当前课程知识点：大学物理2 (电磁学、光学和量子物理) > WEEK4 > 电流微观图像和暂态过程 > 电容器的充放电（暂态过程）*
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同学好
这节我们讲电容器的充放电
这是一个典型的一个电路
我们用长度 l 来代表电路的这个大小
因为这个电路里边有电容器
所以充放电过程当中
电流是随时间变化的
那么过去我们讲稳恒电流的情况
我们可以利用
基尔霍夫第一定律 第二定律
那么这个时候电流是随时间变化的
那么原来的
基尔霍夫第一定律 第二定律
还可以在这里边应用吗
那我们说假如似稳电路近似成立的话
那么基尔霍夫第一定律和第二定律
仍然是适用的
那么这里边所说的似稳电路近似呢
就是说是这个特征时间τ
远大于l/c这么一个量
那么我简单解释一下
这里面这个特征时间τ
就表示这个电路里边
电流也好 电压也好
它随时间有明显变化
所需要的那个时间 大致是这样
那么这里边l/c
l是这个电路的尺度
c是光速
电流假如说随时间变化的话
那么在靠近电源的附近
电流有一个值
那么它传到电路的另一端的时候
它需要花费时间
这个时间 假设
这个电路的路程是l'的话
那么l'除以c
就是电流从这传到这花的时间
那现在l'/c这个量级
和l/c这个量级是一样的
那么现在我们说
这个特征时间远远大于
l'/c 或者是l/c
这表示呢
就是你这个
电流从这传过来的这个时间呢
非常非常小
在这么小的时间间隔里边
电流也好 电压也好
它没有什么明显的改变
也就是说这个条件意味着
这个电路各处的电流
在同一个时间内它都是一样的
所以在这一点上呢
它和稳恒电流的情况是类似
对于给定的时刻
和稳恒电流的情况是一样的
所以我们说在这种似稳电路的近似下
原来的基尔霍夫第一定律也好
第二定律也好
你都可以应用
举个例子比如说交流电
交流电里边似稳近似是什么呢
它的条件是这个
那么这里边这个f
是交流电变化的一个频率
它的分之一当然是周期
所以这个式子如果你重写的话
它应该是周期大于大于l/c
那么这里边这个周期呢
其实就是交流电电路的特征时间
那么和这个式子比较一下你就知道
其实这个就是交流电的似稳电路条件
它满足的话 交流电里边
基尔霍夫第一定律也好 第二定律也好
你都可以应用
有一点在电容这个地方
由于电容那个地方电路是断开的
那么这里边呢
还有电荷积累和释放这个情况发生
所以说呢在那个地方
基尔霍夫第一定律是不能用的
那么其它地方呢
第一定律 第二定律都可以用
下面我们举一个例子
假如说现在有这么一个电路
这是电源 这是电容
串联上了一个电阻
现在当我这个开关
打到A这个开关的时候
刚好和电源连在一起
那么这个电容就开始充电了
过了很长时间以后呢
这个电容充电饱和
电容上的电压和电源的电动势
就达到一样了
过一会儿假如说
我想把这个电容器里的电放掉
我就可以把这个开关接到B上
接到B上以后呢
这边又变成了一个闭合回路
只不过和原来相比
这个回路里边没有电源
那么对两个电路我分别应用
基尔霍夫第二定律的话
那么当这个开关打到A上的时候呢
这个回路里边
这个基尔霍夫第二定律
是给出这个方程
因为你这么转的话
电源这个地方
你是积分是从负极到正极
所以前面要有一个负号
那么在这个地方呢
你假设电流的方向
和回路的方向是一致的
所以这是正号
当你这个开关打到B上的时候呢
在这个回路和这个回路
其它都是一样就是电源没有
所以说你在这里把电源那项去掉的话
这是开关打到B的时候的
基尔霍夫第二定律给出来的一个方程
考虑到这个电流
实际上是电容器上的电荷
随时间的变化率
我们把这个式子可以写成
关于电荷的一阶常微分方程
那么这个是非齐次方程这是齐次方程
那么我对这个方程做一个简单的变换
这个非齐次方程就变成了齐次方程
两个形式是完全一样的
这里边这个RC
就是电阻和电容的乘积
它具有时间量纲
所以在这个电路里边
它实际上就是一个特征时间
那么这个齐次1阶常微分方程怎么解呢
其实这个方程的通解我们都知道
其实它是指数形式的解
那么这里边这个A是代表任意常数
它是要通过初始条件来定的
t等于0的时刻
当开关打到A的这一瞬间
电容上是没有电量的
所以这时候电量是等于0
那么和我们刚才
变换的那个q'那个量相比较
因为q'是跟q有这样的关系
所以q=0的时候
q'在等于t=0时应该就是等于这个式子
把这个代到这里边
你很快可以确定这个A其实就是负的Cε
然后利用这个式子
