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同学好
这一节我们讲 电荷系的静电能
先讲 点电荷在静电场中的电势能
那电势能我们怎么计算呢
我们用下面这个原则
外力克服静电力作的功
等于相应的电势能的增量
因为在我们这个过程当中
没有能量损耗
也没有其它的能量形式
外力克服静电力作的功
它全部变成电势能了
假设有一个试验电荷
我们在静电场中 把它从a移动到b
在这个过程中
外力克服静电力作的功就是这个
很显然 它就是a和b两点之间的
电势能的增量
这里边这个电场力 其实是
试验电荷乘上当地的电场
前边我们已经得到过
这个电场的积分
是等于这两点的电势差
比较这两个式子
另外 我们考虑到电势能
它也有零点的问题
就是我们跟力学里面
势能的概念是一样的
所以假设我们选择电势和电势能的零点
是在同一个位置的话
再比较这两个式子
我们就会得到
电势能其实就等于
电荷乘上当地的电势
所以 静电场的电势能
也只是和位置有关
下面讨论
电偶极矩在静电场中的电势能
假设 有一个偶极矩在电场当中
这个时候 根据我们刚才的讨论
它们在电场中的电势能
就应该是 每个电荷乘上当地的电势
这两个电荷 所以把它们加在一起
现在我们把这个q拿到外边来
由于电偶极子
这两个电荷之间的距离非常小
所以这两个电势差
我们可以近似的
用当地的一个电场点上l来表示
这个表示是什么呢
表示沿着l方向的电势的增量
这我们前边讨论过
这里边这个ql
就是电偶极子的电偶极矩
把它写出来的话
电偶极矩在电场中的电势能
是这样一个表达式
那么要注意一下
在我们推导这个公式的时候
我们用到的这个电势
没有包含这两个点电荷的贡献
这个电势纯粹是这个电场
引起的那个电势
所以说这个电势能
是电偶极子作为整体
在外场中的能量
它没有包括电偶极子本身的
这两个电荷之间的相互作用能
我们把它叫做自能
这个式子里边没有包含自能
下面 我们从另一个角度
来认识刚才我们得到的这个式子
假设 在一个均匀的电场当中
有一个电偶极子
在这里边 因为这个电场是均匀的
所以电偶极子整体
它是不受电场力的
因为它们是等量异号的电荷
可是它们会受到一个电场力矩
我们来看一看
这个电场力矩应该是等于多少
考虑力矩的时候
我们总要谈 它是相对哪一点的
假设相对某一个O点
这个+q的位矢
用r+矢量来表示
-q位矢用r_ 这个矢量
这个时候 这个电偶极子
所受到的电场力矩
应该是r+这个矢量叉上
它所受到的电场力
加上什么呢
就是这个r_这个矢量
叉上-q这个电荷
所受到的电场力
整理一下 得到这个式子
这里边r+这个矢量
和r_这个矢量的差值
其实就是 l这个矢量
我们如果把l这个矢量和q的乘积
用电偶极矩来表示的话
电偶极子在电场当中受的力矩
就是电偶极矩叉上电场强度
这个力矩的方向
我们可以利用右手螺旋来判断
这是电偶极矩的方向
这是电场的方向
右手螺旋
所以 力矩的方向是向里的
假设电偶极矩和电场的夹角是θ的话
那么这个力矩的大小我们
很容易可以计算出来
它就是等于 电偶极矩乘上电场
乘上sinθ
当然它的方向是向里的
由于这个力矩的作用
这个电偶极矩只在这个板面上转动
假设θ90度的时候 电势能是等于0
现在外力矩克服电场力矩
把这个电偶极矩
从90度转到θ的时候
它所做的功应该等于多少呢
就应该等于这个
在这里边呢
可能有人问
你这个是外力矩克服电场力矩做功
怎么没有负号啊
原因是这样
因为力矩的方向是向里的
而这个θ角
θ角是这样转动是正的
也就是说 它的方向是这样的
所以你不需要加负号
M和dθ乘在一起的积分
就是外力矩克服电场力矩做功
因为它们的方向是不一样的
把这个式子代到这里边
我们简单积分一下
我们就得到了 这么一个式子
这个式子跟刚才我们推导的那个式子是一样的
我们看一看
这个式子里边
当θ=90度的时候
它的电势能自然是等于0
这跟我们前边的假设
也是不矛盾的
好 这节内容就讲到这儿
谢谢
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