当前课程知识点:大学物理2 (电磁学、光学和量子物理) > WEEK5 > 安培力和霍尔效应 > 带电粒子在磁场中的运动
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同学们好
上一章我们介绍了磁场的概念
从这一章开始
我们介绍磁场
对物质的相互作用
我们这一章介绍
运动的带电粒子和载流线圈
在磁场里面受到的力 磁力
这一章分成四个小节
我们今天介绍第一小节
带电粒子在磁场中的运动
运动的带电粒子
在磁场里面
将会受到洛伦兹力的作用
洛伦兹力的表达式
可以写成这样的式子qv×B
在具体介绍带电粒子
在磁场中运动行为之前
我们要对洛仑兹力的公式
作三点说明
第一条说明
任何一个速度
都是相对于某一个参考系的
那么洛仑兹力公式里面的速度
是相对于哪个参考系的呢
它是相对于
观察者所在的参考系的
这是第一条
第二条
我们从这个式子里可以看出来
洛仑兹力
与粒子运动速度v是垂直的
这个说明洛仑兹力始终不做功的
第三条我要说
正是由于洛仑兹力
和带电粒子运动速度是垂直的
所以即使在相对论条件下
牛顿第二定律的形式是不变的
那么我们在相对论的一章里面
我们已经介绍过了
在相对论条件下
加速度与外力与速度
是这样一个关系
那么由于粒子运动速度
和洛仑兹力是互相垂直的
所以这部分就等于零
那么这个式子
就可以简单写成F=ma
这个式子
和牛顿第二定律的形式是一样的
只是这儿的m必须换成相对论的质量
m0除以根号1减v/c 的平方
c是光速
那么我们首先讨论
带电粒子在均匀磁场里面的行为
如果带电粒子的初速度
平行于磁场的话
这个情况比较简单
因为在平行于磁场的方向
是不受洛仑兹力的
带电粒子将会沿磁场方向
做匀速直线运动
那么第二个情况
如果初速度
与磁感应强度方向是垂直的
这种情况
那么这个时候
洛仑兹力和带电粒子的速度
都是在垂直于磁感应强度的平面内
由于洛仑兹力是不做功的
所以带电粒子运动的速率是不变的
所以在垂直于磁感应强度的平面内
带电粒子将会做匀速率的圆周运动
匀速率的圆周运动
洛仑兹力正好充当向心力
向心力等于mv平方除以R
那么根据这个式子
我们很容易得到
匀速率的圆周运动的半径R=mv/qB
运动一周的周期
等于圆周的周长2πR除以速率
化简下来以后等于2πm/qB
那么我们仔细看下这两个式子
这个半径等于mv/qB
mv是什么 是动量
它是正比于粒子的动量的
那么周期T=2πm/qB
在非相对论条件下
就发现与速率是没关系的
这两点在我们后面的讨论里
是非常有用的
那么我们第三种
也是这样一般的一种情况
初速度与磁感强度
既不完全平行 也不完全垂直
而是与磁感应强度有一个夹角
这样的一种情况
这个时候
我们可以把初速度进行分解
一个是平行于磁场方向
一个是垂直于磁场方向
平行于磁场方向当然等于vcosθ
而垂直于磁场方向vsinθ
这个时候由于洛仑兹力
沿着磁场方向是等于0的
所以沿着磁场方向
带电粒子将会做匀速直线运动
那么在垂直于磁场方向的平面内
那么带电粒子和刚才讨论的一样
将会做圆周运动
所以综合运动的结果
带电粒子将会沿着磁场方向
做一个螺旋运动
螺旋运动的半径
就是由它的带电粒子
在垂直于磁场方向的平面内的
速度分量决定
等于mv⊥/qB
而运动一周的周期
我们刚才已经讨论过了
与速率是没关系的
等于2πm/qB
它的螺距 所谓的螺距
就是在一个周期的时间范围内
它在沿着磁场方向运动的距离
就是螺距
螺距很显然
沿着磁场方向的速度分量
v∥乘以个周期
我们得到2πm除以qB乘以vcosθ
这个是螺距
好 刚才我们讨论的几种情况
我们谈一些应用
第一个应用就是磁聚焦的应用
这是一个匀强的磁场
从左向右的这样的一个匀强的磁场
在磁场里
A点是一个能够发射
带电粒子的一个源
如果A点发射的带电粒子
发散角和速率都相差不大的话
我们就知道
这个带电粒子 发射出来的带电粒子
将会沿着磁场做螺旋线的运动
刚才我们已经讨论过了
而且 如果发射的速率是v的话
那么平行于磁场方向的分量
是vcosθ
而垂直于磁场方向的速度分量
是vsinθ
因为我们刚才讨论过了
