当前课程知识点:大学物理2 (电磁学、光学和量子物理) > WEEK6 > 载流线圈在均匀磁场中受的磁力矩、磁矩 > 载流线圈在均匀磁场中受的磁力矩
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同学们好
我们现在开始讨论7.4节
载流线圈在均匀磁场中受到的力矩
我们通过前面几节的讨论我们知道
对一个闭合的载流线圈来讲
在均匀磁场里面
受到的合磁力肯定是为零的
但是磁力距不一定是零
下面
我们将通过三个例子
一个矩形线圈
圆形线圈和任意形成的载流线圈
来讨论它的磁力矩问题
好 我们首先讨论
载流矩形线圈
在均匀磁场上面力矩
首先呢
举一个特别的情形特殊的情形
这个矩形线圈这个平面呢
与磁场是平行的
那么我们定义
线圈平面的法线方向
怎么定义呢
这个法线方向当然是垂直于
线圈的平面的 毫无疑问
那么它的具体的方向呢
与电流的方向
成右手的螺旋关系
这个方向定义为法线正方向
在如图所示的情况里面呢
如果电流的方向是顺时针的话
显然根据我们刚才的定义
这个法线方向
是垂直纸面 向里的
好 我们现在
就讨论这样一个矩形线圈
在这样的情况之下的力矩是多少
考虑这个矩形线圈的
四个边的受力情况
我们看看上面的短边
和下面的短边
电流方向
都是与磁场平行的
显然是不受安培力的
那么左边的长边
和右边的长边
这个电流方向呢
都是与磁场垂直的
它会受到一个安培力
当然是有力矩的
我们考虑这两个边
受到的力矩的大小是多少
我们看看每个边受到的力
那么我们看右边吧
右边的电流的方向是向下的
那么根据安培的安培力的话
Il×B
显然它受的力是垂直纸面
垂直黑板的向外的
那么左边的这个长边呢
受到的安培力呢
是垂直纸面 向里的
这两个力
虽然大小相等方向相反
但是呢 它不在一条直线上
对于这个转轴z轴
会贡献一个力矩
那么它的力的大小呢
我们刚才我们讲了IbB
那么它的力矩是多少呢
这个力矩
左边的力矩和右边的力矩
大家可以判断出来
力矩的大小和方向都是一样的
是可以直接相加的
那么只要把一个边的力矩
乘上2就行了
那么我们考虑这个边的力矩
力呢是IbB
那么它的力臂
力臂很容易看出来
是a的2分之1
那么又乘以2所以aIbB
那我们知道小a和小b相乘
就是短边跟长边相乘
就是这个矩形的面积
所以 最终的结果呢是IS乘以B
如果考虑力矩的方向的话
我们从这个刚才的力矩的这个
式子可以判断出来
力矩的方向是哪个方向呢
你看这个力的方向是向外的
而力臂的方向
是这样R×F是哪个方向呢
R显然是沿着z的负方向的
那么考虑到这个方向性呢
我们可以把力矩
写成这样的式子
ISen×B
我们检验一下
en的方向刚才讲了
是垂直纸面 向里的
那么B的方向是向右的
那么判定一下正好是向下的
所以呢
我们把它写成矢量式子以后
这样的一个矩形线圈
在这样的一个特殊情况之下
它受的力矩是ISen×B
好 我们考虑
把刚才这个例子那个线圈
从上面向下看
沿着顺时针方向
旋转了一个β角
从上面向下看到的俯视图
就是这样的 这个边
就是上面的这个短边
而电流向往的这个边
垂直于黑板面的
就是这条 左边的长边
垂直于黑板面向里
电流向里的这个边
就是右边的这个长边
那么我们考虑在这种情况之下
它的力矩是多少
我们还考虑四个边的受力情况
上短边就是这个边
上短边它的受力是什么
安培力是什么方向呢
Il×B
看看在哪个方向上
l×B
是这样的方向
是垂直于纸面 向外的
但是呢与它对应的短边
受的安培力呢
也是垂直于纸面 向里的
