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能量量子化

下一节:电子自旋与自旋轨道耦合

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能量量子化课程教案、知识点、字幕

同学们好

有了上一节课的准备之后

我们现在终于可以

正式地来求解

氢原子的定态薛定谔方程

也就是这个方程

那么这里边的哈密顿量呢

动能项 势能项就是库仑式

这样一个东西

因为是个中心力

所以要把它放在球坐标下求解是

最方便的

那动能里边这个拉普拉斯算符

我们要把它

在球坐标里写出来就长成这个样子

如果这个结果我们感兴趣的话

可以找数学手册

或者是找任意一本

数学物理方程的这个书籍

都可以看到这个东西的推导

我们这儿就不详细说了

那么我们看到这部分很熟悉

为什么熟悉呀

它跟角动量的这个样子是

几乎是一样的

它可以用角动量来替换

所以整个哈密顿量

就写成这个样子

这里边不再显含什么呀

除了这个地方之外

不再显含角度

那么怎么去求解它呢

分离变量法

我们把它要求解的波函数

分解成径向的部分一个大R

和角向的部分

这是标准的做法

但是因为考虑到这个地方

是角动量的平方

所以角向部分实际上

我们不需要再求了

它一定就是

上节课我们说的这个球谐函数

这是定下来的东西

我们真正需要求的就是大R

大R满足的方程是什么呢

把这个代进去之后把这个

角向的这块消掉

那么就得到了

大R满足的这么一个常微分方程

这个方程

也是非常复杂的一个方程

需要特殊函数的知识才能求解

这里边我们就不具体求它

下一步我们只是给出相应的结论

首先能量的本征值 这个样子

而且这个E1就等于什么呢

就等于负的13.6个电子伏特

和玻尔给出的

结果是完全一样的这个能级

这是多么惊人的巧合啊

玻尔是完全是

一个半经典

加上一个半量子的一个东西

组合到一起

凑出来的这样一个结果

现在我们通过严格求解

解出结果也是这样的

多么惊人的这个符合

简直是太巧妙了

那么这里边这个n

有名字 叫做主量子数

主量子数一般来说都是

标记这个能量或者能级的

在求解的过程中我们发现

除了对这个n有要求之外

对l也有要求

这个l它必须要满足

这么一个结果

也就是l一定是比n小的

它小于等于n-1

l的取值是有限制的

同时我们还看到

这个能级跟l没关

其实跟磁量子数也没有关系

而只是和这个n主量子数有关

同一个主量子数

不同的角量子数和磁量子数

那么对应的能量都相同

但是它对应的结果

这个波函数是不一样的

这种现象叫什么呢

叫做能级的简并

同一个能级

对应的各个不同的状态

叫做简并态

好了 下边我们来看一看

电子的概率分布是什么样的

那么波函数写出来之后

注意到这个大R已经求出来了

只是现在我没有写它的样子

把这个波函数模方一下

它代表了单位空间间隔内的

电子出现那的概率

也就是概率密度

那么我们在处理这个东西的时候呢

我们要求角向

也就是方位角的这个部分

这个积分它是归一化的

径向呢也是归一化的

注意到因为在球坐标底下

这个积分元是在r方乘以dr

和方位角dΩ

也就是sinθ dθdφ这么一个东西

那么这两部分分别归一化

具有一个好处处理

这样将来我可以分别讨论

两部分的问题

首先我们来看角向

角向的意思

是我把这个波函数里边

径向的部分把它积分积掉

这一积分等于1

不要它了

只看角向的部分

这个代表了什么呀

单位方位角间隔里边的概率

比如说Y00是个什么东西呀

是个常数

我们看过了 对吧

所以它的这个概率密度呢

就是1/4π

1/4π是个什么 是个常量

也就是在任意的单位的

方位角间隔里边

它都对应同样的一个概率

在这个上画出来呢

就是这么一个圆

那么Y10呢是这样一个形式

把它取个模方

画出来之后这个概率密度分布

随着方向的变化就是这样一个东西

这个在我们中学时代学化学的时候

那个电子云的方向我们有印象

那么另外两个方向

Y正负1的话

