当前课程知识点:大学物理2 (电磁学、光学和量子物理) > WEEK5 > 毕-萨-拉定律、磁场叠加原理和磁场高斯定理 > 毕-萨-拉定律
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同学好 这节我们讲
毕萨拉定律及其应用
那么这其实就是
毕奥-萨伐尔-拉普拉斯定律
毕奥 萨伐尔是做实验
他们做实验这思路
其实是和库仑的想法是一样
因为奥斯特发现了电流磁效应
他们就想假如我要知道
小的电流元产生的磁场的话
那么通过叠加原理我就可以知道
整段的电流产生的磁场
那么这里边我们说这个电流元
它其实是电流上取的一小段
这是一个有方向的一个小段线段
那么它大小是
这上面的电流乘上这个线段的小矢量
那么它在某一点产生的
磁场应该是什么样子呢
假设这个电流元到这个
场点的矢径是r的话
他们做实验发现产生的磁场
不是沿着这个矢径的方向
而是垂直于电流元和矢径
构成的这个平面
也就是说在这样的情况下
这个电流元产生的磁场
是垂直于板面向里的
那么毕奥 萨伐尔做了这个实验
发现了里边的规律
可是呢
他们没办法用数学表达式表示出来
因为这个规律比起库仑定律来说
还是稍微复杂的
那么拉普拉斯当然数学非常好
他帮助他们写出了数学表达式
也就是这样
一个小段电流元产生的磁感应强度
是用这样一个矢量的叉积来表示的
那么这里边这个μ0
是真空中的磁导率
它是这样一个数
这里边单位是亨利每米
亨利后边我们会讲
就是自感的发现人
那现在你看这个数很整齐
它是严格的4π乘上10的-7次方
那这一点呢
是跟单位的选取有关系
国际单位就让这个μ0变得很整齐
那么我们现在选择的是国际单位制
在国际单位制里边呢
μ0就是这样
那么ε和μ0乘在一起
它是光速平方分之1
所以你这个选整齐了
那ε0当然就不会整齐
下面我们讨论一下 根据这个式子
这一段电流元所产生的磁感应强度
到底是什么样的
我现在把这个电流元竖起来
为了看起来方便
那么沿着这个电流元的方向有个轴线
我以轴线上某一点
作为圆心画一个圆
这个圆是轴对称的
也就是说这个圆的平面
是垂直于这个轴线的
那么这个时候
在这个圆上某一点
它的磁感应强度我们怎么计算呢
那么我们知道
这个电流元到这一点的矢径是r
那么电流元和这个矢径之间
它们之间有个夹角就是这个α
根据毕萨拉定律这点的磁场
可以用这个矢量式子来表示
这个电流元的方向和矢径的方向
右手螺旋的结果是
磁感应强度的方向是垂直于
电流元和矢径构成的这个平面
也就是说这个磁感应强度的方向是
在这个圆是这一点切向方向
那么这个圆上任意一点哪一点啊
它的方向都是沿着切向的
因为这个矢径
是跟你位置的选取有关系
那么我们现在也可以把这个式子
把大小给它写出来
方向我们已经用这个右手螺旋确定了
它是沿着圆的切向方向
大小因为叉积实际上是
它们之间的夹角sin
那么这个R帽当然是单位矢量
所以它是1了
所以你很容易把它写出来是这个样子
那么这里边呢
对于这个圆上的任意一点
它距离这个电流元的距离都是r
电流元和矢径之间夹角
这圆上的任意一点它都是α
所以这个值
对于这个圆上的任意一点来说
都是一个常量
所以我们可以说
这个圆上的磁感应强度的大小
都是一样的
方向都是沿着圆的这个切向方向
那也就是说你在这里边呢
你可以画很多的这样的圆
就是以这个电流元这个方向作为轴的
轴对称的这个圆
那这个圆上的磁感应强度大小怎么样呢
都是一样的
圆上的磁感应强度大小都是一样
方向都是沿着圆的切向方向
那么假如我们要计算
一段有电流导线
在某一点产生的场强怎么计算呢
磁场也满足叠加原理
因为它跟电场一样都是矢量
那现在呢
某一个电流元的磁场你都知道了
那一段导线电流产生的磁感应强度
当然就把它们加起来就行了
那下面我们给一个例子
假如说现在有一个圆环
圆环上有一个电流I
这个时候问你
在这个圆环的对称轴上
磁感应强度是什么样的
比如说有一个某一点
距离这个圆环中心的距离是x
但是在轴线上的
那么这一点的磁感应强度怎么计算呢
当然我们任取一个电流元
那么有了电流元 利用比萨拉定律
我们就可以计算
这个电流元在这一点上的磁场
假设从电流元到这一点的矢径是r的话
根据毕萨拉定律
那么这点的这个电流元产生的磁场是这样
那么根据叉乘的右手螺旋法则
dl是这个方向
r是这个方向
所以磁感应强度的方向是沿着这个方向
那么如果我在圆环的
对圆心对称的一点
再找一个和它一样大小的电流元的话
它在这一点产生的磁场应该是什么方向呢
同样的方法你很容易判断
它的方向是这样的
那么这两个由于对称
它在垂直于这个轴线方向的分量
它是互相抵消的
那么假如说我要计算
整个圆环在这一点的磁场的话
因为每一个对称位置上的电流元
在垂直方向的分量都是互相抵消的
所以两两抵消的结果是
没有垂直于轴向的分量
当然这一点我们也可以利用轴对称性
直接判断 怎么判断呢
假如说这个上面有一个
垂直于轴向的分量的话
