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同学好 这一节我们讲
有电介质时静电场的能量
先讨论有介质时候电容器的电容
假设讨论一个平行板电容器
它们之间间隔是d面积是S
里边放了一个相对介电常数
εr的各向同性介质
它均匀的
假设一开始这个电容器带电是Q
那么里边的电场呢
当然是等于
没有这个介质时候的电场的1/εr
那么这个时候
两个平行板之间的电势差
当然是没有介质时候的1/εr
那么根据电容的这个定义
当然这个带电量
是有介质和没有介质的时候是
没有改变
所以说你很容易得出来
放介质以后的电容
是不放介质电容的εr倍
所以有时候我们把这个相对介电常数
也叫电容率
那我们来看一看
没有电介质的时候
里边的电场是等于这个的
那么根据介质方程
D和E之间有介质的时候
它是这么一个关系
那么考虑到εr乘上这个电场
刚好是等于E0 所以D又等于ε0E0
这里边E0就是没有介质的时候的那个电场
或者D等于平行板上自由电荷面密度
下面我们讨论这个场能密度
还是考虑这个平行板电容器
那么里边有介质的时候
电势能怎么计算呢
如果还按我们过去那个思路
考虑电荷之间的相互作用
来计算这个电势能的话
这个时候就相当复杂 为什么呢
因为你要考虑自由电荷之间相互作用
极化电荷之间相互作用
你还得考虑
自由电荷和极化电荷之间相互作用
所以这样计算电势能非常复杂
那么我们还有另外一个思路
它这个方法比较简便
假如说我现在给这个电容器充电
那么很显然电池做的功
就等于这个电容器储存的能量
为什么呢 因为在这个过程当中
没有其它能量的损耗
也没有其它形式的能量出现
你电池做的功给它充上电了
全部变成了电容器上的储存的能量
那么这个电池做的功怎么计算呢
当然就是电功率对时间的积累了
那么这里边这个电流当然是
单位时间里边
给这个电容器加上的这个电荷
那么把这个式子代进去
你很容易得到这么一个式子
那么利用这个电容的关系
我们可以把这个电势差
用q/C来表示
那么这个电容当然是
对这个平行板电容器来说
它是一个固定的量
所以积分的时候
你可以把它当作常量处理
那么把这个积分我们就得到了
这个电容器
所储存的能量是这么多的
你也可以利用电容的表达式
把它改写成另外的一些形式
你会发现这些形式
和这个电容器中间没有电介质的时候
那个关系式子形式上是一样的
所以我们看到
如果我们用这种方式
来计算电容器的储能的话
当然是简单多了
可是前面我们也知道
其实能量并不是储存在
这个电容器里边这个电荷上
它是储存在这个电场当中的
那么我现在可以把刚才得到的这个
能量公式
用场量来表示
你比如说这个带电量是等于
电荷面密度乘上面积
然后这个电势差
用电场乘上这个两板之间的距离
而我们又知道
这个板上的自由电荷面密度
又等于板之间的电位移矢量D
我们把它代进去
考虑到这个S乘上d
就是这个电容器中间
电场所在的那个空间的体积
因为对这样的问题
我们忽略边缘效应
所以这外边
就假设那些电场是不存在的
电场都集中在这里边
在这个式子里边
如果我们把这个体积除过去的话
那么刚好就是
这个电场里边能量密度
考虑到在这个两板之间
电位移矢量D
和电场的方向它们是一样的
所以它们之间的代数乘积
你可以把它写成矢量的点积
它们是一样的
那么这个就是静电场的
场能密度公式
虽然这是在平行板电容器
这个特定的条件下推出来的
可是它的结果是普遍的
那么物理学里面呢 经常有这样的事情
就是当你用特殊的情况
推导出的一个结果
这个结果和具体的
比如说跟平行板电容器的任何一个量
没有关系的时候
这个结论往往是普遍的
它不仅对静电场成立
甚至对于电磁波里边的
电场能密度
它也是用这个表达式
好 这节的内容就讲到这儿
谢谢
-电荷和库仑定律
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-电场及叠加原理,电偶极子
--电场和电场强度
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--极化强度
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