它是水平的这样一个东西

也像一个纺锤一样

那么波函数随着

空间方位角的这样的一个分布的变化

就导致了不同的这个化学键的出现

我们在学化学的时候知道有σ键

知道有π键

都是和这个有关系的

另外在径向方向

也就是沿着r方向

它的分布也是有实际意义的

这个时候我们只要把

角向部分的积分积掉

积分等于1就行了

剩下的就是一个

关于径向方向的一个概率分布

那么注意到单位半径间隔

里边的概率密度是谁呢

是波函数的模方

同时再乘以一个r方

这个计算一定注意

它表达了从r到r+dr

这个单位间隔里的

电子出现的概率

对于基态而言

把它画出来

这个概率密度分布就是这样的

我们看到

确实轨道的概念已经不存在了

因为电子可以

在整个这个范围里来回

任何一个地方都可能出现

但是这地方有个峰

也就是概率密度最大的一个地方

这个地方刚好是什么呢

非常巧

刚好等于r1

也就是那个0.53埃 玻尔半径

这又是一个惊人的巧合

这是为什么说

玻尔那个模型那么成功

虽然他的这个出发点未必是对的

再看激发态的时候

比如说n=2

n=2的时候

l呢就不是固定的了

l可以取零也可以取1

这个时候呢有两个分布

这个是l=1的

这个是l=2的 是蓝线

那我们看到什么呢

又看到了这样有意思一个事情

在l=1的时候它只有一个峰

并且这峰的位置刚好是r=4r1

也就是2的平方乘以r1

这个时候概率是最大的

又和玻尔的理论对得上

当然 这个l=0的这个部分

它就出现了两个峰

这两个峰的位置就

不再符合玻尔理论了

和那个没有任何对应关系

这是n=3的

n=3呢l可以等于0 1 2

那么同样的我们发现

l=2的时候

也就是这个黑线它也只有一个峰

并且这个峰的位置

刚好又是9倍的r1

非常的巧

那当然对于l=1和0的时候呢

就都不对了

那么我们要注意到

l越小就意味着角动量越小

角动量越小就意味着什么呢

电子越有可能

掉落到原子核里边

换句话说电子在里边出现的概率越大

那么这个图

确实也反映了这样一个事实

你看l=0的时候

在这儿有个峰 在这儿有个峰

也就是电子可以比较深入的进入到

原子的里边

而l=2的时候

在里边基本是没有了

直接就跑到外边来了

这就是角动量

对这个电子分布的影响

所以一般的情况

l等于n-1的时候

那么它也是都是有一个峰

并且这个峰的位置

就是正好在n方乘以r1的位置上

这是可以

给出一个一般的证明的

咱们在这儿就不再多说了

最后呢我们总结一下这个量子数

首先主量子数n等于正整数

它决定了氢原子的能级

角量子数呢是l

它只能取从0到n-1这样的数

它决定了什么呀

决定了角动量的大小

最后是磁量子数

它只能从负的l一直取到正的l

它决定了

角动量在Z轴上投影的这个大小

好 这节我们就讲到这儿

同学们再见

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WEEK1

-电荷和库仑定律

--引言

--电荷

--库仑定律

-WEEK1--电荷和库仑定律

-电场及叠加原理,电偶极子

--电场和电场强度

--点电荷电场及叠加原理

--点电荷电场及叠加原理(续1)

--点电荷电场及叠加原理(续2)

--点电荷电场及叠加原理(续3)

-WEEK1--电场及叠加原理,电偶极子

-高斯定律

--电通量

--立体角*

--高斯定律的证明*

--高斯定律和电场线

--高斯定律的应用

--高斯定律的应用(续)

-WEEK1--高斯定律

-WEEK1--本周作业

-week1课件

WEEK2

-静电场环路定理、电势和叠加原理

--环路定理

--电势和叠加原理

--电势和叠加原理(续)

--电势梯度

--等势面

-WEEK2--静电场环路定理、电势和叠加原理

-静电能

--电荷系静电能

--电荷系静电能(续1)

--电荷系静电能(续2)

-WEEK2--静电能

-导体静电平衡

--物质中电场

--导体静电平衡

--导体静电平衡条件(续1)

--导体静电平衡条件(续2)

