当前课程知识点:大学物理2 (电磁学、光学和量子物理) > WEEK13 > 电子自旋、费米子和泡利不相容原理 > 电子自旋与自旋轨道耦合
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同学们好
那么这一节呢
我们会给大家介绍一个
新的内容
叫做电子自旋
以及自旋跟
角动量的这个耦合
叫做自旋轨道耦合
那么首先我来介绍一下
斯特恩盖拉赫实验
在1922年的时候
为了验证角动量
它是空间量子化的
因此斯特恩盖拉赫设计了一个
非常精巧的实验
首先我们说角动量跟磁矩
它有一个对应关系
什么关系呢
这个是电子在绕转
形成了一个这样的角动量
那么电子在转动的时候呢
它就形成了一个像电流一样的东西
那么电流在绕圈
当然就是这个磁矩
这个磁矩的方向刚好是反的
因为电子带负电荷 带负电
所以这个就朝这边
那好了
这个磁矩等于什么呢
按照磁矩的公式
等于电流乘以
这个电流围成的面积πr方
那么之所以写成负的
是因为我取的正方向是
角动量的正方向
它是反的 所以加了一个负号
好了 进一步的
我们又知道电流等于什么呢
电流等于单位时间内
通过了电荷的这个量
那么等于啥啊
等于电荷的电量
乘以单位时间内转的圈数
那么代进去之后
电荷电量有了
这个单位时间内转的圈数就是
速度除以周长
就是圈数
这样我们就把这个电流给出来了
给出来之后
稍微化简一下我们就看到了
有意思的东西
有什么呢
m乘以vr 本来是没有m
上下同时乘了一个m
这出现了m乘以vr
刚好就是轨道角动量
然后呢把它写成这个样子
那我们看到
磁矩确实是跟这个l成正比的
角动量成正比的
差了一个负的e
除以一个二倍的电子质量
这是磁矩跟角动量关系
那么由这个式子
我们就可以写出Z分量的关系
那么Z分量的磁矩
跟Z分量的角动量
也是满足这样一个关系的
而我们又知道
Z分量它的角动量是量子化的
等于h(bar)的整数倍
这个整数就是磁量子数
那么我把这个磁量子数单独提出来
前面这一些东西都写到一起
它是一个常数
是由电子的性质来决定的
包括电子的电荷
包括电子的质量
这个有名字
叫做玻尔磁子
也就是什么呀
Z分的磁矩
也就是磁矩在Z分量的投影
等于玻尔磁子
乘一个负的磁量子数
有这么一个关系
那么这个关系呢
距离测量还不够
首先我们要让这个磁矩来受力
但是我们知道
磁矩在一个匀强的
磁场里边它是不受力的
它只受到一个力矩
怎么办呢
我们知道
一个磁矩在一个磁场里边
它的这个能量是负的
磁矩点乘一个B
这个在电磁学里我们学过了已经
那么如果这个磁场不是匀强的
就有可能出现力
怎么出现呢
我们假设这个磁场就是沿着
Z方向的 只有一个分量
那因此这个点乘
就变成了μZ乘以BZ
好了 下一步要干什么呢
这个东西相当一个势能
那么力和势能的关系是什么关系呀
假设这个磁场
沿着这个Z方向在发生变化
那么就导致这个势能
也沿着这个Z方向有变化
力和势能的关系
是这么一个关系
在力学里边我们讲过了
等于势能
对某一个方向的坐标的导数
差一个负号
这个就是那个方向的受力
那代进去之后
因为只有磁场
是随着Z方向发生变化的
所以这儿出现一个导数
这就意味着如果我们提供一个
沿着Z方向的磁场
并且这个磁场沿着Z方向有变化
不是匀强的
那么就可以获得一个Z方向上的力
而这个力呢
又正比于磁矩
磁矩是量子化的
这个力就是量子化的
不同的磁量子数
对应的力就是不一样的
因此 这个力一旦分力
我们就可以来
实现这样的一个实验
怎么实现呢
一束原子从这儿走
走过的时候
由于这个力的作用
磁量子数不一样的原子
它就走不同的路线
这样就分出来了
那么这个实验就是这么设计的
施特恩盖拉赫设计的这个实验
非常的巧妙
怎么实现这么一个
不均匀的磁场呢
它这个上边是一块磁铁
下边也是一块磁铁
上边磁铁是带尖的
下边是一个凹型
这就意味着什么呀
这个方向的磁场
这个地方最强
这个凹陷的地方是最弱
所以它有一个
从强到弱的这么一个变化
这就提供了我们前边那个要求
那它把不同的原子
放到这个炉子里边加热变成蒸汽
然后从这边走过
它来看在这个屏幕上
看有没有不同的沉积的点
一个点对应一个
不同的这个磁量子数
