当前课程知识点:大学物理2 (电磁学、光学和量子物理) > WEEK1 > 电场及叠加原理,电偶极子 > 点电荷电场及叠加原理(续1)
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同学好
这节我们接着讲
点电荷电场及叠加原理
我们讨论
电荷连续分布的带电线这个问题
假设有这么一小段带电线
它的线电荷密度用λ来表示
也就是单位长度上的电荷量
那么我们考察某一点的场强
怎么考察呢
我们把这个线段分成无数个
小的很小的带电线段
比如说某个线段是dl这么长的
它这个长度呢是非常短
所以在远处看来
它就是一个点电荷
那么它在这一点产生的场强
我们可以利用点电荷的场强公式
把它计算出来
这里边λ乘上dl呢
就是这一个小线元带的电荷
那么根据场强叠加原理
这一整段线段
在这一点上产生的场强呢
应该是每一个小线元
在这一点场强的叠加
因为这个小线元呢
是一个接一个连续的
所以它的叠加就可以用一个
积分式子来表示
这个积分呢
是沿着这个线段求和的意思
这是线积分
下面呢我们来看一个例子
有一个均匀带电的圆环
这是一个圆环
我们考察这个圆环
轴线上的某一点它的场强
为了考查这一点的场强呢
我们就要在这个圆环上
取一个小的线元
把这个线元当作一个点电荷来处理
因为它很小
这个线元上带的电荷
我们可以容易计算出来
它是线电荷密度乘上这个线元的长度
那么它在这个轴线上产生的电场呢
当然是可以利用点电荷的场强公式
来计算出来
那么整个这个圆环
在这点上产生的场强呢
就应该是每一个小线元产生的
电场的叠加
在计算它们叠加之前呢
我们可以利用对称性分析
来分析一下这个电场
对于这个线元产生的电场
和它对应的有一个对称位置上
你也可以找到一个线元
它产生的场强是沿着这个方向的
根据对称性
在垂直于这个z轴的方向上的分量
这两个大小相等
方向相反
是互相抵消的
所以这两个线元产生的场强呢
只有沿着z方向的分量
如果我们把这个圆环上
所有线元
在这点产生的场强叠加的话
叠加的过程当中
我们都是两两相加
就是两个对称的两个线元的贡献一起加
那个时候呢
垂直于这个z轴的分量
就都抵消掉了
我们也可以利用对称性简单的分析
在轴线上的场强
一定只有沿着z轴的分量
没有垂直于z轴的分量
为什么呢
因为这个带电荷的系统
它是轴对称的
所以如果你绕着这个对称轴
旋转这个系统的话
这个系统应该没有什么变化
可是假如你有
垂直于这个方向的电场的话
你绕着这个对称轴旋转的过程中
这个垂直的分量会发生变化
那这就跟这个系统对这个对称轴
旋转对称性矛盾了
所以不能有垂直于这个方向的分量
所以圆环产生的电场
只有z轴的分量
现在我们叠加的时候呢
只要简单把沿着z轴的分量
叠加起来就行了
那么沿着z轴方向的分量呢
你简单可以把刚才计算出来
每一个线元产生的场强
乘上一个cosθ
就是这个θ 就是z轴的分量了
叠加实际上就是
对每一个线元的贡献求和
就是求这个积分
求这个积分的时候我们要注意
因为这个电荷是在圆环上
是均匀分布的 所以λ是一个常量
另外4πε_0这当然也是常量
这里边这个r呢
是表示圆环上某一点
距离这个场点的距离
这个距离呢
对于圆环上任何一点
都是一样的
因为这是在一个对称轴上的一点
所以r也是在这个积分过程中不变的
COSθ呢
COSθ是等于r分之z
那么它距离这个圆环的
z轴的坐标是给定的
r也是给定的 所以这个也是一个常量
所以这个积分
只需要简单对dl积分就行了
dl积分结果是什么呢
就是这个圆环的长度
这个圆环的长度等于多少呢
它是等于2πR
把这个2πR乘上λ
其实就是这个圆环所带的电荷量大Q
那么还考虑到
这里边这个r平方
是等于R平方加上z平方
把这些结果带入到这个式子里边
整理一下我们就得到了
这个圆环在这个轴线上
产生的场强的大小
它的方向当然是沿着z轴
这个结果对不对呢
我们经常这样做
把这个结果推广到某一个极限的情况
我们所熟悉的情况
看它对不对
比如说 当这里边的z
也就是场点的位置
离这个圆环距离很远
远远大于
这个圆环的半径的时候呢
这个圆环在远处看起来
就是一个点电荷
点电荷这个公式呢
我们是知道的
我们看 当z远远大于R的时候
是不是可以得到点电荷的公式
那么我们很容易可以做
z大于大于R的时候
我们就可以得到这么一个式子
这个式子正是点电荷的场强公式
看来我们这个公式
没有什么太大问题
好 这节内容就讲到这儿
谢谢
-电荷和库仑定律
--引言
--电荷
--库仑定律
-WEEK1--电荷和库仑定律
-电场及叠加原理,电偶极子
--电场和电场强度
-WEEK1--电场及叠加原理,电偶极子
-高斯定律
--电通量
--立体角*
--高斯定律的证明*
--高斯定律和电场线
--高斯定律的应用
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-静电场环路定理、电势和叠加原理
--环路定理
--电势和叠加原理
--电势梯度
--等势面
-WEEK2--静电场环路定理、电势和叠加原理
-静电能
--电荷系静电能
-WEEK2--静电能
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--物质中电场
--导体静电平衡
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--导体壳与静电屏蔽
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-电容及电容器
--电容及电容器
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-电介质
--介质对电场的影响
-WEEK3--电介质
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--极化强度
--极化电荷
-WEEK3--极化强度矢量,极化电荷
-WEEK3--本周作业
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--电介质的极化规律
-WEEK4--极化规律、电位移矢量
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--电流密度
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--欧姆定律(续)
-WEEK4--电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律
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--电流磁效应
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-毕-萨-拉定律、磁场叠加原理和磁场高斯定理
--毕-萨-拉定律
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