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同学好
这一节我们接着讲 电荷系的静电能
讨论多个电荷组成体系的电势能
为了简便
我们先讨论 两个电荷构成的体系
假设这两个电荷它们之间的距离是r
这个时候电势能应该是怎么表示呢
我们想象 这个q1 q2一开始的时候
它们是相距无限远的
所以这个时候 电势能当然是等于0
现在 我们先把q1摆在某个位置
固定下来不让它动
这个过程当然不需要作功
然后我再把这个q2
从无限远处 拉到距离r这么远
在这个过程当中
外力当然要克服
q1对q2的电场力作功
这个作的功
实际上就等于电势能的增量
这个电势能增量我们前边计算过
就是q2这个电荷乘上
q1在q2这个位置所产生的电势
我们也可以把这个过程反过来做
先把q2放在那
然后再把q1拉过来
这个时候 外力克服电场力
作的功是这个
这里边这个电势
是q2在q1那个位置产生的电势
这个过程虽然不同
但结果都是一样
就是q1和q2都到了相距r这个位置
所以 你是先把q1放在那 把q2拉过来
还是反过来
它们这个结果应该是一样的
所以我们有这样的一个结果
我们把电势能
用对称的形式把它写出来
二分之一这个再加上二分之一这个
结果还是一样的
这里边这个φ12
是q2这个电荷在q1这个位置上的电势
φ21是q1这个电荷
在q2这个位置上的电势
我们也可以用这样的一个符号
把这个里边的2去掉
这是什么含义呢
这就表示
除了这个q1以外的电荷
在q1位置上的电势
这个情况 只有q1和q2两个电荷
除了q1以外的电荷就是q2
所以这个φ1
就是q2在q1这个位置上产生的电势
同样这个φ2是除了q2这个电荷
在q2这个位置上产生的电势
那显然就是q1在q2上的电势了
下面我们再讨论 三个电荷的情况
三个电荷的时候
我们先把1这个电荷固定
把2这个电荷先拉过来 放在那
然后再把3这个电荷
从无限远处拉过来
这样的过程跟刚才的情况类似
我们就可以得到电势能的增量
应该是q1固定 把q2拉过来
把q2固定 把q3拉过来
把q1固定 把q3拉过来
因为电场力 它是满足叠加原理的
电势也是满足叠加原理的
所以 你也可以说
1和2固定把3拉过来的时候
可以分成两个情况就是
1固定 不考虑2 把3拉过来
2固定 把3拉过来 1不考虑
所以是这样的一个结果
根据我们刚才的讨论
你把q1固定把2拉过来
和把2固定1拉过来
结果是一样的
这后边的也是一样
我们就可以把它写成对称的形式
比如说这个写成二分之一的q1φ12
加上二分之一的q2φ21
这两个也都可以形式上把它写出来
现在我们把q1q2q3合并合并
就变成了这样的形式
这里边 比如说这个式子
φ12加上φ13
这个电势其实是这样
是q2在q1这个位置产生的电势
加上q3在q1这个位置上产生的电势
当然 这个其实你也可以说
这是除了q1以外的电荷
在q1位置上产生的电势
因为除了q1以外的电荷
就只有q2和q3
其它项也是类似的
所以这个式子
就可以写成这样的形式
这里边φ1表示
除了1这个电荷以处
其它的电荷在1位置上产生的电势
这个φ2就是除了2这个电荷
其它电荷在2这个位置产生的电势
3这个情况也是一样的
这样3个4个5个电荷一直做下去
N个电荷的情况呢
很显然 它是等于这样一个式子
就是电势能是
用这样一个求和式子表示的
其中这里边φi
就是刚才我们讲的
除了qi这个电荷以外的电荷
在qi这个位置上产生的电势
假设我们讨论的这个带电体
它是连续分布的
比如说这有一个带电体
它是连续分布的
这个时候
我们可以把这个连续分布带电体
分成无数个小的电荷元
假如这里边有个电荷元
除了这个电荷元以外的其它电荷
在dq上产生的电势是φ的话
刚才这个电势能
当然因为是连续的情况
求和式子就变成了积分
我们就把它可以写成这种积分形式
这个积分其实就是求和的意思
下面我们讨论一个例子
就是均匀带电球壳
带电量是Q 半径是r
问 它的电势能是多少
这个问题怎么做呢
我们先求 这个球壳上的电势
利用刚才我们给的这个
连续带电体的公式
电势能就等于这个式子
当然这个积分就是求和了
现在 对这个问题来说
电荷Q也好 r也好
这些东西都是常量
可以提到积分号外边来
这个积分实际上就是dq的积分
dq的积分就是求和
总的电荷量当然是大Q了
所以它就得到了这么一个式子
可是这个时候 你可能会问
本来你用这个式子的时候
不是说这个φ必须是
dq以外的这些电荷
在dq上边产生的电势吗
可是现在你这里边用的这个φ
是所有电荷产生的电势
这会有问题吗
我们下面接着讨论
假设你用这个公式的时候
如果这个带电体
是体电荷分布
我们来看一看
假如 我们取的电荷元是一个
均匀的带电球
这是为了讨论方便
假如说半径是R
这个时候
它自己在自己身上
产生的电势等于多少呢
这个我们知道
它大概是和R分之dq成正比的
那么这个dq等于多少呢
当然是体积乘上密度
体积是三分之四πR三次方
你把它代进去
所以dq在自己上面产生的电势
应该是正比于电荷密度乘上R平方
这个电荷元是很小的
积分的时候这个积分元当然是很小啊