可是这个系统是满足轴对称的
也就是说你绕着这个轴旋转的话
应该不会有什么变化
可是假如说你有
垂直于这个轴线分量的话
这个分量会发生变化
所以这个轴线上
垂直于轴线的分量是不能存在的
那也就是说这个圆环
在轴线上某一点的磁场
它只有x分量
那么这个分量我们怎么计算呢
就是把每一个电流元
x方向的分量
叠加起来就行了
那么假设这个矢径
和轴向的这个夹角是θ的话
那当然沿着轴向的这个分量
是你算出来的这个dB大小的sinθ
那么dB这个大小呢你很容易计算
因为在这里边电流元的方向
和矢径r的方向是互相垂直的
所以它们这个叉积大小就是等于dl
把它代进去就是这样
那sinθ当然这里边是R/r
这个大R是这个圆环的半径
现在我们要把整个圆环电流
在这一点产生的磁场算出来的话
无非就是对这个式子叠加就行了
那么这个叠加呢
实际上就是这个积分
注意这里边呢不再有矢量了
这就是一个代数的积分
那么这里边对于给定一点来说
这个矢径r到处都是一样的 都是常量
那么这个大R当然是也是给定
电流I也是给定所以整个都是一个常量
只剩下对dl的积分
dl是这个圆环的这个积分
所以圆环的长度2πR
算出来的话结果就是这样
我们可以把这个小r
用勾股定理用x这个坐标来表示出来
那么r平方就等于大R平方加上x平方
所以这个式子
你可以简单的表示成这个形式
刚才我们说了
它的方向是沿着这个轴向的
那么这个轴向这个方向呢
我可以用另一个法则来判断
什么法则呢
就是右手螺旋法则
假如说现在这个电流是这样旋转的
我这个四指的方向指电流的方向
那么这个拇指指的方向
就是这个圆环电流
所产生的轴线上的磁场的方向
你看这个方向不是指轴线方向吗
另外在这里边呢
对圆环中心处那个磁场
也是比较重要经常要用到
那么那一点呢
磁场当然是x等于0的一个特殊结果
那么代进去的话
我们就得出来这样一个式子
这个式子呢
你当然你要记住的话
对于做习题都是一个很方便的
下面还有一个例子
是关于匀速运动点电荷的磁场
那么我们现在知道的实际上就是
一段电流元产生的磁场
假如说这一段电流元
在某一点产生的磁场
我们是知道的
毕萨拉定律给你了
那么这里边这个电流元代表什么呢
我们分析一下
假设这个导线的这个截面积是S
那么这个时候你电流元
dl方向和当地的电流密度方向是一致的
所以这个矢量标在dl上面
还是标在电流密度上面
这都是一样的
那么现在这个电流呢当然是
截面积乘上电流密度
截面积和dl的乘积
就是这一段电流元的什么呀 体积
而电流密度你当然可以写成nqv
v就是当地的载流子的漂移速度
那么这里边呢
n是这个载流子的数密度
所以你这个数密度乘上它的体积的话
就代表这一段电流元上载流子数
我们这个载流子数用dN来表示的话
那么电流元实际上是qv
然后乘上dN就是这一段电流元上
载流子数目
那么实际上这个式子就代表什么呢
就代表这么多个载流子定向运动的时候
所产生的磁场
那么单个载流子
以这个漂移速度运动的时候
产生磁场应该是什么呢
当然除以dN就好了
那么除以dN以后代到这个式子里边
我们就可以知道
单个点电荷以速度v运动的时候
它所产生的磁场当然就是这个
就是dB除以dN的那个结果
那下面呢我们就可以看了
假如说一个
带电电荷q是以速度v运动的
那么它在远处某一点呢
它的矢径是r那个地方产生的磁场
我们知道就是这个式子
这个式子当然你很容易判断
它的方向是v叉r
也就是说速度叉上r
所以这个时候当地的磁场方向
是这个方向它是这样
那么考虑到这一段的运动
和电流元的那个磁场产生的情况是一致的
所以说这样运动的时候
它在这个附近产生的磁场
应该是什么呢
应该是沿着速度方向作为轴线的
以这个为对称轴的圆环上
磁场大小都是一样
方向都是沿着这个圆环的切线方向
是这样的一个磁场其实是
那么考虑到这个点电荷
在周围产生的电场
假如说这个运动速度不太大的话
我们知道这个电场就是用
库仑定律给出来的
速度快的话不行
速度快的话我们要用到相对论
所以这个式子近似就不太好了
那么低速的时候呢
当然电场是这样
你两个式子一比较
你就发现电场和磁场之间
有这样一个关系
当然这里边ε0乘上μ0分之一就是光速平方
那么这个式子是一个准确的式子
是什么呢就是磁场和电场之间
一个带电粒子运动的时候
它所产生的
磁场和电场之间的关系是准确的
尽管这个用库仑定律估算出来的
点电荷的电场是一个近似
同样这个也是近似
以后我们会知道
这个用毕萨拉定律算出来的
它也是一个近似
高速的情况
这两个式子都是不对的
但是它们之间的关系式子是正确的
那么我们再画个图
可以简单的看一下
一个运动点电荷的电场和磁场
那么在这个垂直于电荷运动的方向
电力线稍微密一些
沿着运动的这个方向
电力线稍微疏一些
假如速度不太快的话
低速近似下基本上它是球对称的
这个时候呢
磁场你可以用这个方式写
电场用这个库仑定律
给出来这个近似给出来
然后它们之间的关系是这个
那么形象地看的话
比如说在某一个面