它在运动的一周的周期
是与速率没有关系的
经过一个周期以后
也就是经过一个螺距的距离以后
那么到A'点的时候
所有的粒子都相遇了
这个正好一个磁聚焦的原理
另外我们
也可以作为质谱仪和动量谱仪
刚才我们已经介绍过了
如果一个带电粒子
以初速度垂直入射到磁场里面去
它会将做匀速圆周运动
圆周运动的半径等于mv/qB
mv是一个动量
那么一个动量
对应一个半径
所以我们在不同半径的地方测量的话
就对应不同的动量
这个可以作为一个动量谱仪
第二 把这个式子
经过简单的一个变形
我们马上就得到
q/m=v/RB
q/m我们把它称为荷质比
也就是电荷跟质量之比
电荷和质量之比
荷质比是粒子的一个基本属性
我们可以用它来鉴别粒子
从这个式子可以看出
一个荷质比等于v/RB
如果预先知道这个带电粒子的
运动速率的话
又能够测量出来
这个运动半径R的话
我们就可以把这个带电粒子
荷质比测量出来了
而这个方法
正是当年汤姆孙
测量电子的荷质比
使用的方法
他用的装置是这样的
这是一个电子源
能够发射电子
经过加速转折以后
一束电子流入射到这来了
如果这里
这是一个真空腔
如果没有电场磁场的话
电子将会沿着直线
达到这平常的O点
那么现在这儿是一个水平的两个电极
两个电极上加上电压以后
那么带电粒子经过这的电子
就会受到一个电场力的作用
就要偏转
如果没有磁场只有电场的话
将会偏转 也是可以达到O'点
现在我们在水方向上
同时加上一个磁场
那么电子在这个区域
同时受到电场和磁场的作用
那么调节电场的极性
或者磁场的极性的话
使得电场力和洛伦兹力互相抵消
这个时候
抵消以后
带电电子也正好再达到O点
那么我可以判断
如果带电粒子达到O点的话
说明这一点电场力
和洛伦兹力是互相抵消的
通过这种方法
我可以把带电粒子的运动速率
测量出来
然后我们把电场撤掉
只剩下磁场
那么电子在磁场里面就会偏转
通过偏转我们可以测量出
电子的圆周的半径R
那么再把这个
速率和R带进去以后
我们就可以得到电子的荷质比
那么汤姆孙
就是通过这种的方法
测量电子的荷质比的
我们要介绍的第三个应用
就是回旋加速器
为了让带电粒子
加速到的一定速率的话
如果用直线加速器的话
是要用非常长的空间距离
为了减少这个空间距离
我们可以采用回旋加速器
回旋加速器是两个D型盒构成的
磁感应强度
是垂直于D型盒的表面
两个D型盒中间是两个平行极板
平行板
那么这两个平行极板是加电场
那么带电粒子每经过平行板的时候
都要加速一次
为了保证带电粒子
每次经过这个平行板中间的时候
都加速的话
就必须保证这两个平行板的极性
极性改变的周期
与这个带电粒子
在这个加速器里面回转的周期是一致的
正好
由于我们根据刚才的讨论
这个周期跟速率是没关系的
虽然在这个加速的过程里面
速率是不停地改变
它的周期是没改变
是不改变的
所以我们只要改变极性
以这个周期进行改变就可以了
当然我们一定要注意
这个是非相对论条件下
如果在相对论条件下的话
这个m是与速率有关系的
那么示意图就是这儿
刚开始带电粒子是初速度v
那么它有一个较小的运动的半径
那么到这经过一次加速
速率变成v2了 大了
那么它运动的半径大了
到这儿呢 又经过一次加速
那么每经过半个圆就要加速一次
好 刚才我们讨论带电粒子
在均匀磁场中的行为
下面我们讨论带电粒子
在不均匀磁场的里面的行为
这个是空间的不均匀磁场
不妨从左向右磁场逐渐增强
磁力线密度是逐渐增加的
一股带电粒子它由左向右
也就是说由磁场弱的地方
向磁场强的方向运动
根据我们刚才讨论
它当然是环绕着磁场
做一个螺旋线的运动
如果磁场的梯度
和带电粒子的速度合适的话
我就发觉在任何时刻
比如说这个时刻
我们判断它的洛伦兹力的方向
因为洛伦兹力
是垂直于磁感应强度的
结果发现洛伦兹力始终有一个
与它的带电粒子运动方向
相反的一个分量
所以在沿着磁场的这个方向
带电粒子的运动速率是
越来越小的 越来越小的
如果涉及比较合适的话
那么沿着磁场运动的分量
有可能减小到零
然后带电粒子进行反向
这个就好像一个镜子一样
我们把它称为磁镜
这个刚才是一个定性的分析
那么理论分析我们发现
带电粒子的磁距是等于
