速度
那么这个就是
费米动量和费米速度
它标志了零温的状态下边
这个费米子的一个运动情况
比如说对于金属中的电子气来说
那么它是非常大的
刚才咱们也说过了
这个远远是 跟室温下边算的
理想气体的一个3/2kT
差别非常大
对于玻色子来说
和费米子就完全不一样了
因为玻色子在一个能级上
可以容纳任意多的玻色子
它的分布是这样一个分布
和刚才有但类似
这差了一个负号
这个叫做玻色-爱因斯坦分布
简称玻色分布
在有限温度下边
由于这个每个能级上的粒子数
它不可能是负的
因此必然会引出一个
所谓的玻色-爱因斯坦能级的概念
这个什么意思呢
我们知道假设
体系的最低能量E0=0
这个如果不是0
我们可以通过能量的平移
把它移到这儿
因为我们知道能量没有一个
决对的概念
那好了
那么这个时候
N0
也就是最低能级粒子数
等于这么一个关系
当这个T趋向于0这个过程中
我们要求这个N0是非负
也就是在0和无穷之间
它不可能是0 也不可能是无穷大
那么这个时候
我们就一定要求这个μ
也就是化学势它必须小于0
也就是这个东西要保证大于0
它才是有意义的
那好了
有了这个基础之后
一个能量为Ea的这个状态
和能量为0的状态
它两个粒子数的比
当温度趋向于0的时候
我们就发现由于多了这一项
当温度趋向于0的时候
这一项是趋向于无穷大的
那么会导致什么结果呢
会导致整个这比趋向于0
什么意思呢
当温度趋向于0的时候
激发态上的粒子数
和基态比是趋向于0的
换句话说
大量的粒子都
集中到基态上边
这就形成了一个大的凝聚体
这个凝聚体叫做
玻色-爱因斯坦凝聚
那么这个就是
一团原子或者是分子
被不断降温的时候
形成的凝聚现象
那么当它的温度超过
转变温度TC的时候呢
我们可以看到
基态上的粒子数还不是特别多
但是一但开始达到TC
甚至温度比TC要低的时候
大量的粒子全都集中到
这个基态上边
也就是速度为0的状态上边
形成了凝聚体
1995年的时候
在实验上利用超冷原子的技术
就已经实现了玻色-爱因斯坦凝聚
那么2001年的时候
这个工作也获得了诺贝尔奖
那么玻色-爱因斯坦凝聚
它具有非常重要的一些使用价值
比如说它可以实现原子的相干
也可以用来做什么呢
做原子的频标 也就是原子钟
这个已经在现在的这个技术里
开始应用了
那么我们说
这两种统计跟我们以前学过的
玻耳兹曼分布
或者说是麦克斯韦分布是什么关系呢
这个实际上当能量很高的时候
如果能量减去化学势
远远大于kT的话
这个正负1就不重要了
无论是对于费米统计还是玻色统计
这个正负1都不重要了
它一但不重要呢
拿掉之后
我们看到这个结果就是什么呀
因为这个μ基本上可以认为常数
出来这个结果就是
我们以前见过的玻耳兹曼分布
因此实际上
当温度很高 能量很大的时候
系统
自动就过度到了玻耳兹曼分布
或者是麦克斯韦分布
而在温度比较低的时候
能量比较低的时候
才必须要考虑全同粒子的影响
这节就讲到这儿
同学们再见
-电荷和库仑定律
--引言
--电荷
--库仑定律
-WEEK1--电荷和库仑定律
-电场及叠加原理,电偶极子
--电场和电场强度
-WEEK1--电场及叠加原理,电偶极子
-高斯定律
--电通量
--立体角*
--高斯定律的证明*
--高斯定律和电场线
--高斯定律的应用
-WEEK1--高斯定律
-WEEK1--本周作业
-静电场环路定理、电势和叠加原理
--环路定理
--电势和叠加原理
--电势梯度
--等势面
-WEEK2--静电场环路定理、电势和叠加原理
-静电能
--电荷系静电能
-WEEK2--静电能
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--物质中电场
--导体静电平衡
-WEEK2--导体静电平衡
-WEEK2--本周作业
-导体周围电场
-WEEK3--导体周围电场
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--导体壳与静电屏蔽
-WEEK3--静电屏蔽
-电容及电容器
--电容及电容器
-WEEK3--电容及电容器
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--介质对电场的影响
-WEEK3--电介质
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--极化强度
--极化电荷
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--电介质的极化规律
-WEEK4--极化规律、电位移矢量
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-WEEK4--有介质时静电场能量
-电流密度、稳恒电流和稳恒电场
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-WEEK4--电流密度、稳恒电流和稳恒电场
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