那么他做了很多这样的实验
其中最有意思的实验是什么呢
银原子
我们知道银原子
它的基态角动量是等于零
等于零就意味着
它的磁量子数也是零
它不应该发生
不同的沉积应该说
只沉积在一个点上
但是实验恰恰不是这样的
是沉积的两个点
这是不加磁场的时候
这是加磁场的时候
沉积到两个不同的点上
这说明什么呀
这说明出现了新的物理现象
这是当初斯特恩在
实验室里边观测的结果
这是他看到的这个结果
这是两个不同的点
施特恩盖拉赫实验
它首先是证明了
角动量确实是具有
空间量子化这个现象的
不同的原子呢
你可以看到这样的一个分立的效果
同时呢
他又看到了一个新的现象
什么现象
对于L等于零的时候
本来不应该分立的
结果也分成了两条
这是怎么回事儿呢
这说明什么呀
我们对原来的这个
电子运动的描述是不完备的
还缺一个新的东西
那么第三呢
它这个实验为我们提供了一种
态分离的技术
我们可以利用这样一个装置
把具有不同磁量子数的这样一个
原子的态呢 把它分离出来
这个到现在为止
也是一个非常实用的技术
好了
下边我们就给大家来介绍
电子的自旋
它刚好就是从刚才那个
新奇的矛盾里边出来的
首先那个奇怪的现象
一定是跟原子核无关的
为什么无关呢
因为原子核的质量远远大于
电子的质量
同时我们又知道
磁矩它是反比于质量的
所以原子核的磁矩的影响
是远远的小于
电子磁矩的影响的
正常来说跟原子核一定没有关系
那么在1925年的时候
两个年轻人乌仑贝克
和古兹米特这两个人
他根据施特恩盖拉赫实验的这个结果
做了一个非常大胆的假设
他认为什么呢
电子不是质点
而是一个在那不断自转的一个小球
由于它小球本身有电荷
所以它也会形成一个磁矩
这个叫做电子的自旋角动量
和电子自旋磁矩
为了区别刚才那个轨道角动量
我们用S和μS来标记它
这个S就相当于轨道角动量那个L
只不过标记不一样而已
那么有了这样的一个假设之后
我们说在磁场中
这个自旋磁矩可以顺着磁场
也可以逆着磁场
这两种不同的状态就会形成
两个不同的线
这就可以解释刚才那两个
沉积的不同的线了
但是这个图象受到了当时的
大物理学家泡利的责难
他说什么呢
他说这个东西根本不对
为什么不对呢
因为当时的电子的大小
已经已知
肯定是比10的-16次方米要
小的一个小球
那么到现在为止
我们会发现
它实际上比这儿还要更小
比10的-24次方还要小的一个东西
那么如果你用这么小球旋转
获得那个角动量
角动量是h(bar)的量级
那么你就会发现
电子表面的速度一定超过光速
这显然是违背相对论的
那好了我们说你这个东西
是因为假设它是非相对论
所以算出来大于光速
那如果用相对论计算怎么样呢
那也可以
我们认为角动量还是h(bar)
相对论的这个角动量怎么算呢
等于m乘以v 再乘以r
把这个m换成动质量
那得去反过来估算这个动质量
因为已经假设它转的足够快
认为那个v就是光速
这样你算出来动质量你会发现呢
也有问题
它远远的大于电子的质量
注意到那个所谓的动质量
就是我们在平常观测到的那个
电子的质量
因此这是也是有问题的
不管是从非相对论出发
还是从相对论出发
你都会看到这样一个
不正常的矛盾
因此泡利说你这个东西肯定是错的
那么泡利是大物理学家
所以他当时这么说的时候
这两个年轻人就吓坏了
他们就想撤回他们的论文
不过他们的导师
叫做埃伦菲斯特
这个人非常的宽厚
他鼓励他们两个人说什么呢
你们两个现在还足够年轻
以至于允许你们犯一些
愚蠢的错误
什么意思呢
就是你们现在很年轻
犯一点这样的错误
对于你们将来影响是不大的
不要太担心这个问题
大胆的去把它发表
那么因此他们俩没有撤回论文
最后呢 这两个人就成为
电子自旋理论的这个创立者
那么这里边有个
有意思的故事是什么呢
当时泡利的一个学生
几乎是在同时
也提出了这样一个理论
但是由于泡利认为这是错的
所以他的学生没有
敢提交他的论文
这也是学术界一个
非常有名的故事
好了 那么自旋
虽然不能用经典图象来理解
但是仍然它也是一个角动量
所以呢
类比轨道角动量的量子化
我们也给出自旋角动量量子化
轨道角动量子化以前我们做过了
它是跟量子数l有关 叫量子数
同时有磁量子数
磁量子数取法只能取到(2l+1)种
