当前课程知识点：大学物理2 (电磁学、光学和量子物理) > WEEK7 > 动生电动势和感生电动势、感生电场和涡流 > 动生电动势
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方才我们谈到
在法拉第电磁感应定律中
关键要计算磁通随时间的变化
磁通可以按照不同方式随时间变化
比如在某个参考系中
磁场是稳恒磁场
回路 运动或者形变
在这种情况下电动势叫动生电动势
有一回路运动产生的电动势
我们叫动生电动势
此外在某个参考系中
磁场随着时间变化但回路静止
这个时候电动势叫感生电动势
我们问
不管是动生电动势还是感生电动势
它都有非静电力
那么它们对应的非静电力
分别是什么
显然动生电动势的非静电力
是Lorentz力
而感生电动势的非静电力
而感生电动势对应的非静电力
是感生电场
感生电场
是麦克斯韦提出的一个假设
一般情况下回路运动
磁场也在随时间变化
这个时候的感应电动势
应该分做两项
一是动生电动势
第二是感生电动势
好 我们先讨论动生电动势
回路或者其中的一部分
相对稳恒磁场运动
引起穿过回路的磁通变化
这个时候产生的电动势
叫动生电动势
我们还是刚才那个例子
ab金属段在金属框上运动
我们看在这种情况下
非静电力是Lorentz 力
这个Lorentz力应该是
单位正电荷受的Lorentz力
对于这个金属中的自由电子来说
它的Lorentz力应该除上-e
因为我们定义这个非静电力
是单位正电荷受的力
f 我知道
f是-ev×B除上-e就是v×B
所以非静电力是v×B
v是导线运动的速度
B是这个地方的磁感应强度
好了 在这个力的作用下
电子往下运动
这个时候a端积累负电荷
b端积累正电荷
所以如果你把ab段金属当做电源的话
a是负极
b是正极
好 我们写出动生电动势
对于一个电源
我们定义电动势的方向
是从负极到正极作为电动势的正方向
我们算一下
v×B是非静电力
沿着负极到正极的方向做积分
就做这个积分
显然 结果是速度乘上B
再乘上ab这段的长度
这个方向大家判断v×B是哪个方向
df是哪个方向
点乘之后结果是这个结果
是正号
是正的
就说明它的方向是从负极到正极
在这个图中是从a到b
这是动生电动势的方向
计算动生电动势可以用dΦ/dt
加个负号来表达
那你用这个方式来计算
看看是不是这个结果
应该是这个结果
我们再看ab两点之间电势差
你会问我谈到电动势的时候我理解
怎么还会有电势差
电势差是静电场产生的势能差
是这样
对于这种情况下
这个导线
导线段ab运动的情况下
因为a段和b段有电荷的积累
这个电荷的积累产生的静电场
所引起那个势我们叫做
电势或者电势差
当静电场的作用
和非静电力就是Lorentz力的作用
平衡的时候
ba之间的电势差
可以写成ab之间的电动势
就是我计算的这个结果
减去导线段ab的内阻乘上电流
全电路欧姆定律
这是端电压
所以b端的电势比a端的电势应该高
我们从图可以看到
因为电子这么运动
a端积累负电荷
当然b端就积累正电荷
所以有这个结果
好 我们总结一下
对于任意形状的导线回路L
任意形状的导线回路L
在恒定磁场中运动或者形变
回路中产生的动生电动势
应该写成这个样子
（v×B）点dl
其中dl是这个线元
我首先设定回路L的绕向
这个绕向
是按照这个方向绕向
这个可以任意设定
然后取一个线元
在线元处 磁感应强度是B
这个线元的运动速度是v
（v×B）点dl
是这个线元中的动生电动势
然后把它做积分
就是绕这个回路的动生电动势
注意在这个式子中回路L的绕向
就是动生电动势的正方向
你计算结果如果e大于0
沿着L的绕向
否则沿着反方向
我们看个例题 看这个图
长度为L的铜棒
在磁感应强度为B的匀强磁场中
以角速度ω绕棒的O端
逆时针的转动
这样转
求铜棒中的动生电动势
二 铜棒两端的电势差
我们假设棒L的方向为沿着径向向外
棒的正方向是这个方向
从O到A
据O点l远的地方取个线元dl
这是dl
这个dl距离O点距离是l 小写的l
这个线元运动速度v的大小为ωl
ω乘上l
铜棒中的动生电动势这样计算
（v×B）点dl
积分从0积到L
就从这积到这
因为你的正方向是从O到A
积分结构写出来了
因为ω和B都是常数
提到积分号外面
里面叉乘的方向
和dl的方向垂直的
所以写成ldl
积分结果是-BωL^2/2
负号代表什么意思呢
负号代表ε与L的方向相反
是从A到O
好 我们把动生电动势算出来了
我们再看一下
铜棒两端的电势差
ε的方向是从A到O
铜棒中的自由电子趋向于A
因为自由电子总是向电势高的地方跑
形成由O指向A的静电场
要把铜棒看作电源的话
O是正极
A是负极
相当于电源O是正极A是负级
当静电场的作用
与电动势的驱动达到平衡的时候
感应电流就消失了
铜棒两端的电势差
就等于棒中动生电动势的大小
得到这个结果
O点的电势减去A点的电势
是BωL^2/2
再看一个例子
法拉第圆盘
这是个金属圆盘
在磁场中旋转
如果这放个电刷
这块接线
串一个电流表你会发现有感应电流
我们可以用这个模型
我认为这个R这个方向
长度为R的这个导线切割磁场线
产生的动生电动势
推动这个回路里面的电流
就是感生电流