-WEEK2--导体静电平衡

-WEEK2--本周作业

-week2课件

WEEK3

-导体周围电场

--有导体时静电场的计算

--有导体时静电场的计算(续)

-WEEK3--导体周围电场

-静电屏蔽

--导体壳与静电屏蔽

-WEEK3--静电屏蔽

-电容及电容器

--电容及电容器

--电容及电容器(续)

-WEEK3--电容及电容器

-电介质

--介质对电场的影响

-WEEK3--电介质

-极化强度矢量,极化电荷

--极化强度

--极化电荷

-WEEK3--极化强度矢量,极化电荷

-WEEK3--本周作业

-week3课件

WEEK4

-极化规律、电位移矢量

--电介质的极化规律

--电介质的极化规律(续)

--电位移矢量及其应用

--电位移矢量及其应用(续)

-WEEK4--极化规律、电位移矢量

-有介质时静电场能量

--有介质时静电场能量

-WEEK4--有介质时静电场能量

-电流密度、稳恒电流和稳恒电场

--电流密度

--稳恒电流和稳恒电场

-WEEK4--电流密度、稳恒电流和稳恒电场

-电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律

--电动势

--欧姆定律

--欧姆定律(续)

-WEEK4--电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律

-电流微观图像和暂态过程

--电流微观图像

--电容器的充放电(暂态过程)*

-WEEK4--电流微观图像和暂态过程

-本周作业

--week4--本周作业

-week4课件

WEEK5

-洛仑兹力、磁感应强度

--电流磁效应

--磁场和磁感应强度

-WEEK5--洛仑兹力、磁感应强度

-毕-萨-拉定律、磁场叠加原理和磁场高斯定理

--毕-萨-拉定律

--毕-萨-拉定律(续)

--磁场高斯定律

-WEEK5--毕-萨-拉定律、磁场叠加原理和磁场高斯定理

-静磁场环路定理

--安培环路定理及其应用

--安培环路定理及其应用(续1)

--安培环路定理及其应用(续2)

-WEEK5--静磁场环路定理

-安培力和霍尔效应

--带电粒子在磁场中的运动

--霍尔效应

--安培力

-WEEK5--安培力和霍尔效应

-WEEK5--本周作业

-week5课件

WEEK6

-载流线圈在均匀磁场中受的磁力矩、磁矩

--载流线圈在均匀磁场中受的磁力矩

-WEEK6--载流线圈在均匀磁场中受的磁力矩、磁矩

-磁介质对磁场的影响和原子磁矩

--磁场中的磁介质

--原子的磁矩

-WEEK6--磁介质对磁场的影响和原子磁矩

-磁化强度矢量、磁化电流和磁场强度H及其环路定理

--磁介质的磁化

--磁化电流

--有磁介质时磁化的规律

-WEEK6--磁化强度矢量、磁化电流和磁场强度H及其环路定理

-WEEK6--本周作业

-week6课件

WEEK7

-铁磁介质和简单磁路

--磁场的界面关系

--铁磁性材料

-WEEK7--铁磁介质和简单磁路

-法拉第电磁感应定律

--法拉第电磁感应定律

--电磁感应定律和磁通连续定理的普适性

-WEEK7--法拉第电磁感应定律

-动生电动势和感生电动势、感生电场和涡流

--动生电动势

--感生电动势和感生电场

--涡电流

-WEEK7--动生电动势和感生电动势、感生电场和涡流

-自感和互感

--自感

--互感

-WEEK7--自感和互感

-WEEK7--本周作业

-week7课件

WEEK8

-暂态过程和磁场能量

--RL电路的暂态过程

--磁场的能量

-磁场和电场的相对性

--电场和磁场的相对性

-位移电流和麦克斯韦方程组

--麦克斯韦方程组和电磁波

--麦克斯韦方程组

-WEEK8--位移电流和麦克斯韦方程组

-电磁波、坡因廷矢量和光压

--电磁波

--坡印廷矢量

--电磁波的动量

--光压——辐射压强

-本周作业

--week8--本周作业

-week8课件

WEEK9

-波动光学—引言

--波动光学——引言

-WEEK9--波动光学—引言

-杨氏双缝干涉、相干光

--光的干涉

--双缝干涉

-WEEK9--杨氏双缝干涉、相干光

-光源及发光性质

--光源的发光特性

--时间相干性

--空间相干性

-WEEK9--光源及发光性质

-光程、等倾和等厚干涉

--光程

--薄膜干涉(一)

