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同学好
这节我们给出
静电场高斯定律的证明
高斯定律的内容是这样
在真空中的静电场内
通过任何一个闭合曲面的电通量
它就等于这个闭合曲面所包围的
电量的代数和除以ε0
用数学式子表示出来的话
就是这样
这里边这个电荷
其实就是在S面内的
那些电量的代数和
那么这个证明
我们分几个步骤
第一步先考察
闭合面包围一个点电荷的情况
在这个闭合面里边有个点电荷
在闭合面上我们找到一个小的面元
这个小的面元对这个点电荷
所张的立体角用dΩ来表示
这个面元的
单位法向矢量用n帽来表示
这个面元上电场当然是沿着这个径向了
那么根据点电荷的场强公式
我们可以估算出来
这个场强是等于这个式子的
穿过这个面元dS的电通量呢
当然就是
当地的电场和这个面元的点积
把这个式子带进去
我们就得到这个式子
这里边 r帽点上这个面元
除以r平方
刚好就是这个小面元
对这个点电荷这个位置
所张的立体角
整个闭合曲面上
因为这个点电荷的电场
而引起的电通量
实际上就是
每一个小面元上电通量的和
那么这个求和呢实际上很容易
其实这个立体角的求和
就是整个闭合曲面
对其内点电荷那个位置那一点
所张的总的立体角
那么刚才我们计算过
这个立体角是等于4π
把它带到这个式子里边
我们就得到
因为这个点电荷产生的电场
在整个闭合曲面上的电通量
就等于这个闭合曲面内这个电荷
除以这个ε0
下一个步骤
假设这个点电荷是在
闭合曲面外的
我们同样在这个闭合曲面上
可以选择一个小面元
在这个面元上
这个点电荷所产生的电场
当然是沿着径向了
那么同样
这个电场在这个面元上的通量
其实就是这个点积
这个点积
前页我们刚刚给出过
它其实是等于
这个式子乘上这个小面元
对这个点电荷那个位置所张的立体角
如果我们把每一个小面元的电通量
都加起来的话
其实就是整个闭合曲面上的电通量
由于你这个点是在闭合曲面外
所以你计算这个求和的时候
其实就是在计算这个立体角的和
可是这个闭合曲面
对闭合曲面外某一点所张的立体角
我们前边给出过
它是等于0的
所以总的通量也等于0
也就是
当这个点电荷在闭合曲面外的时候
通过这个闭合曲面的这个电通量呢
是等于0的
或者你也可以说
它是等于
闭合曲面里边电荷除以ε0
闭合曲面里边没有电荷
所以等于0
这是一个点电荷的情况
我们可以总结一下
一个点电荷产生的电场
通过一个闭合曲面的电通量
它应该等于多少呢
当这个点电荷在曲面外的时候
这个电通量是等于0的
在曲面内的时候
它是等于这个电荷除以ε0
那么对于一个点电荷的情况
高斯定律我们已经证出来了
高斯定律就是这样
可是对于多个点电荷的情况呢
我们利用电场的叠加原理
对于某一个闭合曲面的电通量
它应该是这个式子
这里边这个电场应该是
多个点电荷产生电场的叠加
这里边这个求和式子和这个积分
其实本质上都是求和
所以我们利用加法的交换律
我们可以先积分后求和
那么这个先积分这个式子
这是什么呢
就是第i个点电荷所产生的电场
通过这个闭合曲面的这个通量
这是一个点电荷的情况
这个我们证明过
它是等于这样的结果
就是当这个第i个电荷
在闭合曲面内的时候
它是等于qi除以ε0
如果它在闭合曲面外的话
它就等于0
那么这个闭合曲面的电通量呢
你就可以把它总结成
这样一个式子了
假如这个第i个电荷在里边
当然你这求和式子里边
把它放在里边
如果第i个电荷
在闭合曲面外边的话
当然对这个求和它是没有贡献的
所以我们就把多个点电荷存在的时候
静电场的高斯定律证明出来了
假如里边的这些电荷
它是连续分布的
那么我们可以把这个求和式子
用积分式子来表示
好 这节内容就讲到这儿
谢谢
-电荷和库仑定律
--引言
--电荷
--库仑定律
-WEEK1--电荷和库仑定律
-电场及叠加原理,电偶极子
--电场和电场强度
-WEEK1--电场及叠加原理,电偶极子
-高斯定律
--电通量
--立体角*
--高斯定律的证明*
--高斯定律和电场线
--高斯定律的应用
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-静电场环路定理、电势和叠加原理
--环路定理
--电势和叠加原理
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--等势面
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--电荷系静电能
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--物质中电场
--导体静电平衡
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--介质对电场的影响
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--极化强度
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