这两个力呢
大小相等方向相反
而且是沿着一条直线的
所以呢不贡献力矩的
那么贡献力矩的呢
只有这个长边和这个长边
我们看看这两个长边
每个边受的力是多少
这个电流强度是I
显然与磁感强度这个B
是互相垂直的
I×B的方向
安培力竖直向上的
同理呢
这儿的安培力是竖直向下的
那么这两个力
也是大小相等方向相反
但是不在一条直线上
所以是贡献力矩的
而且这两个力呢
贡献的力矩呢
是方向相同的
是可以相加的
我们只要把一个力的贡献力矩
乘以2就行了
和刚才的情况一样
那么这个力贡献的力矩是多少呢
力是这个
乘以力臂
力臂是多少呢
显然是2分之a乘以cosβ的话
就是力臂了
2分之a cosβ
由于是两个力矩
所以已经乘以2
所以a cosβ
然后再乘以这个力IbB
经过简单的化简的话
我们就得到这个式子IScosβB
我刚才讲了 这个β是什么呢
你这个β是线圈平面
与磁场的夹角
如果定义呢
这个线圈的法线方向
与磁场夹角是θ的话
从这个几何关系很容易看出来
这个θ和β是互余的
是余角关系
所以呢这儿cosβ
就等于这儿sinθ
把这个式子
写成矢量考虑到
力矩是一个矢量
我们可以写成M=ISen×B
和刚才的情况是一样的
结果是一样的
好 刚才呢讨论了一个矩形线圈
如果不是矩形线圈
而是一个圆线圈的情况怎么样子呢
当然圆线圈呢
要比矩形线圈比较复杂一点
我们直接从一般的情况入手
这个是一个圆线圈
它的法线方向是en方向
它与磁感强度的方向之间的夹角
是一个θ角
那么我们现在
把这个磁感强度
进行分解
分解成平行于法线方向的分量
和垂直于法线方向的分量
我们首先看一下
平行于法线方向的分量 在这儿
对力矩的贡献
那么这个是
载流的一个圆线圈
这个是在平行于法线分量的
一个磁感强度的这样一个磁场里面
我们看看它的受力的情况
我们引出一个电流元dl
它的电流的方向
是这个方向
我们可以判断出来
它受到的安培力呢
是沿着径向向外的
是所有的电流元
受到的安培力
都是径向向外的
根据对称性的话
这些安培力呢
是不贡献力矩的
所以 磁感强度
平行于法线方向的分量
对力矩是没有贡献的
只有呢
垂直于法线方向的分量
可能有贡献 我们来看看
这个是把磁感强度呢
把这个载流线圈
放在
垂直于法线方向的分量的这样的一个
磁场里面
那么由于磁感强度
是垂直于法线分量的就意味着什么呢
这个圆线圈啊 这个平面
和磁场是平行的
和磁场是平行的
我们再考虑
磁场的一个电流元
dl 这个电流元
电流的方向还是这个方向
我们判定啊
这个电流元受的安培力是多少呢
是叉乘的 写在这儿了
那么它的大小
它的大小是IdlB sinβ
sinβ呢β是dl也就说电流
和磁感强度方向的夹角
这个是电流元受到的力
那么它的z轴的力矩是多少呢
只要乘以力臂就行了
力臂的大小是这样r
好 也就是rdF
那么r等于多少呢
r呢 显然
就等于这个圆的半径
乘以这个张角
sinβ Rsinβ
那么把这个dF
从这个式子代进去
我们看看dl是什么
dl呢 与dl对应的向心角是dβ
所以dl就等于Rdβ
Rdβ来代替这儿的dl
所以把整个式子就写在这儿了
重新化简完了以后
就等于R平方 IB⊥sin平方βdβ
好 所以呢 对z轴的总力矩
只要把这个电流元的力矩
对整个圆环进行积分
积分的结果写在这儿了
πR平方IB
B⊥是什么 刚才已经说了
就是磁感应强度
在垂直于法线方向的分量
如果磁感应强度与法线方向之间的
夹角是θ角的话
B⊥显然等于Bsinθ
所以把整个式子写在这了
考虑到它的矢量性
和刚才讨论是一样的