--薄膜干涉(二)

-WEEK9--光程、等倾和等厚干涉

-迈克耳逊干涉仪

--迈克耳逊干涉仪

-WEEK9--本周作业

-week9课件

WEEK10

-衍射现象、单缝夫琅禾费衍射

--惠更斯原理

--单缝夫琅禾费衍射

--单缝夫琅禾费衍射(续)

-WEEK10--衍射现象、单缝夫琅禾费衍射

-光栅衍射

--光栅衍射

--光栅衍射(续)

-WEEK10--光栅衍射

-光学仪器分辨本领

--光学仪器的分辨本领

--光学仪器的分辨本领(续)

-WEEK10--光学仪器分辨本领

-X射线晶体衍射

--X射线的衍射

-WEEK10--X射线晶体衍射

-WEEK10--本周作业

-week10课件

WEEK11

-光的偏振状态和偏振片

--光的偏振状态

--光的偏振状态(续)

--起偏和检偏

-WEEK11--光的偏振状态和偏振片

-反射和折射光偏振

--反射和折射及散射光的偏振

-WEEK11--反射和折射光偏振

-晶体双折射、波片

--双折射

--双折射(续)

--波片

-WEEK11--晶体双折射、波片

-偏振光干涉、人工双折射和旋光

--偏振光的干涉

--人工双折射

--旋光现象

-WEEK11--偏振光干涉、人工双折射和旋光

-量子物理诞生和黑体辐射

--量子物理

--黑体辐射

-WEEK11--量子物理诞生和黑体辐射

-WEEK11--本周作业

-week11课件

WEEK12

-光电效应、光子和康普顿效应

--光电效应

--光子

--光子(续)

--光子(续2)

--康普顿效应

-WEEK12--光电效应、光子和康普顿效应

-物质波、波函数和概率密度

--物质波

--波函数

--波函数(续)

-WEEK12--物质波、波函数和概率密度

-不确定性关系

--不确定关系

-WEEK12--不确定性关系

-薛定谔方程

--薛定谔方程

-WEEK12--薛定谔方程

-一维无限深势阱

--一维无限深势阱

-WEEK12--一维无限深势阱

-WEEK12--本周作业

-week12课件

WEEK13

-一维问题

--一维谐振子

--势垒穿透

--扫描隧道显微镜

-WEEK13--一维问题

-氢原子能级和角动量

--原子中的电子

--玻尔理论发展的基础

--氢原子的量子力学处理

--能量量子化

-WEEK13--氢原子能级和角动量

-电子自旋、费米子和泡利不相容原理

--电子自旋与自旋轨道耦合

--碱金属原子光谱的双线

--微观粒子的不可分辨性

--各种原子核外电子排布

-WEEK13--电子自旋、费米子和泡利不相容原理

-WEEK13--本周作业

-week13

WEEK14

-X射线、激光、分子光谱简介

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--Video

--分子光谱简介

--激光

--光学谐振腔

-WEEK14--X射线、激光、分子光谱简介

-固体电子气模型和量子统计

--固体

--自由电子气体模型

--量子统计

-WEEK14--固体电子气模型和量子统计

-能带模型

--能带

-能带模型--作业

-本周作业

--WEEK14--本周作业

-week14

WEEK15

-半导体和PN结

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-WEEK15--半导体和PN结

-原子核性质、核磁共振

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--Video

-WEEK15--原子核性质、核磁共振

-放射性和衰变规律

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--α衰变

--穆斯堡尔效应

--β衰变

-WEEK15--放射性和衰变规律

-结合能、核力

--核的结合能

--核力

-WEEK15--结合能、核力

-粒子物理简介

--基本粒子

-WEEK15--粒子物理简介

-本周作业

--WEEK15--本周作业

-week15课件

期末考试

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-期末考试--期末考试Part3

能量量子化笔记与讨论

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