当前课程知识点:大学物理2 (电磁学、光学和量子物理) > WEEK1 > 电场及叠加原理,电偶极子 > 点电荷电场及叠加原理(续3)
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同学好
这节我们接着讲
点电荷电场及叠加原理
讨论电荷连续分布的带电体情况
假设有一个带电体
它的体电荷密度是ρ
也就是单位体积里面带的电荷是ρ
那么这块电荷
在某一点的电场怎么计算呢
我们选一个小体积元
这个小体积元在远处看来
当然可以把它当做点电荷
这个小体积元所带的电荷
在某一点的场强
可以用点电荷的场强公式
把它写出来
这里边ρ乘上dV
就是这个小体积元所带的电量
根据场强叠加原理
我们只要把这个体积里边
每一个小体积元电荷
对这一点场强贡献叠加起来
就是整个带电体
在这一点产生的场强
叠加实际上是一个体积分
这个体积分也就是叠加的意思
我们看一个下面一个例子
假设这是一个均匀带电的圆柱
带孔的圆柱
它的体电荷密度是ρ
内半径是R1 外半径是如R2
它的厚度
就是这个圆柱体的高度是L
我们考察
在这个圆柱轴线上某一点的场强
当然在这一点上的场强
可以分成是沿着z轴的分量和
垂直于z轴的分量
两部分
那么根据对称性很容易判断
垂直于z轴的分量它是等于0的
所以这个带电柱体在轴线上
某一点产生的场强呢
它只有z轴的分量
这个对称性分析我们不再重复做了
我们前一节里边做过的
为了计算这一点的场强
还是老办法
我们把这个柱体
这是刚才这个圆柱体
从侧面看的情况
这里面选择一个小的体积元
这个体积元位置
它是这样
它距离轴线的距离是r⊥
如果我们假设
这个柱体的这个侧面
所在的位置是z=0这一点的话
那么它所在的z坐标
用z'来代表
场点的位置当然是z
现在这个小体积元
在这一点产生的场强呢
可以利用点电荷的场强公式来估算
由于在轴线上
不存在垂直于z轴的分量
所以我们只计算沿着z轴的分量
那么这个时候小体积元
在这一点产生的沿着z轴的分量呢
就是这个式子
前面这部分是点电荷场强的公式
cosθ就是沿着z轴的这个投影
考虑到这里边cosθ是等于
r分之这个长度
这个长度是z减去z'
这里边r利用直角三角形
勾股定理可以估算出来
把这个结果代到这里边
我们就得到了这么一个式子
这里边体积元的体积dV
我们怎么计算呢
在柱坐标这个体系里边
因为这个小体积元的位置是用
柱坐标来表示的
就是它离轴线的距离
以及它的方位角
以及它的z坐标
那么这个时候呢
这个小体积元的体积
是可以用
这样一个式子来表示出来的
在柱坐标体系里边
把这个结果代入到刚才那个式子里边
我们就得到了小体积元
在轴线上某一点
沿着z轴分量的场强
那么根据场强叠加原理
我们可以把每一个小体积元
产生的场强都给叠加起来
这就是一个求体积分
就是三重积分
这里边r是从R1变化到R2
那么这个z'它是从-L到0
而这个φ转一圈
所以它是从0到2π
这个积分并不难计算
耐心一点整理一下
我们就可以得到这个结果
这个公式对不对呢
我们就要做一个极限
假设L趋于0
就是这个圆柱的厚度趋于0
这个公式就应该回到
这个圆环面
在轴线上产生的场强的那个式子
那么我们来看一看
当L趋于0的时候
你简单化一化就得到这个式子
这里边ρ乘上L这个式子
其实就等于面电荷密度
为什么呢
简单解释一下
假设现在有一个小长方体
这个面积是单位面积
它的高度是L
所以它这个体积是L
那么它所带的电量等于多少呢
就应该是体积乘上电荷密度
也就是ρ乘上L
可是从这一侧看
如果你问
单位面积上带电量等于多少的话
那很显然这是单位面积啊
所以单位面积上带电量就是ρL
所以我们说ρL就等于面电荷密度
也就是说
体电荷密度乘上它的一个线度的话
就等于在线度方向上看起来
面电荷密度
好 这节内容就讲到这儿
谢谢
-电荷和库仑定律
--引言
--电荷
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-WEEK1--电荷和库仑定律
-电场及叠加原理,电偶极子
--电场和电场强度
-WEEK1--电场及叠加原理,电偶极子
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--高斯定律和电场线
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--环路定理
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--电荷系静电能
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--导体静电平衡
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--极化强度
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