我们可以把这个时候
它受到的磁力矩
S乘以I乘以en×B这样的形式
也就是通过刚才这两个例子啊
甭管是载流的矩形线圈
还是载流的圆线圈
它在均匀磁场里面受的磁力矩
都是电流强度乘以面积
乘以一个矢量
en×B这样一个矢量
好 我们现在最后考虑一下
如果不是规则的形状
不是圆也不是矩形
而是一个任意形状的一个
载流的这样一个线圈
那么它受到的磁力矩等于多少呢
好 这是我们
刚才通过刚才的分析已经知道了
我们也把这个载流线圈
所有的法线方向我们知道了
法线方向的定义和刚才一样
而且也已经知道了呢
平行于法线分量的磁感应强度
对这个力矩是没有贡献的
所以我们这儿推导的时候啊
直接把磁感强度啊
投影到垂直于法线方向上去
也就是把这个线圈
放在垂直于法线方向
那个磁场里面去 求它的力矩
好 这是一个任意形状的载流线圈
这儿呢是一个转轴
我们现在呢 垂直于转轴
处在这样一个窄条
这个窄条的高度是dh
这个窄条
与整个线圈截成两个电流元
一个是dl1 一个是dl2
下面呢我们来分别求
dl1和dl2受的安培力
以及力矩是等于多少
我们看看dlI dl1这个电流元啊
受的安培力是多少
安培力的话 根据安培力的定义
安培力的式子
Idl1×B 也就说乘以B垂直
乘以sin它们之间的夹角θ1
同理呢 Idl2
受的安培力也是这样子
只是Idl2B⊥sinθ2
这个θ1θ2呢
分别是电流元dl1与B⊥之间的夹角
这儿是一样的
是dl2与B⊥之间的夹角
从这个几何关系呢
我们很容易看出来
dl1乘以sinθ1是什么呀
就是dh
这儿dl2乘以sinθ2也等于dh
所以我们就知道了
从这个dl2乘以sinθ2
和dl1乘以sinθ1
都等于dh
这样呢我们就知道
这两个电流元啊
受的安培力的大小啊是一样的
是等于IB⊥dh
这是受的安培力
那么贡献的力矩是什么呢
合力我们都知道了 是等于零的
大小相等的 方向相反的
但是不在一条直线上
所以会贡献力矩
那么我们看看力矩是多少呢
我们看看它受到的力矩
力矩有了 乘以力臂
到力臂显然是x1
那么它受到的力的力臂是x2
所以dF1乘以力臂
加上dF2乘以力臂
分别乘以各自的力臂就会得到
因为dF1是等于dF2的
所以呢 我们可以把它合并一下
好 最后的结果呢
因为x1+x2就是这个窄条的长
dh就是它的高
所以呢 长乘以高
就是它的面积
我们可以写成dS
B⊥刚才讲了
就是磁感应强度
在垂直于法线方向的分量
如果磁感强度
与法线方向之间的夹角是θ的话
显然等于Bsinθ
所以最后的结果
大小呢 dM=IBdSsinθ
好 那么整个这个线圈的贡献力矩
只要进行积分就可以了
最的结果 当然是IS en×B
通过刚才三个例子
我们都可以看出来
任意一个载流的线圈
放在一个均匀磁场里面
它受的磁力矩
都可以表达成ISen×B的形式
这是一个矢量式子
在这儿呢
我介绍一下磁矩的概念
所谓的磁矩呢
在前面我们已经介绍过了
一个载流线圈
它的电流强度是I
它的面积S
它的法线方向的单位矢量是en
我们定义磁矩 是这么定义磁矩的
磁矩首先是一个矢量
它的大小
是电流强度乘上它的面积
它的方向
就是它的法向方向
好 从此以后呢 我们就知道
任意一个载流线圈
它就等效于一个磁矩
或者反过来
我一提到一个磁矩呢
你可以想象为一个载流的线圈
那么刚才已经讲过了载流线圈
在磁场里面受到的磁力矩呢
可以表现成这样的形式ISen×B
引入了这个磁矩的概念以后呢
我们可以把磁力矩的式子
重新写一遍
因为ISen正好是这儿的磁矩
所以呢磁力矩