你就很快可以把t时刻的q的解写出来
那么对于刚才那个齐次方程
也就是K打到B这个时候的这个情况
那当然这个t=0的时刻
因为这个电容器这个时候
电量已经满了是吧
所以当时它的电压
已经是和电源的电压是一样的
所以说这个时候它带的电量
就等于电容乘上它上面的电压
也就是电源这个电动势
那把这个式子代入到这里边
注意齐次方程的解的形式就是这样
只不过这里边的q'
不是q'了是q了
然后你利用这个条件
我们很容易解出来
这个q是这样一个形式
那么把这两个形式
我们也可以把它画到图上
那第一个充电的时候
q随时间变化是这个式子
所以要是把这个图
按时间画出来的话它是这样
那么随着时间的增加
它逐渐怎么样呢
趋于一个稳定的值
为什么呢因为时间趋于无限大的时候
这一项是趋于0的
所以它就变成了Cε这个值
那么达到这个稳定以后呢
现在我要把这个电容器放电了
放电的时候呢
这个时候
电量和时间的关系是这个式子
那么这个很显然它是指数衰减的
就是这样按指数衰减
考虑到电流实际上是
电容上面的电荷随时间的变化率
那么你对这个也好 对这个也好
求时间变化率的话它是同一个式子
也就是说充电也好 放电也好
它这个电流
随时间变化的规律是一样的
都是一开始有一个电流
它是等于ε/R
就是电阻分之电源电动势
然后这个电流逐渐的减少指数的减少
时间趋于无限大的时候
它就变成0了
也就是说充电达到饱和
或者放电放到把这个电荷放没了
就这样一个情况
好 这节内容就讲到这儿
谢谢
-电荷和库仑定律
--引言
--电荷
--库仑定律
-WEEK1--电荷和库仑定律
-电场及叠加原理，电偶极子
--电场和电场强度
-WEEK1--电场及叠加原理，电偶极子
-高斯定律
--电通量
--立体角*
--高斯定律的证明*
--高斯定律和电场线
--高斯定律的应用
-WEEK1--高斯定律
-WEEK1--本周作业
-静电场环路定理、电势和叠加原理
--环路定理
--电势和叠加原理
--电势梯度
--等势面
-WEEK2--静电场环路定理、电势和叠加原理
-静电能
--电荷系静电能
-WEEK2--静电能
-导体静电平衡
--物质中电场
--导体静电平衡
-WEEK2--导体静电平衡
-WEEK2--本周作业
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-WEEK3--导体周围电场
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--导体壳与静电屏蔽
-WEEK3--静电屏蔽
-电容及电容器
--电容及电容器
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--介质对电场的影响
-WEEK3--电介质
-极化强度矢量，极化电荷
--极化强度
--极化电荷
-WEEK3--极化强度矢量，极化电荷
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--电介质的极化规律
-WEEK4--极化规律、电位移矢量
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-WEEK4--有介质时静电场能量
-电流密度、稳恒电流和稳恒电场
--电流密度
-WEEK4--电流密度、稳恒电流和稳恒电场
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--电动势
--欧姆定律
--欧姆定律（续）
-WEEK4--电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律
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--电流微观图像
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-本周作业
--week4--本周作业
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--磁场和磁感应强度
-WEEK5--洛仑兹力、磁感应强度
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--毕-萨-拉定律
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