当这个均匀带电
小球的半径趋于0的时候
它在自身产生的电势也是趋于0的
所以 计算这个式子的时候
你考虑dq在自身的电势
和不考虑自身的电势结果是一样的
反正它的贡献是等于0
对于面电荷分布的情况
假设 这个dq
小电荷元是一个小圆片
当然半径也是R
它在自身产生的电势
我们也很容易把它估算出来
大概是 面电荷密度
乘上这个小圆片的半径
当这个小电荷元很小的时候
无限小的时候
R趋于0的时候
当然 它在自身产生电势也是趋于0的
所以面电荷分布情况
我们利用这公式的时候
这里边这个电势
是排除了dq在自身的那个电势也好
不排除也好
结果也是一样的
因为反正它是等于0
所以我们最后的结论是什么呢
就是 当你利用这个电势能的公式的时候
如果这个连续带电体是
体电荷分布的
或者是面电荷分布的时候
这里边这个电势是考虑dq的贡献也好
不考虑dq的贡献也好
结果都是一样的
如果是线电荷分布会怎么样呢
线电荷分布情况不太一样
dq在自身的电势 这个时候
它是对数发散的
这个时候你把dq自身的电势
那部分刨掉了
它也不行
即使这样的话
这个积分仍然是发散的
所以线电荷分布的时候
电势能总是发散的
点电荷情况如何呢
点电荷的自能也是发散的
比如说 我把这个点电荷
先看作一个
均匀带电球壳产生的电势能
这个我们计算过刚刚
就是这个值
当半径趋于0的时候
这个小球壳带电不就趋向于
点电荷了吗
可是当R趋于0的时候 这是发散的
所以线电荷分布也好
点电荷分布也好
它的自能都是发散的
那怎么办呢
没有办法
到现在为止
这是经典电磁学里边的基本困难
当然以后 又发展出来一些方法
可以处理这个发散问题
比如重整化的方法等等
但它只是一个方法
并没有从根本上克服
自能发散的困难
好 这节我们就讲到这儿
谢谢
-电荷和库仑定律
--引言
--电荷
--库仑定律
-WEEK1--电荷和库仑定律
-电场及叠加原理,电偶极子
--电场和电场强度
-WEEK1--电场及叠加原理,电偶极子
-高斯定律
--电通量
--立体角*
--高斯定律的证明*
--高斯定律和电场线
--高斯定律的应用
-WEEK1--高斯定律
-WEEK1--本周作业
-静电场环路定理、电势和叠加原理
--环路定理
--电势和叠加原理
--电势梯度
--等势面
-WEEK2--静电场环路定理、电势和叠加原理
-静电能
--电荷系静电能
-WEEK2--静电能
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--物质中电场
--导体静电平衡
-WEEK2--导体静电平衡
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-WEEK3--导体周围电场
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--导体壳与静电屏蔽
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-电容及电容器
--电容及电容器
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--介质对电场的影响
-WEEK3--电介质
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--极化强度
--极化电荷
-WEEK3--极化强度矢量,极化电荷
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--电介质的极化规律
-WEEK4--极化规律、电位移矢量
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-WEEK4--有介质时静电场能量
-电流密度、稳恒电流和稳恒电场
--电流密度
-WEEK4--电流密度、稳恒电流和稳恒电场
-电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律
--电动势
--欧姆定律
--欧姆定律(续)
-WEEK4--电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律
-电流微观图像和暂态过程
--电流微观图像
-WEEK4--电流微观图像和暂态过程
-本周作业
--week4--本周作业
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--电流磁效应
--磁场和磁感应强度
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-毕-萨-拉定律、磁场叠加原理和磁场高斯定理
--毕-萨-拉定律
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--霍尔效应
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