是等于磁矩叉乘磁感应强度
这儿呢 我必须做一个说明
我们前面推导磁力矩式子的时候
是把线圈放在一个均匀的磁场里面
如果线圈很大的话
要保证整个线圈
所在区域磁场均匀的话
是很不容易的一件事儿
所以呢为了保证
那个线圈所在区域啊
磁场均匀的
就必须要求
这个线圈本身要比较小
所以我们一般情况之下
一谈到磁矩
都是指的是小的载流线圈
好 那么一个磁矩
在均匀磁场里面
有一个力矩
而且力矩跟据我们刚才式子
力矩可以表达成m×B的形式
也就是说它大小mB sinθ
θ是m和B之间的夹角
显然 如果改变这个θ值
或者比如说 把这个θ值
从θ1增加到θ2的话
我们就会知道
这个磁矩显然会做功
下面 我们来推导一下
这个磁矩做功是多少
好 当θ从θ1增加到θ2的时候
显然你会看到
当θ等于0的时候
这个力矩是等于0的
而增加θ的话
显然 磁力是要做负功的
磁力矩是要做负功的
所以我们现在考虑一下
当θ从θ1增加到θ2的时候
磁力矩
所做的负功的绝对值等于多少呢
负功值等于多少呢
好 我们根据我们力学里面讲到的东西
把力矩对θ进行积分
从θ1积到θ2
把力矩的表达式代进去
mBsinθdθ
最后的积分的结果
是mB(cosθ1-cosθ2)
这个式子里面可以看到
m是什么啊 是磁矩
B是磁感应强度
显然不随位置变化而变化的
那么这个负功啊
这个功的表达式里面呢
因为θ1和θ2是有关的
θ1和θ2是什么呀
是这个磁矩
初始的位置 和终了的位置
也就是说呢
这个磁力矩做的功
只与这个磁矩的起点
和终点的位置有关
而与转动的路径是没有关系的
根据力学里面我们来讲到的
我们已经有经验了
只要啊 有一个功
与路径没有关系
只与起始和终了位置有关的话
我们就可以引入一个势能的概念
这个势能的概念
所以刚才做的 磁力矩做的负功
就等于势能的增量
增量的话当然是终了位置
减去初始位置的势能
把这个式子代进去
所以呢 势能的增量
就等于mB(cosθ1-cosθ2)
好 那么势能的话
我们一般情况之下
都要选择一个势能的零点
这儿呢我们也不例外
如果选择
θ1等于π/2的这个位置呢
当成势能的零点的话
我们可以把任意一个位置
任意一个θ角的势能
写成这样一个式子
Wm=-mBcosθ
势能当然是一个标量
可以写成这样一个矢量的形式
-m点乘B
因为这个θ呢
就是m和B之间的夹角
所以我们这样就得出来了
一个任意一个载流线圈
或任意一个磁矩
在一个磁场里面获取的势能
它的势能那个表达式
可以写成-m点乘B的形式
在这儿呢
我把磁矩在磁场里面的情况
和电偶极矩
在电场里面的情况
进行一下类比是很有意思的
那么我们考虑电偶极矩
电偶极矩是p
它在一个电场里面受的力矩呢
是p×E
而它的势能可以写成-p点乘E
那么对一个磁矩m的话
它在磁场里面
受的磁力矩是什么呢
是m×B
而它的势能呢可以写成-m点乘B
好 刚才呢
我们是由磁力 磁力矩
推导出势能
根据力学里面经验的话
我们由势能可以反过来
来求它受到的力
好 那么磁矩在磁场里势能
我们刚才已经写出来了
W=-m点乘B
m是一个磁矩
B是磁感应强度
那么对这个势能
求梯度的负值的话
就应该是它受到的力
好 它受到的力
等于势能梯度的负值
把这个式子代进去
因为这两个负号 负负得正
就m点乘B的这样一个梯度
因为m点乘B的话 当然是个标量
标量的梯度
好 把磁矩
和磁感应强度的三个分量
x y z分别写出来
就应该是这个样子
我们知道
磁矩是不随空间而变化的
所以呢 对求梯度的时候
把mx my和mz都可以拿出来
所以 这样的话
