当前课程知识点:大学物理2 (电磁学、光学和量子物理) > WEEK13 > 氢原子能级和角动量 > 能量量子化
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同学们好
有了上一节课的准备之后
我们现在终于可以
正式地来求解
氢原子的定态薛定谔方程
也就是这个方程
那么这里边的哈密顿量呢
动能项 势能项就是库仑式
这样一个东西
因为是个中心力
所以要把它放在球坐标下求解是
最方便的
那动能里边这个拉普拉斯算符
我们要把它
在球坐标里写出来就长成这个样子
如果这个结果我们感兴趣的话
可以找数学手册
或者是找任意一本
数学物理方程的这个书籍
都可以看到这个东西的推导
我们这儿就不详细说了
那么我们看到这部分很熟悉
为什么熟悉呀
它跟角动量的这个样子是
几乎是一样的
它可以用角动量来替换
所以整个哈密顿量
就写成这个样子
这里边不再显含什么呀
除了这个地方之外
不再显含角度
那么怎么去求解它呢
分离变量法
我们把它要求解的波函数
分解成径向的部分一个大R
和角向的部分
这是标准的做法
但是因为考虑到这个地方
是角动量的平方
所以角向部分实际上
我们不需要再求了
它一定就是
上节课我们说的这个球谐函数
这是定下来的东西
我们真正需要求的就是大R
大R满足的方程是什么呢
把这个代进去之后把这个
角向的这块消掉
那么就得到了
大R满足的这么一个常微分方程
这个方程
也是非常复杂的一个方程
需要特殊函数的知识才能求解
这里边我们就不具体求它
下一步我们只是给出相应的结论
首先能量的本征值 这个样子
而且这个E1就等于什么呢
就等于负的13.6个电子伏特
和玻尔给出的
结果是完全一样的这个能级
这是多么惊人的巧合啊
玻尔是完全是
一个半经典
加上一个半量子的一个东西
组合到一起
凑出来的这样一个结果
现在我们通过严格求解
解出结果也是这样的
多么惊人的这个符合
简直是太巧妙了
那么这里边这个n
有名字 叫做主量子数
主量子数一般来说都是
标记这个能量或者能级的
在求解的过程中我们发现
除了对这个n有要求之外
对l也有要求
这个l它必须要满足
这么一个结果
也就是l一定是比n小的
它小于等于n-1
l的取值是有限制的
同时我们还看到
这个能级跟l没关
其实跟磁量子数也没有关系
而只是和这个n主量子数有关
同一个主量子数
不同的角量子数和磁量子数
那么对应的能量都相同
但是它对应的结果
这个波函数是不一样的
这种现象叫什么呢
叫做能级的简并
同一个能级
对应的各个不同的状态
叫做简并态
好了 下边我们来看一看
电子的概率分布是什么样的
那么波函数写出来之后
注意到这个大R已经求出来了
只是现在我没有写它的样子
把这个波函数模方一下
它代表了单位空间间隔内的
电子出现那的概率
也就是概率密度
那么我们在处理这个东西的时候呢
我们要求角向
也就是方位角的这个部分
这个积分它是归一化的
径向呢也是归一化的
注意到因为在球坐标底下
这个积分元是在r方乘以dr
和方位角dΩ
也就是sinθ dθdφ这么一个东西
那么这两部分分别归一化
具有一个好处处理
这样将来我可以分别讨论
两部分的问题
首先我们来看角向
角向的意思
是我把这个波函数里边
径向的部分把它积分积掉
这一积分等于1
不要它了
只看角向的部分
这个代表了什么呀
单位方位角间隔里边的概率
比如说Y00是个什么东西呀
是个常数
我们看过了 对吧
所以它的这个概率密度呢
就是1/4π
1/4π是个什么 是个常量
也就是在任意的单位的
方位角间隔里边
它都对应同样的一个概率
在这个上画出来呢
就是这么一个圆
那么Y10呢是这样一个形式
把它取个模方
画出来之后这个概率密度分布
随着方向的变化就是这样一个东西
这个在我们中学时代学化学的时候
那个电子云的方向我们有印象
那么另外两个方向
Y正负1的话
它是水平的这样一个东西
也像一个纺锤一样
那么波函数随着
空间方位角的这样的一个分布的变化
就导致了不同的这个化学键的出现
我们在学化学的时候知道有σ键
知道有π键
都是和这个有关系的
另外在径向方向
也就是沿着r方向
它的分布也是有实际意义的
这个时候我们只要把
角向部分的积分积掉
积分等于1就行了
剩下的就是一个
关于径向方向的一个概率分布
那么注意到单位半径间隔
里边的概率密度是谁呢
是波函数的模方
同时再乘以一个r方
这个计算一定注意
它表达了从r到r+dr
这个单位间隔里的
电子出现的概率
对于基态而言
把它画出来
这个概率密度分布就是这样的
我们看到
确实轨道的概念已经不存在了
因为电子可以
在整个这个范围里来回
任何一个地方都可能出现
但是这地方有个峰
也就是概率密度最大的一个地方
这个地方刚好是什么呢
非常巧
刚好等于r1
也就是那个0.53埃 玻尔半径
这又是一个惊人的巧合
这是为什么说
玻尔那个模型那么成功
虽然他的这个出发点未必是对的
再看激发态的时候
比如说n=2
n=2的时候
l呢就不是固定的了
l可以取零也可以取1
