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电荷系静电能(续2)

下一节:物质中电场

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电荷系静电能(续2)课程教案、知识点、字幕

同学好

这一节我们接着讲 电荷系的静电能

讨论多个电荷组成体系的电势能

为了简便

我们先讨论 两个电荷构成的体系

假设这两个电荷它们之间的距离是r

这个时候电势能应该是怎么表示呢

我们想象 这个q1 q2一开始的时候

它们是相距无限远的

所以这个时候 电势能当然是等于0

现在 我们先把q1摆在某个位置

固定下来不让它动

这个过程当然不需要作功

然后我再把这个q2

从无限远处 拉到距离r这么远

在这个过程当中

外力当然要克服

q1对q2的电场力作功

这个作的功

实际上就等于电势能的增量

这个电势能增量我们前边计算过

就是q2这个电荷乘上

q1在q2这个位置所产生的电势

我们也可以把这个过程反过来做

先把q2放在那

然后再把q1拉过来

这个时候 外力克服电场力

作的功是这个

这里边这个电势

是q2在q1那个位置产生的电势

这个过程虽然不同

但结果都是一样

就是q1和q2都到了相距r这个位置

所以 你是先把q1放在那 把q2拉过来

还是反过来

它们这个结果应该是一样的

所以我们有这样的一个结果

我们把电势能

用对称的形式把它写出来

二分之一这个再加上二分之一这个

结果还是一样的

这里边这个φ12

是q2这个电荷在q1这个位置上的电势

φ21是q1这个电荷

在q2这个位置上的电势

我们也可以用这样的一个符号

把这个里边的2去掉

这是什么含义呢

这就表示

除了这个q1以外的电荷

在q1位置上的电势

这个情况 只有q1和q2两个电荷

除了q1以外的电荷就是q2

所以这个φ1

就是q2在q1这个位置上产生的电势

同样这个φ2是除了q2这个电荷

在q2这个位置上产生的电势

那显然就是q1在q2上的电势了

下面我们再讨论 三个电荷的情况

三个电荷的时候

我们先把1这个电荷固定

把2这个电荷先拉过来 放在那

然后再把3这个电荷

从无限远处拉过来

这样的过程跟刚才的情况类似

我们就可以得到电势能的增量

应该是q1固定 把q2拉过来

把q2固定 把q3拉过来

把q1固定 把q3拉过来

因为电场力 它是满足叠加原理的

电势也是满足叠加原理的

所以 你也可以说

1和2固定把3拉过来的时候

可以分成两个情况就是

1固定 不考虑2 把3拉过来

2固定 把3拉过来 1不考虑

所以是这样的一个结果

根据我们刚才的讨论

你把q1固定把2拉过来

和把2固定1拉过来

结果是一样的

这后边的也是一样

我们就可以把它写成对称的形式

比如说这个写成二分之一的q1φ12

加上二分之一的q2φ21

这两个也都可以形式上把它写出来

现在我们把q1q2q3合并合并

就变成了这样的形式

这里边 比如说这个式子

φ12加上φ13

这个电势其实是这样

是q2在q1这个位置产生的电势

加上q3在q1这个位置上产生的电势

当然 这个其实你也可以说

这是除了q1以外的电荷

在q1位置上产生的电势

因为除了q1以外的电荷

就只有q2和q3

其它项也是类似的

所以这个式子

就可以写成这样的形式

这里边φ1表示

除了1这个电荷以处

其它的电荷在1位置上产生的电势

这个φ2就是除了2这个电荷

其它电荷在2这个位置产生的电势

3这个情况也是一样的

这样3个4个5个电荷一直做下去

N个电荷的情况呢

很显然 它是等于这样一个式子

就是电势能是

用这样一个求和式子表示的

其中这里边φi

就是刚才我们讲的

除了qi这个电荷以外的电荷

在qi这个位置上产生的电势

假设我们讨论的这个带电体

它是连续分布的

比如说这有一个带电体

它是连续分布的

这个时候

我们可以把这个连续分布带电体

分成无数个小的电荷元

假如这里边有个电荷元