它受到的力啊
磁矩受到的力啊
是与磁感应强度
与磁场的梯度是有关系的
磁场的梯度是有关系的
如果我们假设
磁场呢只有x方向的分量Bx
也就是By和Bz
都是常数的话就等于零的话
那么我们可以把这个力啊
它受到的力呢
直接写成mx对Bx求梯度
对Bx求梯度呢
当然三个分量x y和z
分别方向导数
这样的话我们就可以把一个磁矩
在磁场里面
受到的力的三个分量
全部写出来了
应用刚才这个原理呢
所谓的磁力显微镜
我们得出的结论是什么呢
一个磁矩
在不均匀的磁场里面受力呢
等于m这个磁矩
点乘这个磁感应强度梯度
那么我们通过一个实验呢
来验证一下这个结论
这儿是一个螺旋管
这儿是一个线圈
可以通电的线圈
螺旋管现在电流的方向呢
是这个方向
所以呢 它判断的磁场的方向呢
这个是N极
这是N极 出来的方向
现在我把这个线圈
通有电流
使得它的磁矩的方向呢
跟螺旋管的磁场的方向是一致的
大家根据我们刚才的公式来判断一下
通上电以后
这个线圈是被螺旋管吸引呢
还是排斥
好 大家可能都有自己的结论了
我们来看一下实验
好 是吸引了
现在呢 我把这个
小线圈里面的电流方向相反
那么 相反以后呢
大家知道它的磁矩的方向
是应该反过来了
它应该向这个方向
那么现在我们看到的情况
又是如何呢
来看一下
好 你看呢还是比较明显的啊
一个排斥力的作用
这个呢正好验证了我们
刚才的课堂上的结论
应用刚才这个原理呢
我们可以有个重要的应用
所谓在磁力显微镜的应用
作为磁力显微镜呢
无非就是说在普通的
原子显微镜的针尖上啊
镀上磁性的金属
使它有一个磁矩
那么这个磁矩呢
在一个磁场里面啊
它会运动
就会感受到磁场的梯度
根据我们刚才的表达式
有了一个磁矩
在一个磁场里面
一个磁场的梯度里面呢
它会受到一个力 力的作用
那么这个针
受到力的作用以后呢
这个臂啊就进行弯曲
那么通过一束光
可以探测这个弯曲
从而呢知道这个弯曲的情况啊
就知道这儿呢
它的针尖啊受力的情况
从而就知道这个样品表面
这个针尖所在的地方呢
样品的磁场的梯度
从而呢可以探测出来呢
磁场的分布
这儿举一个例子
这儿呢是普通的一个录像带
这是个普通的录像带
这个是原子的显微镜看到的形貌
什么特征都没有 对吧
但是呢如果用磁力显微镜的话
你可以看到一个一个有规则的畴
这些畴呢都是互相平行的
而且呢这个区域和这个区呢
这个畴呢有一个夹角
这个呢用磁力显微镜
看到的一个录像带的一个磁畴图
好 今天的课就讲到这儿
谢谢大家
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--库仑定律
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--电场和电场强度
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--环路定理
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--导体静电平衡
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-WEEK15--放射性和衰变规律
-结合能、核力
--核的结合能
--核力
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--基本粒子
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