它的横向的一个动能
与磁感应强度的那个比值
由于磁距基本上是不变的
所以这个比值是一个常数
磁感强度越强的话
这个横向的动能越大
那么横向的动能越大
纵向的动量就越小了
因为动能是守恒的
因为洛伦兹力是不做功的
那么这个时候有可能会反向
这个就是磁镜的原理
那么下面在不均匀磁场里面
还有一种
我们还可以用它来束缚
带电粒子
刚才已经讨论过了
那么带电粒子
在磁场里面一般的行为
将会做螺旋形的运动
那么它运动的半径等于mv/qB
从这个式子也可以看出来
磁感应强度越强的话
它的运动的半径是越小的
这个说明什么呢
那么带电粒子
将环绕磁感应线在运动
也就是说在这个横向
我们可以把带电粒子
束缚在磁力性的周围
那么在纵向呢
纵向刚才已经分析过了
我们可以通过磁镜的方法
磁镜的方法
我们可以设计
我们可以再回到刚才的PPT里面
如果磁场越来越强的话
带电粒子向这个方向运动的话
有可能进行反射
反射了以后又怎么办呢
为了让这个带电粒子不跑出去
我们设计了这样一个磁瓶
什么磁瓶呢
两端磁感应强度强而中间弱
这样带电粒子将会在
这个磁瓶内来回地运动
这样我们就可以把带电粒子
既可以横向地束缚在这
也可以纵向地束缚在这
达到一个束缚的作用
实际上 地球是一个很自然的磁瓶
因为地球是有磁极的
它的北极和南极磁性
北极和南极
分别是地理的南极和北极
那么极周围磁性是强的
中间部分磁性是弱的
这就是个磁瓶
我们可以用它来束缚带电粒子
没错 那么我们就发现
地球存在两个带
我们把它称为范艾仑辐射带
一个是离高空比较近的
一个是比较远的
那么比较远的
束缚的最主要是电子
而比较近的
束缚最主要的是质子
另外北极或者南极的附近
磁感应线基本上是垂直于表面的
如果一个宇宙的带电粒子
进入这个以后
是不受到洛伦兹力的
它可以直接进入大气层
与大气层发生碰撞
而产生极光现象
极光现象这个还是非常漂亮的
这是摘录自
2005年Nature杂志上的一幅图
还是非常壮观
那么对于非均匀磁场
带电粒子在非均匀磁场里面的行为
我们还可以用磁控溅射镀膜
所谓的镀膜呢
无非是一个靶的材料
用某种方法转移到基片上去
形成一层薄膜
那么怎么转移上去呢
我们可以在这个真空腔里面
让氩离子电离
带电的氩离子来轰击这个靶材
然后把这个靶材沉积到衬底上去
如何让氩离子电离呢
我们是通过电子碰撞的方法
我们通过加速电子
然后高速运动的电子
在氩原子进行碰撞
那么为了增加电子
与氩原子碰撞的机会
我们这加了磁场
我们这加了一个环形的磁场
环形的磁场这是一个磁力线
那么带电离子在磁场里面
将会做螺旋线运动
这相当于束缚在这个
磁力线的周围
这样就可能增加了电子
与氩原子碰撞的机会
那么使得这里面氩离子的数额
更加多
不均匀磁场还有一个非常重要的应用
我们可以作为磁透镜
刚才在均匀磁场里面
我们介绍了磁聚焦的原理
那么在不均匀磁场里面
也有一个磁聚焦 磁透镜的原理
我们具体讲一讲
这是一个不均匀磁场
这两个磁极都是用尖状的磁极
使得在这个空间里面
产生一个不均匀
但是又非常强烈的磁场
这是一个电子源
那么从这儿一定的发散角
发射两束电子
比如说我们现在考虑a方向的电子
这个a方向的电子
由下向上运动
当刚开始到达
这个磁场边缘的时候
由于这个磁场有一个水平方向的分量
那么根据洛伦兹力
我们可以判定这个电子
将会有一个垂直于纸面
向里的这样一个速度分量
正是由于这样的一个速度分量
当这个带电粒子
到达磁场磁场最强的区域
也就是这个区域 这个附近的时候
这个时候磁场是竖直方向的
使得这个电子由于有一个
垂直于纸面向里的分量
所以这个时候受到的洛伦兹力
是向中心的
正是由于这个冲力或者冲量
使带电粒子有一个向里
向中间运行的一个速度
当电子到达磁场的边缘的时候
这个边缘和这个边缘基本上是对称的
刚才相离运动的速率
实际上补偿掉了 又回来了
但是向里运动的速率还是有的
所以达到了电子聚焦这样一个目的
这样一个磁透镜
在电子显微镜里面
有着非常广泛的应用
好 我们这一小节就讲到这
谢谢
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