除了这个电荷元以外的其它电荷

在dq上产生的电势是φ的话

刚才这个电势能

当然因为是连续的情况

求和式子就变成了积分

我们就把它可以写成这种积分形式

这个积分其实就是求和的意思

下面我们讨论一个例子

就是均匀带电球壳

带电量是Q 半径是r

问 它的电势能是多少

这个问题怎么做呢

我们先求 这个球壳上的电势

利用刚才我们给的这个

连续带电体的公式

电势能就等于这个式子

当然这个积分就是求和了

现在 对这个问题来说

电荷Q也好 r也好

这些东西都是常量

可以提到积分号外边来

这个积分实际上就是dq的积分

dq的积分就是求和

总的电荷量当然是大Q了

所以它就得到了这么一个式子

可是这个时候 你可能会问

本来你用这个式子的时候

不是说这个φ必须是

dq以外的这些电荷

在dq上边产生的电势吗

可是现在你这里边用的这个φ

是所有电荷产生的电势

这会有问题吗

我们下面接着讨论

假设你用这个公式的时候

如果这个带电体

是体电荷分布

我们来看一看

假如 我们取的电荷元是一个

均匀的带电球

这是为了讨论方便

假如说半径是R

这个时候

它自己在自己身上

产生的电势等于多少呢

这个我们知道

它大概是和R分之dq成正比的

那么这个dq等于多少呢

当然是体积乘上密度

体积是三分之四πR三次方

你把它代进去

所以dq在自己上面产生的电势

应该是正比于电荷密度乘上R平方

这个电荷元是很小的

积分的时候这个积分元当然是很小啊

当这个均匀带电

小球的半径趋于0的时候

它在自身产生的电势也是趋于0的

所以 计算这个式子的时候

你考虑dq在自身的电势

和不考虑自身的电势结果是一样的

反正它的贡献是等于0

对于面电荷分布的情况

假设 这个dq

小电荷元是一个小圆片

当然半径也是R

它在自身产生的电势

我们也很容易把它估算出来

大概是 面电荷密度

乘上这个小圆片的半径

当这个小电荷元很小的时候

无限小的时候

R趋于0的时候

当然 它在自身产生电势也是趋于0的

所以面电荷分布情况

我们利用这公式的时候

这里边这个电势

是排除了dq在自身的那个电势也好

不排除也好

结果也是一样的

因为反正它是等于0

所以我们最后的结论是什么呢

就是 当你利用这个电势能的公式的时候

如果这个连续带电体是

体电荷分布的

或者是面电荷分布的时候

这里边这个电势是考虑dq的贡献也好

不考虑dq的贡献也好

结果都是一样的

如果是线电荷分布会怎么样呢

线电荷分布情况不太一样

dq在自身的电势 这个时候

它是对数发散的

这个时候你把dq自身的电势

那部分刨掉了

它也不行

即使这样的话

这个积分仍然是发散的

所以线电荷分布的时候

电势能总是发散的

点电荷情况如何呢

点电荷的自能也是发散的

比如说 我把这个点电荷

先看作一个

均匀带电球壳产生的电势能

这个我们计算过刚刚

就是这个值

当半径趋于0的时候

这个小球壳带电不就趋向于

点电荷了吗

可是当R趋于0的时候 这是发散的

所以线电荷分布也好

点电荷分布也好

它的自能都是发散的

那怎么办呢

没有办法

到现在为止

这是经典电磁学里边的基本困难

当然以后 又发展出来一些方法

可以处理这个发散问题

比如重整化的方法等等

但它只是一个方法

并没有从根本上克服

自能发散的困难

好 这节我们就讲到这儿

谢谢

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WEEK1

-电荷和库仑定律

--引言

--电荷

--库仑定律

-WEEK1--电荷和库仑定律

-电场及叠加原理,电偶极子

--电场和电场强度

--点电荷电场及叠加原理

--点电荷电场及叠加原理(续1)

--点电荷电场及叠加原理(续2)

--点电荷电场及叠加原理(续3)

-WEEK1--电场及叠加原理,电偶极子

-高斯定律

--电通量

--立体角*

--高斯定律的证明*

--高斯定律和电场线

--高斯定律的应用

--高斯定律的应用(续)

