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同学们大家好
下面我们讲第21章
麦克斯韦方程组和电磁波
一共有六节
在第20章
我们依据电磁感应的实验结果
和感生电场假设
把静电场的环路定理
推广到随时间变化的普遍情况
这是静电场的环路定理
这是推广后的普遍情况
这个方程揭示了磁生电的物理机制
这是磁场随着时间的变化率
是按照这个方程 磁生电的
本章依据麦克斯韦的位移电流假设
把恒定磁场的安培环路定理
推广到随时间变化的普遍情况
这是恒定磁场的安培环路定理
这是推广后的环路定理
注意这个方程揭示了
电生磁的物理机制
这是传导电流
这是电场随时间的变化率
这个方程就描述了
变化的电场和电流如何产生磁场
第一节我们讲位移电流假设
我们以电容充电过程为例
请看这是一个电容C
这是连接电容的导线
这是电源
这是个开关K
其中L是围绕导线的一个封闭曲线
S1和S2是两个曲面
它们都以L为边界
但是其中的S1和导线相交
S2通过电容两个极板之间的空间
和导线不相交
这是S1 S2这两个曲面的区别
好 我们合上开关K
按照安培环路定理
似乎有这个表达式
其中I0代表传导电流
可是按照这个方程
对照这个图我们看
当通过面S1的情况下
这个积分等于I0
等于导线上的传导电流
通过面S2
通过这个面
这时候没有电流
这个积分应该等于0
这就带来一个矛盾
这说明在非稳恒情况下
安培环路定理不成立
下面我们看
如何推广到随时间变化的普遍情况
1861年麦克斯韦提出位移电流假设
在电场变化的空间内
存在着电流
这个电流他把它叫做位移电流
一会儿我们看到
这个电流在某些情况下
不代表电荷的移动
所以我们打个引号
还是刚才那个图
按照麦克斯韦的假设
在电场变化的空间
就是电容器两个极板之间的空间
有一个电流Id
这就是位移电流
位移电流Id
接续了导线中的传导电流I0
Id=I0
假设这个位移电流
等于导线中的传导电流I0
好 我们计算一下
首先我们假定在极板上
t时刻自由电荷的电量是q0
自由电荷的电荷面密度是σ0
极板的面积是A
在这种情况下我们计算一下位移电流
显然这个位移电流就应该等于极板的
自由电荷的电量
随着时间的变化率
我把q0写成面积乘上电荷密度
而电荷密度σ0
就是两个极板之间空间的电位移矢量D
最后如果你认为位移电流
等于面积乘上位移电流密度的话
jd代表电流密度的话
那这个jd位移电流密度
就等于该处的电位移随时间的变化率
我们考虑了方向
写成矢量的形式
这个就是麦克斯韦假设的
位移电流的电流密度的表达式
位移电流的电流密度矢量
等于电位移矢量的时间变化率
这个就是位移电流假设的结果
我们下面看一下
位移电流是不是电荷的流动
按理说叫电流就是电荷的流动
我们看一下这是位移电流的表达
这是位移电流密度矢量的表达
做这个通量通过S面的通量
就是通过S面的位移电流
我把D用ε0 E+P代进去
代到这个式子里
位移电流可以写成两项
第一项是这个积分
这个代表电场随时间变化率
这个积分其中的偏P 偏t代表
极化强度矢量随时间变化率
我们看一下这两项的意义
第一项代表
电场的变化引起的位移电流
第二项我们可以看到
它代表极化电流
这一项代表电荷的移动
是束缚电荷的移动引起的电流
为什么是极化电流我们证明一下
我把这一项
积分偏P 偏t写成这个样子
由于S面不随时间变化
所以可以把偏微商提出来
P点dS
我可以写成P点n hat
n hat代表dS这个有向面元的方向
这个dS代表这个面元的大小
这个时候呢这个P点n hat就是
在这个面元附近的
束缚电荷面密度σ'
所以这个积分就代表q'
就代表这个面上的极化电荷的电量
所以最后我们就证明了
这一项确实代表S面上的极化电流
好了 我们就有下面的结论
位移电流包括变化的电场
和极化电流两部分
而真空中 注意真空中是没有介质的
真空中的位移电流
只是变化的电场
不产生焦耳热和电解等化学效应
位移电流包括两项
其中一项是由变化的电场引起的
它不是电荷的流动
另一项是极化电流
我们知道在产生磁场上
位移电流和传导电流具有相同的效果
都能产生磁场
所以我们就可以把一般情况下的
环路定理写成这个样子
其中I0代表传导电流
Id代表位移电流
加在一块产生磁场
其中位移电流我们用刚才的式子代进去
把它代到这里面
我们就得到这个表达式
这个就是普遍情况下的安培环路定理
其中这是传导电流
传导电流产生磁场
这个是变化的电场
这是电位移矢量的时间变化率
这个式子就告诉我们
电流和变化的电场
是如何激发磁场的
好 感生电场假设和位移电流假设
揭示了电场和磁场的统一性
为建立麦克斯韦方程组
奠定了理论基础
这是麦克斯韦对电磁场理论
所做出的最突出的贡献
我们举个例题
这是圆形的平板真空电容器
极板的半径给出来了是0.1米
充电的时候
极板之间空间中的电场强度
随时间的变化率是正的
是这个值
求充电的过程中
电容器内的位移电流
以及极板边缘处的磁场强度
我们计算一下
我们先计算电容器内的位移电流
我们按照位移电流的假设
应该等于极板的面积
乘上位移电流的电流密度jd
而这个jd是ε0dE/dt
ε0乘上E就是D
大写的D 电位移
那我把相应的数据代进去就是0.28A
再计算极板边缘处的磁场强度
好 我们根据位移电流的轴对称性
我可以得到这个结论
由位移电流产生的磁场是轴对称的
好了 我边缘上画一条封闭曲线L
沿着这个L的H的积分就是2πRH
因为轴对称的
把积分可以写成这个样子
应该等于包围的位移电流Id
就是这个值
我们就算出来了
极板边缘的磁场强度
就是0.44安培每米
由于你计算结果是正的
所以H的方向与L的绕向相同
如图所示就这个样子
这一节就讲到这儿 谢谢
-电荷和库仑定律
--引言
--电荷
--库仑定律
-WEEK1--电荷和库仑定律
-电场及叠加原理,电偶极子
--电场和电场强度
-WEEK1--电场及叠加原理,电偶极子
-高斯定律
--电通量
--立体角*
--高斯定律的证明*
--高斯定律和电场线
--高斯定律的应用
-WEEK1--高斯定律
-WEEK1--本周作业
-静电场环路定理、电势和叠加原理
--环路定理
--电势和叠加原理
--电势梯度
--等势面
-WEEK2--静电场环路定理、电势和叠加原理
-静电能
--电荷系静电能
-WEEK2--静电能
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--物质中电场
--导体静电平衡
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-WEEK3--导体周围电场
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--导体壳与静电屏蔽
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-电容及电容器
--电容及电容器
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-极化强度矢量,极化电荷
--极化强度
--极化电荷
-WEEK3--极化强度矢量,极化电荷
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--电介质的极化规律
-WEEK4--极化规律、电位移矢量
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--电流微观图像
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--电流磁效应
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--毕-萨-拉定律
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