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同学好 这节我们讲电势梯度
前边我们定义过两点的电势差
是用电场积分来表示的
假如说这两点距离特别短
它就是dl这么长
这个时候这个积分就可以直接写成
沿着l方向的电场分量和dl的乘积
等于这两个的电势差用dφ来表示
因为它们很靠近
我们就可以用微分式子来表示
现在我们把这个式子除过来我们就得到
电场沿着l方向的投影
就等于电势沿着l方向的变化率
假如说你在这个方向上
电势有一个变化率的话
那么它就是电场沿着这个方向的
投影值的负号
数学上沿着某个方向函数的变化率
其实早就有定义
就是用偏微商来表示
所以在这里边呢
沿着l方向电场强度的分量值呢
它其实是沿着这个方向的
偏导数的负值
偏导数也有的时候叫做方向导数
假如这l方向如果是x方向如何呢
那么沿着x方向的电场强度的分量
当然是负的电势沿着x方向的
方向导数
y和z方向呢分量也是一样的
这里边对于方向导数
你可能会提这样一个问题
它沿着哪个方向的方向导数最大呀
你想一想
这个电场是一个矢量
它沿着哪个方向的分量最大呀
很显然是
沿着自身那个方向的分量是最大的
而这个分量其实就是
电势沿着这个方向的
方向导数的负值
所以说沿着电场方向的这个
电势的方向导数它是最大的
当然要加一个负号了
数学上最大的方向导数
它是有一个定义的
叫做梯度
这个梯度不仅是沿着那个方向的导数
而且还有方向 就沿着那个方向
所以电场那个方向分量是最大的
沿着那个方向的电势的方向导数
也是最大的
所以电场就可以用
电势的梯度的负值来表示出来了
在直角坐标系
电场当然可以用
电场的x分量y分量z分量来表示出来
刚才我们刚刚说到
电场的x分量其实就等于
电势的x偏导数的负值
y和z也是一样的
所以我们这个式子
又可以用偏导数来表示
这里边你看
所有的式子都是对电势φ的偏导数
这个我们在直角坐标系里
可以把它当作是一个算符
这个算符是什么呢
它是在x方向上对x求偏导数
在y方向上对y求偏导数
在z方向上对z求偏导数
把这个算符作用到电势上的话
当然电场就等于
负的算符作用它上边
这个算符其实也叫梯度算符
它在直角坐标系里边的表示是这个样子
刚才我们说电场沿着l方向的这个分量
是电势沿着l方向的偏导数的负值
可是它也是电场沿着l方向上的投影值
这个电场是用这个式子来表示的
所以电场l方向的这个分量
也可以是这个梯度
沿着l方向的投影的负值
下面我们看一个例子
就是利用电势梯度
来求电偶极子任一点的电场强度
前边我们说过
电势是标量 电场是矢量
所以电势求起来稍微容易一些
我们先求得电势
然后利用梯度把电场求出来
这也是一种途径
假设现在有一个偶极子
它的方向是这个方向的
现在我们建立这样的一个坐标
这是x轴 这是y轴 这是z轴
在某一点P
偶极子的电势我们刚刚求过
它是等于这个式子
这里边这个偶极子
因为中心是放在坐标原点的
所以这里边这个r
实际上它的坐标是xyz
我们把这个式子
用xyz来表示出来的话
它就应该是这个
因为r平方是等于x平方加上y平方加上z平方
下面我们可以利用电场是
负的电势梯度这一点
计算电场的每个分量
比如说电场x分量
是负的刚才这个电势对x的偏导数
偏导数的意思就是说
当你对x求导数的时候
y和z可以当作是一个常量
这个导数当然很容易求
化简一下我们就得到这么一个式子
y分量就是这个式子
z分量也同样
你耐心做你就可以得到这个式子
当然电场是x分量y分量z分量的叠加
把这几个式子代入到这里边
化简整理一下
你就会得到这个式子
这个和我们先前推导出来的
电偶极子的电场的公式是一致的
好 这节内容就讲到这儿
谢谢
-电荷和库仑定律
--引言
--电荷
--库仑定律
-WEEK1--电荷和库仑定律
-电场及叠加原理,电偶极子
--电场和电场强度
-WEEK1--电场及叠加原理,电偶极子
-高斯定律
--电通量
--立体角*
--高斯定律的证明*
--高斯定律和电场线
--高斯定律的应用
-WEEK1--高斯定律
-WEEK1--本周作业
-静电场环路定理、电势和叠加原理
--环路定理
--电势和叠加原理
--电势梯度
--等势面
-WEEK2--静电场环路定理、电势和叠加原理
-静电能
--电荷系静电能
-WEEK2--静电能
-导体静电平衡
--物质中电场
--导体静电平衡
-WEEK2--导体静电平衡
-WEEK2--本周作业
-导体周围电场
-WEEK3--导体周围电场
-静电屏蔽
--导体壳与静电屏蔽
-WEEK3--静电屏蔽
-电容及电容器
--电容及电容器
-WEEK3--电容及电容器
-电介质
--介质对电场的影响
-WEEK3--电介质
-极化强度矢量,极化电荷
--极化强度
--极化电荷
-WEEK3--极化强度矢量,极化电荷
-WEEK3--本周作业
-极化规律、电位移矢量
--电介质的极化规律
-WEEK4--极化规律、电位移矢量
-有介质时静电场能量
-WEEK4--有介质时静电场能量
-电流密度、稳恒电流和稳恒电场
--电流密度
-WEEK4--电流密度、稳恒电流和稳恒电场
-电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律
--电动势
--欧姆定律
--欧姆定律(续)
-WEEK4--电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律
-电流微观图像和暂态过程
--电流微观图像
-WEEK4--电流微观图像和暂态过程
-本周作业
--week4--本周作业
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--电流磁效应
--磁场和磁感应强度
-WEEK5--洛仑兹力、磁感应强度
-毕-萨-拉定律、磁场叠加原理和磁场高斯定理
--毕-萨-拉定律
--磁场高斯定律
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-静磁场环路定理
-WEEK5--静磁场环路定理
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--霍尔效应
--安培力
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-磁介质对磁场的影响和原子磁矩
--磁场中的磁介质
--原子的磁矩
-WEEK6--磁介质对磁场的影响和原子磁矩
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--磁化电流
-WEEK6--磁化强度矢量、磁化电流和磁场强度H及其环路定理
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