-WEEK1--高斯定律

-WEEK1--本周作业

-week1课件

WEEK2

-静电场环路定理、电势和叠加原理

--环路定理

--电势和叠加原理

--电势和叠加原理(续)

--电势梯度

--等势面

-WEEK2--静电场环路定理、电势和叠加原理

-静电能

--电荷系静电能

--电荷系静电能(续1)

--电荷系静电能(续2)

-WEEK2--静电能

-导体静电平衡

--物质中电场

--导体静电平衡

--导体静电平衡条件(续1)

--导体静电平衡条件(续2)

-WEEK2--导体静电平衡

-WEEK2--本周作业

-week2课件

WEEK3

-导体周围电场

--有导体时静电场的计算

--有导体时静电场的计算(续)

-WEEK3--导体周围电场

-静电屏蔽

--导体壳与静电屏蔽

-WEEK3--静电屏蔽

-电容及电容器

--电容及电容器

--电容及电容器(续)

-WEEK3--电容及电容器

-电介质

--介质对电场的影响

-WEEK3--电介质

-极化强度矢量,极化电荷

--极化强度

--极化电荷

-WEEK3--极化强度矢量,极化电荷

-WEEK3--本周作业

-week3课件

WEEK4

-极化规律、电位移矢量

--电介质的极化规律

--电介质的极化规律(续)

--电位移矢量及其应用

--电位移矢量及其应用(续)

-WEEK4--极化规律、电位移矢量

-有介质时静电场能量

--有介质时静电场能量

-WEEK4--有介质时静电场能量

-电流密度、稳恒电流和稳恒电场

--电流密度

--稳恒电流和稳恒电场

-WEEK4--电流密度、稳恒电流和稳恒电场

-电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律

--电动势

--欧姆定律

--欧姆定律(续)

-WEEK4--电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律

-电流微观图像和暂态过程

--电流微观图像

--电容器的充放电(暂态过程)*

-WEEK4--电流微观图像和暂态过程

-本周作业

--week4--本周作业

-week4课件

WEEK5

-洛仑兹力、磁感应强度

--电流磁效应

--磁场和磁感应强度

-WEEK5--洛仑兹力、磁感应强度

-毕-萨-拉定律、磁场叠加原理和磁场高斯定理

--毕-萨-拉定律

--毕-萨-拉定律(续)

--磁场高斯定律

-WEEK5--毕-萨-拉定律、磁场叠加原理和磁场高斯定理

-静磁场环路定理

--安培环路定理及其应用

--安培环路定理及其应用(续1)

--安培环路定理及其应用(续2)