计算结果我们都知道
按照刚才的例子
计算结果我们知道
我要问这个正号代表什么意思
这个正号代表电动势的方向
沿着从这一点到边缘的方向
好 再看一个例子
Lorentz力不做功
我们看看它是什么意思
Lorentz力不做功只传递能量
这一段导线
沿着这个方向做运动
速度为v
这是B
各个地方的B的方向向里
首先由于里面的负电荷是自由电子
随着导线一块运动
以这个速度运动
所以电子受到的Lorentz力是向下的
-ev×B
v×B是这个方向
乘上负e是这个方向
在这个Lorentz力作用下
电子向下运动
电子一向下运动
又出现一个新的Lorentz力
我们看一下
在这个力作用下电子向下运动
有个速度v'
由于电子向下运动
以v'的速度向下运动
所以电子又受到一个新的Lorentz力
这个力的方向是这个方向
大小是f'
f'等于-ev'×B
v'×B是这个方向
加个负号
f'是这个方向
所以现在我们就有两个Lorentz力
一个是f 一个是f'
我们说Lorentz力做不做功
要看f和f'的合力做不做功
或者说你看f做的功
和f'做功的和是多少如果是0的话
这才叫Lorentz力不做功
好 我们看一下
我把f点乘上v'
f点乘上v'
同一方向所以是正的
f'点乘上v
方向是相反的是负的
那你会看到
f点乘v'=-f'点v
f点v'等于负的f'点v
好了 我们计算Lorentz力的合力
Lorentz力的合力是f+f'
乘上这个电子自由电子运动合速度
速度的和
乘上（v'+v）
应该是四项
其中有两项垂直
点乘等于0
所以就出现这两项
而这两项呢
这一项和这一项差个负号
所以结果是0
这个叫做Lorentz力不做功
Lorentz力的合力不做功
外力做功干什么呢
我们看一下外力做的功
变成了感生电流的能量
我们还是这个例子
注意当你这个导线段
向这个方向运动的时候
有反方向的力作用
为了使导线段以速度运动
我这个方向得加一个外力克服f'
这个外力应该等于-f'
这样才能使这个导线做匀速直线运动
外力的方向是这个方向
点乘上v就是外力的功率
就应该等于-f'点上v
因为有这个式子
而-f'点v
刚才推了就是f点上V'
所以就有这个式子
外力的功率
应该等于Lorentz力的功率
这就表明外力做的功
完全变成了感生电流的能量
好 这一节就讲到这 谢谢
-电荷和库仑定律
--引言
--电荷
--库仑定律
-WEEK1--电荷和库仑定律
-电场及叠加原理，电偶极子
--电场和电场强度
-WEEK1--电场及叠加原理，电偶极子
-高斯定律
--电通量
--立体角*
--高斯定律的证明*
--高斯定律和电场线
--高斯定律的应用
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-静电场环路定理、电势和叠加原理
--环路定理
--电势和叠加原理
--电势梯度
--等势面
-WEEK2--静电场环路定理、电势和叠加原理
-静电能
--电荷系静电能
-WEEK2--静电能
-导体静电平衡
--物质中电场
--导体静电平衡
-WEEK2--导体静电平衡
-WEEK2--本周作业
-导体周围电场
-WEEK3--导体周围电场
-静电屏蔽
--导体壳与静电屏蔽
-WEEK3--静电屏蔽
-电容及电容器
--电容及电容器
-WEEK3--电容及电容器
-电介质
--介质对电场的影响
-WEEK3--电介质
-极化强度矢量，极化电荷
--极化强度
--极化电荷
-WEEK3--极化强度矢量，极化电荷
-WEEK3--本周作业
-极化规律、电位移矢量
--电介质的极化规律
-WEEK4--极化规律、电位移矢量
-有介质时静电场能量
-WEEK4--有介质时静电场能量
-电流密度、稳恒电流和稳恒电场
--电流密度
-WEEK4--电流密度、稳恒电流和稳恒电场
-电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律
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--欧姆定律
--欧姆定律（续）
-WEEK4--电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律
-电流微观图像和暂态过程
--电流微观图像
-WEEK4--电流微观图像和暂态过程
-本周作业
--week4--本周作业
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--电流磁效应
--磁场和磁感应强度
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-毕-萨-拉定律、磁场叠加原理和磁场高斯定理
--毕-萨-拉定律
--磁场高斯定律
-WEEK5--毕-萨-拉定律、磁场叠加原理和磁场高斯定理
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--霍尔效应
--安培力
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