这个时候呢有两个分布
这个是l=1的
这个是l=2的 是蓝线
那我们看到什么呢
又看到了这样有意思一个事情
在l=1的时候它只有一个峰
并且这峰的位置刚好是r=4r1
也就是2的平方乘以r1
这个时候概率是最大的
又和玻尔的理论对得上
当然 这个l=0的这个部分
它就出现了两个峰
这两个峰的位置就
不再符合玻尔理论了
和那个没有任何对应关系
这是n=3的
n=3呢l可以等于0 1 2
那么同样的我们发现
l=2的时候
也就是这个黑线它也只有一个峰
并且这个峰的位置
刚好又是9倍的r1
非常的巧
那当然对于l=1和0的时候呢
就都不对了
那么我们要注意到
l越小就意味着角动量越小
角动量越小就意味着什么呢
电子越有可能
掉落到原子核里边
换句话说电子在里边出现的概率越大
那么这个图
确实也反映了这样一个事实
你看l=0的时候
在这儿有个峰 在这儿有个峰
也就是电子可以比较深入的进入到
原子的里边
而l=2的时候
在里边基本是没有了
直接就跑到外边来了
这就是角动量
对这个电子分布的影响
所以一般的情况
l等于n-1的时候
那么它也是都是有一个峰
并且这个峰的位置
就是正好在n方乘以r1的位置上
这是可以
给出一个一般的证明的
咱们在这儿就不再多说了
最后呢我们总结一下这个量子数
首先主量子数n等于正整数
它决定了氢原子的能级
角量子数呢是l
它只能取从0到n-1这样的数
它决定了什么呀
决定了角动量的大小
最后是磁量子数
它只能从负的l一直取到正的l
它决定了
角动量在Z轴上投影的这个大小
好 这节我们就讲到这儿
同学们再见
-电荷和库仑定律
--引言
--电荷
--库仑定律
-WEEK1--电荷和库仑定律
-电场及叠加原理,电偶极子
--电场和电场强度
-WEEK1--电场及叠加原理,电偶极子
-高斯定律
--电通量
--立体角*
--高斯定律的证明*
--高斯定律和电场线
--高斯定律的应用
-WEEK1--高斯定律
-WEEK1--本周作业
-静电场环路定理、电势和叠加原理
--环路定理
--电势和叠加原理
--电势梯度
--等势面
-WEEK2--静电场环路定理、电势和叠加原理
-静电能
--电荷系静电能
-WEEK2--静电能
-导体静电平衡
--物质中电场
--导体静电平衡
-WEEK2--导体静电平衡
-WEEK2--本周作业
-导体周围电场
-WEEK3--导体周围电场
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--导体壳与静电屏蔽
-WEEK3--静电屏蔽
-电容及电容器
--电容及电容器
-WEEK3--电容及电容器
-电介质
--介质对电场的影响
-WEEK3--电介质
-极化强度矢量,极化电荷
--极化强度
--极化电荷
-WEEK3--极化强度矢量,极化电荷
-WEEK3--本周作业
-极化规律、电位移矢量
--电介质的极化规律
-WEEK4--极化规律、电位移矢量
-有介质时静电场能量
-WEEK4--有介质时静电场能量
-电流密度、稳恒电流和稳恒电场
--电流密度
-WEEK4--电流密度、稳恒电流和稳恒电场
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--电动势
--欧姆定律
--欧姆定律(续)
-WEEK4--电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律
-电流微观图像和暂态过程
--电流微观图像
-WEEK4--电流微观图像和暂态过程
-本周作业
--week4--本周作业
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--电流磁效应
--磁场和磁感应强度
-WEEK5--洛仑兹力、磁感应强度
-毕-萨-拉定律、磁场叠加原理和磁场高斯定理
--毕-萨-拉定律
--磁场高斯定律
-WEEK5--毕-萨-拉定律、磁场叠加原理和磁场高斯定理
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-WEEK5--静磁场环路定理
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--霍尔效应
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-WEEK6--载流线圈在均匀磁场中受的磁力矩、磁矩
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--磁介质的磁化
--磁化电流
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-WEEK7--法拉第电磁感应定律
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