-WEEK5--静磁场环路定理

-安培力和霍尔效应

--带电粒子在磁场中的运动

--霍尔效应

--安培力

-WEEK5--安培力和霍尔效应

-WEEK5--本周作业

-week5课件

WEEK6

-载流线圈在均匀磁场中受的磁力矩、磁矩

--载流线圈在均匀磁场中受的磁力矩

-WEEK6--载流线圈在均匀磁场中受的磁力矩、磁矩

-磁介质对磁场的影响和原子磁矩

--磁场中的磁介质

--原子的磁矩

-WEEK6--磁介质对磁场的影响和原子磁矩

-磁化强度矢量、磁化电流和磁场强度H及其环路定理

--磁介质的磁化

--磁化电流

--有磁介质时磁化的规律

-WEEK6--磁化强度矢量、磁化电流和磁场强度H及其环路定理

-WEEK6--本周作业

-week6课件

WEEK7

-铁磁介质和简单磁路

--磁场的界面关系

--铁磁性材料

-WEEK7--铁磁介质和简单磁路

-法拉第电磁感应定律

--法拉第电磁感应定律

--电磁感应定律和磁通连续定理的普适性

-WEEK7--法拉第电磁感应定律

-动生电动势和感生电动势、感生电场和涡流

--动生电动势

--感生电动势和感生电场

--涡电流

-WEEK7--动生电动势和感生电动势、感生电场和涡流

-自感和互感

--自感

--互感

-WEEK7--自感和互感

-WEEK7--本周作业

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WEEK8

-暂态过程和磁场能量

--RL电路的暂态过程

--磁场的能量

-磁场和电场的相对性

--电场和磁场的相对性

-位移电流和麦克斯韦方程组

--麦克斯韦方程组和电磁波

--麦克斯韦方程组

-WEEK8--位移电流和麦克斯韦方程组

-电磁波、坡因廷矢量和光压

--电磁波

--坡印廷矢量

--电磁波的动量

--光压——辐射压强

-本周作业

--week8--本周作业

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WEEK9

-波动光学—引言

--波动光学——引言

-WEEK9--波动光学—引言

-杨氏双缝干涉、相干光

--光的干涉

--双缝干涉

-WEEK9--杨氏双缝干涉、相干光

-光源及发光性质

--光源的发光特性

--时间相干性

--空间相干性

-WEEK9--光源及发光性质

-光程、等倾和等厚干涉

--光程

--薄膜干涉(一)

--薄膜干涉(二)

-WEEK9--光程、等倾和等厚干涉

-迈克耳逊干涉仪

--迈克耳逊干涉仪

-WEEK9--本周作业

-week9课件

WEEK10

-衍射现象、单缝夫琅禾费衍射

--惠更斯原理

--单缝夫琅禾费衍射

--单缝夫琅禾费衍射(续)

-WEEK10--衍射现象、单缝夫琅禾费衍射

-光栅衍射

--光栅衍射

--光栅衍射(续)

-WEEK10--光栅衍射

-光学仪器分辨本领

--光学仪器的分辨本领

--光学仪器的分辨本领(续)

-WEEK10--光学仪器分辨本领

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--X射线的衍射

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WEEK11

-光的偏振状态和偏振片

--光的偏振状态

--光的偏振状态(续)

--起偏和检偏

-WEEK11--光的偏振状态和偏振片

-反射和折射光偏振

--反射和折射及散射光的偏振

-WEEK11--反射和折射光偏振

-晶体双折射、波片

--双折射

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--波片

-WEEK11--晶体双折射、波片

-偏振光干涉、人工双折射和旋光

--偏振光的干涉

--人工双折射

--旋光现象

-WEEK11--偏振光干涉、人工双折射和旋光

-量子物理诞生和黑体辐射

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WEEK12

-光电效应、光子和康普顿效应

--光电效应

--光子

--光子(续)

--光子(续2)

--康普顿效应

-WEEK12--光电效应、光子和康普顿效应

-物质波、波函数和概率密度

--物质波

--波函数

--波函数(续)

-WEEK12--物质波、波函数和概率密度

-不确定性关系

--不确定关系

-WEEK12--不确定性关系

-薛定谔方程

--薛定谔方程

-WEEK12--薛定谔方程

-一维无限深势阱

--一维无限深势阱

-WEEK12--一维无限深势阱

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WEEK13

-一维问题

--一维谐振子

--势垒穿透

--扫描隧道显微镜

-WEEK13--一维问题

-氢原子能级和角动量

--原子中的电子

--玻尔理论发展的基础

--氢原子的量子力学处理

--能量量子化

-WEEK13--氢原子能级和角动量

-电子自旋、费米子和泡利不相容原理

--电子自旋与自旋轨道耦合

--碱金属原子光谱的双线

--微观粒子的不可分辨性

--各种原子核外电子排布

-WEEK13--电子自旋、费米子和泡利不相容原理

-WEEK13--本周作业

-week13

WEEK14

-X射线、激光、分子光谱简介

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--Video

--分子光谱简介

--激光

--光学谐振腔

-WEEK14--X射线、激光、分子光谱简介

-固体电子气模型和量子统计

--固体

--自由电子气体模型

--量子统计

-WEEK14--固体电子气模型和量子统计

-能带模型

--能带

-能带模型--作业

-本周作业

--WEEK14--本周作业

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WEEK15

-半导体和PN结

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-WEEK15--半导体和PN结

-原子核性质、核磁共振

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-WEEK15--原子核性质、核磁共振

-放射性和衰变规律

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--穆斯堡尔效应

--β衰变

-WEEK15--放射性和衰变规律

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