这个面是垂直于
这个粒子运动的这个轴线的
那么在这上面呢
假如说画一系列同心圆
这个同心圆是这个轴对称的
也就是这个粒子运动这个方向作为轴的
轴对称的
那么这个圆上
根据我们对毕萨拉定律的了解
圆上的磁场大小都是一样的
给定一个圆
它上面磁场大小都是一样的
磁场的方向都是沿着切线方向
就是这样
好 这节我们就讲到这儿
谢谢
-电荷和库仑定律
--引言
--电荷
--库仑定律
-WEEK1--电荷和库仑定律
-电场及叠加原理,电偶极子
--电场和电场强度
-WEEK1--电场及叠加原理,电偶极子
-高斯定律
--电通量
--立体角*
--高斯定律的证明*
--高斯定律和电场线
--高斯定律的应用
-WEEK1--高斯定律
-WEEK1--本周作业
-静电场环路定理、电势和叠加原理
--环路定理
--电势和叠加原理
--电势梯度
--等势面
-WEEK2--静电场环路定理、电势和叠加原理
-静电能
--电荷系静电能
-WEEK2--静电能
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--物质中电场
--导体静电平衡
-WEEK2--导体静电平衡
-WEEK2--本周作业
-导体周围电场
-WEEK3--导体周围电场
-静电屏蔽
--导体壳与静电屏蔽
-WEEK3--静电屏蔽
-电容及电容器
--电容及电容器
-WEEK3--电容及电容器
-电介质
--介质对电场的影响
-WEEK3--电介质
-极化强度矢量,极化电荷
--极化强度
--极化电荷
-WEEK3--极化强度矢量,极化电荷
-WEEK3--本周作业
-极化规律、电位移矢量
--电介质的极化规律
-WEEK4--极化规律、电位移矢量
-有介质时静电场能量
-WEEK4--有介质时静电场能量
-电流密度、稳恒电流和稳恒电场
--电流密度
-WEEK4--电流密度、稳恒电流和稳恒电场
-电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律
--电动势
--欧姆定律
--欧姆定律(续)
-WEEK4--电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律
-电流微观图像和暂态过程
--电流微观图像
-WEEK4--电流微观图像和暂态过程
-本周作业
--week4--本周作业
-洛仑兹力、磁感应强度
--电流磁效应
--磁场和磁感应强度
-WEEK5--洛仑兹力、磁感应强度
-毕-萨-拉定律、磁场叠加原理和磁场高斯定理
--毕-萨-拉定律
--磁场高斯定律
-WEEK5--毕-萨-拉定律、磁场叠加原理和磁场高斯定理
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-WEEK5--静磁场环路定理
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--霍尔效应
--安培力
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-WEEK6--载流线圈在均匀磁场中受的磁力矩、磁矩
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--磁场中的磁介质
--原子的磁矩
-WEEK6--磁介质对磁场的影响和原子磁矩
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--磁介质的磁化
--磁化电流
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-WEEK7--铁磁介质和简单磁路
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-WEEK7--法拉第电磁感应定律
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--动生电动势
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--自感
--互感
-WEEK7--自感和互感
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--磁场的能量
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--麦克斯韦方程组
-WEEK8--位移电流和麦克斯韦方程组
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--波动光学——引言
-WEEK9--波动光学—引言
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