好了 我们假设自旋的角动量
也是要量子化的
它也是要类似的
这里边有一个量子数s
这个都完全一样的公式
同时呢
那么这个磁量子数也是这样写
注意到因为它是S
所以它标上mS
那么它的取法也是从
负的S取到正的S
有(2s+1)种取法
那么这个s叫做自旋量子数
mS叫自旋磁量子数
这都是类比原来的
轨道角动量来说的
那么因为它有(2s+1)种取法
而施特恩盖拉赫实验告诉我们
实际上只有几种取法呢 两种取法
也只有两条线
两种取法就意味着2s+1=2
那么如果这个式子成立
我们必须要放弃s是
整数的这个假设
S只能取1/2是个半整数
那么它的磁量子数当然只能取
正负1/2两个状态
相当于什么呢
相当于它的自旋
一个朝上 一个朝下
但是实际上并不是
严格的沿着Z轴的
我们说这是不可能实现的
之前我们就讲过
那么总角动量的大小
是等于2分之根号3乘以h(bar)
量子力学给出磁矩
自旋磁矩和
自旋的关系是这样一个关系
这个关系呀
和轨道角动量的地方很像
但是不一样
这差一个二倍
这说明什么呢
这件事说明自旋的确不是
一个小球在那旋转产生的
如果是那样的话
这地方也是一个
类似二倍的东西
但这儿没有
它实际上是一种内禀运动
那么自旋是怎么产生的呢
将来如果咱们同学有机会
去学习狄拉克方程就知道了
它实际上是一种相对论的粒子
满足了狄拉克方程
从狄拉克方程近似到
薛定谔方程的时候
自然而然出现的一种内禀运动
那么这个就是自旋
它并不是一个在空间运动里边
旋转产生的一个东西
好了 那么电子既然是又绕着
原子核运动 有轨道角动量
它又有自旋角动量
那么这两个角动量
反正是都是角动量
一定会有一个角动量的合成
那么合成之后角动量叫做大J
是总角动量
这个呢就是所谓的自旋轨道耦合
那么我们由量子力学知识可以知道
这个大J应该也是量子化的
而且它也能写成一个量子数
j乘以j+1开根号乘以h(bar)这样一个性质
这个小j就是它的量子数
小j是什么样的东西呢
我们说当l等于零的时候
这个最清楚了
这个总的角动量就是S
所以小j实际上就是小s
只能等于1/2
l不等于零的时候怎么办呢
那么量子力学的知识告诉我们
它实际上有两种取法
一种是小j等于l+s 也就是l加1/2
还有一种取法呢
是l-s 就是l-1/2
这两种取法分别叫做
轨道角动量和自旋角动量
平行和反平行
注意这个并不是严格的平行反平行
都是有个夹角
比如说l=1的时候
那么总的角动量
就是轨道角动量叫做根号2乘以h(bar)
自旋是2分之根号3h(bar)
那么按照这两种不同的取法
平行和反平行
总的结果一个小j是3/2
一个是1/2
你把它求出来呢
这个大J就是2分之根号15h(bar)
这个是2分之根号3h(bar)
那么你用经典的矢量图来
描述就是这样的
这个就是平行的情况
L和S平行合起来这个J是变大的
就是2分之根号15
反平行呢
就是这两个张角是一个钝角
那么合成的结果呢
是一个相对比较小的
一个总的角动量
2分之根号3h(bar)
那么再考虑了自旋轨道耦合之后
我们再来看原子的状态
在考虑了自旋轨道耦合之后
我们再看原子的状态
就不能只考虑三个量子数了
也就是主量子数
角量子数和磁量子数
我们还要考虑和自旋有关的
和总角动量有关的力学东西
那么这里边要讲一些代号
比如说轨道角动量L
我们习惯上不叫做01234
而是习惯上叫做SPDFG
它分别对应的1234这样的东西
主量子数还是n
另外呢我们用一个
总角动量的量子数j来表示
那么比如说n=3 l=1 j=3/2
这个时候就把这个状态表达成
3p3/2
因为l=1正好对应的就是p
那么这个就标志了一个
电子的状态
那么这里边因为没有磁场
所以不涉及到磁量子数
这节我们就讲到这儿
谢谢 同学们再见
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--环路定理
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--导体静电平衡
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